Redução ao absurdo e a raiz quadrada de 2

Pitágoras define o quadrado como sendo um corpo finito, limitado e mensurável, um

ente geométrico perfeito para ser usado como símbolo da perfeição finita. Ele ensinava o “[...]

quanto nosso corpo precisava ser finito e limitado, pois, somente assim, podemos descobrir e perceber os princípios abstratos revelados num mundo finito e nas causas que criam e

sustentam a vida, e são princípios abstratos que também têm o poder de expressar o infinito”

(CONTADOR, 2006, p. 388).

Sabemos que o quadrado com lado igual à unidade é uma particularidade importante.

Através de sua diagonal √ 2, o quadrado passa a ter uma função geométrica, ou melhor, passa

a ser representado como um processo gerador da construção geométrica de um novo quadrado com o dobro de sua área e cria uma nova figura simétrica com sua mesma forma (Figura 16).

Figura 16 – Quadrados de lados 1

Fonte: Arquivo da pesquisadora

Através da Figura 17 é possível ter uma compreensão maior das raízes quadradas de 2, 3, 5 na sua representação geométrica. Desse modo, após essa configuração de quadrado de

diagonal do lado 1, encontraremos o cubo a √3 e, sucessivamente, a √5 todas formadas nos

retângulos áureos.

Figura 17 – Retângulos e suas diagonais

O dado importante, considerado por Contador (2006), é referente à sua representação

geométrica, sobre a família de relações geradas pela raiz quadrada de cinco (√5) ou o

processo regenerativo, encontrado através de sua diagonal identificada por proporção áurea e que gerou uma série de símbolos utilizados por filósofos gregos como fundamento do ideal divino ou do amor universal.

Assim, o mesmo autor, ao discutir sobre as figuras que são representadas sobre as

raízes √2, √3 e √5, constatou que “[...] as duas principais figuras geométricas reunidas nos dão

as três raízes principais que são necessárias à construção dos cinco sólidos regulares, base de todas as formas volumétricas. Também os números 2, 3 e 5 são os únicos necessários à divisão da oitava em escalas musicais” (CONTADOR, 2006, p.391).

De acordo com Boyer (2002, p. 38), Proclo, talvez citando Eudemo, atribui-se a Pitágoras duas descobertas matemáticas específicas: (1) a construção dos sólidos regulares e (2) a teoria das proporcionais.

Sobre os sólidos geométricos, para Contador (2006), Pitágoras e seu grupo (os pitagóricos) eram todos fascinados pelos cinco sólidos regulares, corpos cujas faces são polígonos iguais a triângulos, quadrados ou pentágonos. Nesse caso, os polígonos são infinitos, mas os sólidos são apenas cinco.

Nesse contexto, os pitagóricos confiavam que os quatro sólidos, como terra, fogo, ar e água formavam toda a matéria do universo; e o quinto sólido, que era o dodecaedro, estava associado misticamente ao cosmo, talvez representando a substância que formava o céu. Desse modo, consideravam que esse conhecimento era muito perigoso para expor em público, preferiam que pessoas comuns não conhecessem o dodecaedro. Todas essas são informações repassadas por historiadores em publicações mais antigas ao tratarem do quadrado de lado 1 e os irracionais. Conhecimentos históricos, aos quais há controvérsias, da parte de outros historiadores como verdadeiras.

Para nós, quando se trata da descoberta da raiz quadrada de dois, comungamos com Fossa (2007), quando posiciona que Aristóteles confere aos pitagóricos um argumento, por redução ao absurdo, que mostra que o lado e a diagonal do quadrado são incomensuráveis. De

acordo com Aaboe (2002, p. 44), ao tratar da irracionalidade de √2, lembra que “(um esboço

dela aparece já em Aristóteles) é como segue: o problema é mostrar que não há fração a/b, em

que a e b são inteiros, cujo quadrado é 2”.

Para Fossa (2009), a ideia fundamental da redução ao absurdo é que uma premissa não pode ser verdadeira se ela nos levar a uma contradição. Uma demonstração envolve

proposição e teorema. Proposição é qualquer afirmação que pode ser verdadeira ou falsa; teorema é uma proposição verdadeira do tipo “P implica Q”, de modo que P e Q também são proposições.

Geraldo Ávila (2006), ao abordar a demonstração por absurdo ou simplesmente demonstrações por absurdo ou ainda as chamadas demonstrações por contradição, indica que elas seguem um roteiro parecido com as demonstrações por contraposição. Relembra-nos que para provar que A implica B iniciarmos supondo A verdadeira e B falsa. Sendo que essa última deve ser chamada de hipótese do raciocínio por absurdo, uma suposição apenas temporária,

até chegarmos a uma contradição, um absurdo. Assim, diz: “somos então forçados a remover

a hipótese do raciocínio por absurdo e concluir que B é verdadeira” (ÁVILA, 2006, p. 8). Sobre essa redução ao absurdo, apresentaremos os exemplos 1 e 2, respectivamente,

das provas matemática da √2 extraídos dos textos de Fossa (2009) e de Smole; Diniz (2003).

Exemplos:

 Exemplo 1: √2 é irracional.

Demonstração:

Suponha que √2 = p/q,onde p/q é irredutível.

Então p² = 2q². Portanto, p² é par. Logo, p é par. Seja p=2k. Então 4k² = 2q², ou seja, q² = 2k² e, assim, q² é par. Logo, q é par. Portanto, p/q não é irredutível. Discussão:

Nesse primeiro exemplo, Fossa (2009) a identifica como uma elegante demonstração, relembra que foi bastante conhecida pelos gregos antigos, depende somente de RA (Redução ao Absurdo) e do o fato de que se n² é par, então n também é par. Finaliza que “isto também é de fácil demonstração usando RA; para os propósitos da análise, aceitaremos isto com o

Teorema 1. A demonstração se inicia por assumir a negação da proposição a ser demonstrada”

(FOSSA, 2009, p. 126). Análise:

Teorema 1. Para todo x: se x² é par, então x é par.

A demonstrar: √2 é irracional.

Assim, é desse modo que Fossa (2009) conclui a sua explicação com a demonstração

da √2 pelo método ou técnica da redução ao absurdo  Exemplo 2: √2 é irracional.

Essa próxima demonstração que apresentaremos é realizada por Smole e Diniz

(2003, p. 15). Para as autoras, ela é a prova de que √2 é um número irracional cuja

demonstração é razoavelmente simples; de modo que descrevem sua realização por etapas:

I. Suponhamos, por absurdo, que √2 seja racional, isto é, que √2 possa ser escrito na

forma p/q, com p € Z e q € Z*, de modo que p/q seja irredutível (p e q são primos entre si). Temos, então, √2 = p/q.

II. Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos 2 =p²/q² ou p² = 2q². Isso significa que p² é par, logo p é par.

III. Por outro lado, como a fração p/q é irredutível e p é par, então q tem de ser

ímpar.

IV. Se p é par, existe um número inteiro m tal que p = 2m. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: p² = 4m². Como p² = 2q², então 4m²= 2q² ou q² = 2m²; logo, q² é par e q é par.

V. Essa última dedução é um absurdo, pois em III concluímos que q deveria ser ímpar e um número não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.

Vencida as cinco etapas, Smole e Diniz (2003) concluem que a hipótese de √2 ser

racional é falsa e que, portanto, √2 é irracional.

Embora seja possível demonstrar a √2 pela redução ao absurdo com outras

discussões, queremos encerrar nossas demonstrações com o enfoque desses dois breves exemplos.

Na próxima subseção, trataremos do estudo da seção áurea segundo o pensamento de Euclides de Alexandria.