Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

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Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA EsPCEx 2018-2019 (MODELO D) DATA 30 DE SETEMBRO DE 2018

ENUNCIADOS

1) O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm³ é igual a a) 38 cm ³ b) 36 cm ³ c) 34 cm ³ d) 32 cm ³ e) 30 cm ³ 2) Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função trigonométrica de período 2 , cujo gráfico está representado na figura abaixo é

a) _{f x}( )_{= −}_{1 sen}(_{ −}_x) _b)_{f x}( )_{= +}_{1 cos}(_{ −}_x) c) _{f x}( )_{= −}_{2 cos}(_+_x) _d)_{f x}( )_{= −}_{2 sen}(_+_x) e) _{f x}( )_{= −}_{1 cos}(_−_x)

3) Seja A o maior subconjunto de no qual está definida a função real ( ) ^x³ ^5x² ^{25x 125}

f x .

x 5

− − +

= + Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas condições,

a) _A_{= − −} ₅ _eB= ₊− 10 b) _A_{= − −} ₅ _e_B₌ ₊ c) _A_{= − −} ₅ _{e B}₌ _d)A= − − 5,5 e B= ₊ e) A= − − 5,5 e B= ₊

4) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que:

I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00.

II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50.

III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 9

40.

(2)

IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 1

4.

Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era

a) 27 b) 32 c) 33 d) 81 e) 108

5) A equação log x3 = +1 12 logx23 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é

a) 0 b) 1

3 c) 3

2 d) 3 e) 9

6) A equação da reta tangente ao gráfico da função _{f x}( )₌_x²₋_{6x 1,}₊ no ponto

(4, 7 ,− ) é igual a

a) y= − +2x 1 b) y=3x 19− c) y= −x 11 d) y= − +3x 5 e) y=2x 15− 7) Na figura abaixo, a equação da circunferência é x²+y² =3 e a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a 3. O volume gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é

a) ³ 8

 b) ²¹ 8

 c) ⁹ ³ 8

 d) ²⁴ ³ 8

 e) ⁶³ ³ 8



(3)

8) Os pontos ^{M 0, y ,}( ) ^{com y}^⁰^e N( 3, 4) pertencem a uma circunferência de centro C 0, 2 . Considere o ponto P, do gráfico de ( ) f x^{( )}= x+2, que possui ordenada y igual à do ponto M. A abscissa x do ponto P é igual a:

a) 7 b) 7+2 c) 7 d) 9 e) 12

9) Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f x( )= − + +x 2 x 3 , então o valor de a b c+ + é igual a

Desenho ilustrativo fora de escala

a) −7 b) −6 c) 4 d) 6 e) 10

10) O número de raízes reais da equação 2 cos x 3cos x 1 0² + + = no intervalo ^{0, 2}^é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

(4)

11) A figura mostra um esboço do gráfico da função f x^{( )}=a^x+b, com a e b reais, a0, a1 e b0. Então, o valor de f 2( )− −f( )2 é igual a

Desenho ilustrativo fora de escala a) ³

−4 b) ¹⁵

− 4 c) ¹

−4 d) ⁷

−6 e) ³⁵

− 6

12) Considere a função f : → definida por f x^{( )}=( )3 ^{4 2sen 3x}⁺ e a função g : → , definida por ( )

1 3cos 2x

g x 3 .

3

 +

=  

  O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a

a) ¹

81 b) ¹

9 c) 1 d) 9 e) 81

13) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.

(5)

Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista

a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.

b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.

c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.

d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.

e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.

14) Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é

a) 12 cm b) 24 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 36 cm

15) Em um triângulo ABC, BC=12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm.

Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?

a) 35 cm² b) 2 35 cm² c) 6 35 cm² d) ³⁵ cm²

2 e) 3 35 cm² 16) Uma hipérbole tem focos F₁(−5, 0) e F 5, 0₂( ) e passa pelos pontos P 3, 0( ) e

( )

Q 4, y , com y0. O triângulo com vértices F ,₁ P e Q tem área igual a a) ^{16 7}

3 b) ^{16 7}

5 c) ^{32 7}

3 d) ^{8 7}

3 e) ^{8 7} 5

17) Considere o conjunto de números naturais 1, 2, ,15 . Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é

a) 168 b) 196 c) 224 d) 227 e) 231

18) Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio p x( )=x⁵−2x⁴− +x 2, podemos afirmar que _{p x}( ) tem

a) duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes irracionais.

b) i e −i como raízes complexas e três raízes irracionais.

c) uma raiz complexa i e quatro raízes reais.

d) i e −i como raízes complexas e três raízes inteiras.

e) três raízes simples e uma raiz dupla.

(6)

19) No plano complexo, temos uma circunferência  de raio 2 centrada na origem.

Sendo ABCD um quadrado inscrito à , de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é

Desenho ilustrativo fora de escala a) ¹ ³i

2 2

− + b) − 3−i c) − +1 3 i d) ¹ ³i 2 2

− − e) ³ ¹i 2 2

− + 20) Considere uma circunferência de centro O e raio 1 cm tangente a uma reta r no ponto Q. A medida do ângulo MOQ^ˆ é 30 , onde M é um ponto da circunferência.

Sendo P o ponto da reta r tal que PM é paralelo a OQ, a área (em cm )² do trapézio OMPQ é

a) ¹ ³

2− 8 b) 2 ³

− 2 c) 1 ³

+ 2 d) 2 ³

− 8 e) ³ 2

(7)

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) b (Geometria espacial – inscrição e circunscrição de sólidos) 2) e (Trigonometria – função trigonométrica)

3) b (Função – domínio e imagem) 4) d (Probabilidade)

5) d (Logaritmos – equação logarítmica) 6) e (Geometria analítica – reta)

7) b (Geometria espacial e geometria analítica) 8) c (Geometria analítica – circunferência) 9) c (Função modular)

10) d (Trigonometria – equação trigonométrica) 11) b (Função exponencial)

12) d (Função exponencial e linhas trigonométricas) 13) e (Progressão aritmética)

14) b (Geometria plana – relações métricas na circunferência) 15) c (Geometria plana – áreas)

16) a (Geometria analítica – hipérbole) 17) c (Análise combinatória)

18) d (Polinômios – equação polinomial) 19) c (Números complexos)

20) a (Geometria plana – áreas)

(8)

RESOLUÇÃO

1) O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm³ é igual a a) 38 cm ³ b) 36 cm ³ c) 34 cm ³ d) 32 cm ³ e) 30 cm ³ RESOLUÇÃO: b

A figura a seguir representa a seção meridiana de uma esfera inscrita em um cubo.

Observamos que a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera, ou seja, a=2R.

Se o cubo tem volume 216 cm ,³ então V_cubo =a³ =216. Assim, temos:

3

3 3 3 a 216

2R a 8R a R 27.

8 8

=  =  = = =

Portanto, o volume da esfera é V_{esf .} ⁴ R³ ⁴ 27 36 cm .³

3 3

=  =  = 

2) Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função trigonométrica de período 2 , cujo gráfico está representado na figura abaixo é

a) _{f x}( )_{= −}_{1 sen}(_{ −}_x) _b)_{f x}( )_{= +}_{1 cos}(_{ −}_x)

(9)

c) _{f x}( )_{= −}_{2 cos}(_+_x) _d)_{f x}( )_{= −}_{2 sen}(_+_x) e) _{f x}( )_{= −}_{1 cos}(_−_x)

RESOLUÇÃO: e

O gráfico da figura corresponde ao gráfico de y=cos x deslocado 1 unidade para cima, ou seja, y 1 cos x.= + Entretanto, essa não é uma das opções, então temos que encontrar uma expressão que seja equivalente a essa.

Sabemos que _cos(_{ −}_x)_{= −}_{cos x,}_então_{f x}( )= +1 cos x 1 cos= − (−x .)

3) Seja A o maior subconjunto de no qual está definida a função real ( ) ^x³ ^5x² ^{25x 125}

f x .

x 5

− − +

= + Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas condições,

a) _A_{= − −} ₅ _eB= ₊− 10 b) _A_{= − −} ₅ _{e B}₌ ₊ c) _A_{= − −} ₅ _{e B}₌ _d)A= − − 5,5 e B= ₊ e) A= − − 5,5 e B= ₊

RESOLUÇÃO: b

Inicialmente, vamos fatorar o numerador da fração.

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

3 2 2 2

2

x 5x 25x 125 x x 5 25 x 5 x 5 x 25

x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

− − + = − − − = − − =

= − − + = − +

Assim, temos: _{f x}( ) ^x³ ^5x² ^{25x 125} (^{x 5}) (² ^{x 5}) (_{x 5})² _{x 5} ₀

x 5 x 5

− − + − +

= = = −  + 

+ +

f x( ) x 5 , x 5

 = −  −

O domínio de f é _A_{= − −} _{5 .}

Note que _f( )_{− = − − =}₅ _{5 5} _10, mas esse valor não deve ser excluído da imagem, pois f 15( )=15 5− =10. Assim, a imagem de f são todos os reais não negativos, ou seja, B= ₊.

4) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que:

I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00.

II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50.

III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser ⁹ .

40

IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser ¹.

4

(10)

Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era

a) 27 b) 32 c) 33 d) 81 e) 108

RESOLUÇÃO: d

A afirmação II estabelece que a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50, então a quantidade de moedas de R$ 0,25 é o triplo da quantidade de moedas de R$ 0,50.

Sejam 3x, x e y as quantidades de moedas de R$0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00.

A afirmativa III estabelece que se retirarmos 21 moedas de R$ 0,25, então a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 é

x 9

P 40x 36x 9y 189 4x 9y 189

4x y 21 40

= =  = + −  − + =

+ − (*)

A afirmativa IV estabelece que se retirarmos 9 moedas de R$ 0,50, então a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 é

y 1

P 4y 4x y 9 4x 3y 9

4x y 9 4

= =  = + −  − =

+ − (**)

Somando (*) com o triplo de (**), temos:

(^{− +}^{4x 9y})^{+ }^{3 4x 3y}( ⁻ )⁼^{189 3 9}^{+  }^8x⁼²¹⁶^{ =}^x ^27.

A quantidade de moedas de R$ 0,25 era 3 x = 3 27 81.=

5) A equação log x3 = +1 12 logx23 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é

a) 0 b) ¹

3 c) ³

2 d) 3 e) 9

RESOLUÇÃO: d

Inicialmente, observemos que x0, x²  0 x 0 e x²   1 x 1. Assim,

  x *₊− 1 .

Vamos agora resolver a equação logarítmica.

3 x2 3 2 3

3 3

1 12

log x 1 12 log 3 log x 1 12 log x 1

2 log x log x

= +  = +   = +



( )² ( )²

3 3 3 3 3

3

log x 1 6 log x log x 6 log x log x 6 0 log x

 = +  = +  − − =

2 3

3 3

log x 2 log x 3 x 3 1 x 3 27

9

 = −  =  = − =  = =

As duas raízes obtidas satisfazem à condição de existência dos logaritmos, então o produto das raízes é ¹ 27 3.

9 =

6) A equação da reta tangente ao gráfico da função f x( )=x²−6x 1,+ no ponto

(4, 7 ,− ) é igual a

a) y= − +2x 1 b) y=3x 19− c) y= −x 11 d) y= − +3x 5 e) y=2x 15−

(11)

RESOLUÇÃO: e

O ponto (4, 7− ) pertence ao gráfico de f, pois f 4( )=4²−  + = −6 4 1 7.

Uma reta de coeficiente angular m passando pelo ponto (4, 7− ) tem equação

( ) ( )

y 7

m y mx 4m 7 . x 4

− − =  = − +

−

Para que a reta de equação _y₌_mx₋(_{4m 7}₊ ) seja tangente ao gráfico de ( ) ²

f x =x −6x 1,+ a interseção entre seus gráficos deve ser um único ponto. Assim,

( ) ( ) ( )

2 2

x −6x 1 mx+ = − 4m 7+ x − m 6 x+ + 4m 8+ =  = 0 x 4 x= +m 2

Para que a interseção entre os gráficos seja única, as duas raízes devem ser iguais, então m 2+ =  =4 m 2.

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico no ponto (4, 7− ) é

( )

y=2x−  +4 2 7  =y 2x 15.−

Essa questão fica mais fácil de se resolver usando derivada.

O coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico no ponto (4, 7− ) é f ' 4 . ( )

( ) ( )

f ' x =2x 6− f ' 4 =  − =2 4 6 2

Assim, a equação da reta tangente pode ser escrita na forma y=2x+n. Mas como ela passa pelo ponto (4, 7 ,− ) temos: − =  +  = −7 2 4 n n 15.

Portanto, a equação da reta tangente a esse gráfico no ponto (4, 7− ) é y=2x 15.−

7) Na figura abaixo, a equação da circunferência é x²+y² =3 e a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a 3. O volume gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é

(12)

a) ³ 8

 b) ²¹ 8

 c) ⁹ ³ 8

 d) ²⁴ ³ 8

 e) ⁶³ ³ 8



RESOLUÇÃO: b

A circunferência de equação x²+y² =3 tem centro em O 0, 0 e raio 3. ( )

Como a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular 3, então

( ^ˆ ) ^ˆ

tg OMN = 3OMN= 60 .

Vamos, agora, analisar o trapézio MNOP.

Sabemos que OM e ON são raios da circunferência, então OM=ON= 3 e o triângulo MON é isósceles. Isso implica que ONMˆ =OMNˆ = 60 , então o triângulo MON é equilátero.

ˆ ˆ ˆ

PON=POM MOM− = −  =  90 60 30 No triângulo retângulo OPN, temos:

PN 1 PN 3

sen 30 PN

ON 2 3 2

 =  =  =

OP 3 OP 3

cos 30 OP

ON 2 3 2

 =  =  =

O volume gerado pela rotação do trapézio MNOP ao redor de Oy é o volume de um tronco de cone de base paralelas de raio da base maior R=OM= 3, raio da base menor r PN ³

= = 2 e altura h OP ³.

= = 2 Assim, temos:

( ² ²) ( )² ²

h 3 3 3 3 3 21

V R Rr r 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 4 8

   

      

= + + =   +  +  =  + + = unidades de volume.

(13)

8) Os pontos ^{M 0, y ,}( ) ^{com y}^⁰^e N( 3, 4) pertencem a uma circunferência de centro C 0, 2 . Considere o ponto P, do gráfico de ( ) f x^{( )}= x+2, que possui ordenada y igual à do ponto M. A abscissa x do ponto P é igual a:

a) 7 b) 7+2 c) 7 d) 9 e) 12

RESOLUÇÃO: c

O raio da circunferência é a distância do seu centro C 0, 2 ao ponto ( ) N( 3, 4)

pertencente à circunferência. Assim, R= ( 3 0− )²+ −⁽4 2⁾² = 7.

Assim, a ordenada do ponto M é y_M = +2 7.

O ponto P tem mesma ordenada que o ponto M, então y_P = +2 7.

Como P pertence ao gráfico de f x^{( )}= x+2, então sua abscissa é dada por

( )_P _P _P _P _P

f x =y = +2 7 x + = +2 2 7  x = 7 x =7.

(14)

9) Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f x( )= − + +x 2 x 3 , então o valor de a b c+ + é igual a

Desenho ilustrativo fora de escala

a) −7 b) −6 c) 4 d) 6 e) 10

RESOLUÇÃO: c ( )

( ) ( )

x 2 x 3 2x 1, se x 3

f x x 2 x 3 x 2 x 3 5, se 3 x 2

x 2 x 3 2x 1, se x 2

 − + + − − = − −  −

= − + + = − + + + = −  

 − + + = + 



Assim, a= −3, b=2, c 5= e _a+ + = − + + =_{b c} ( )₃ _{2 5} _4.

Note que a e b são as abscissas dos pontos em que há mudança de sinal da expressão no interior dos módulos, o que altera a expressão da função resultante.

10) O número de raízes reais da equação 2 cos x 3cos x 1 0² + + = no intervalo ^{0, 2}^é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

RESOLUÇÃO: d

2 1

2 cos x 3cos x 1 0 cos x 1 cos x + + =  = −  = −2

 

cos x= −  1 x 0, 2  = x

 

1 2 4

cos x x 0, 2 x x

2 3 3

 

= −     =  = Assim, o conjunto solução é ^S ²3 ^{, ,}⁴3

 

=  e o número de raízes reais no intervalo

^{0, 2}^{é 3.}

(15)

11) A figura mostra um esboço do gráfico da função f x^{( )}=a^x+b, com a e b reais, a0, a1 e b0. Então, o valor de f 2( )− −f( )2 é igual a

Desenho ilustrativo fora de escala a) ³

−4 b) ¹⁵

− 4 c) ¹

−4 d) ⁷

−6 e) ³⁵

− 6 RESOLUÇÃO: b

Os pontos ( )0,3 e (−2, 6) pertencem ao gráfico de f x^{( )}=a^x +b, então

( )0,3  f f 0^{( )}=a⁰+ =  + =  =b 3 1 b 3 b 2

( ^{2, 6}) ^f ^f^{( )}² â ² ² ⁶ â ² ⁴ ^{a 0} â ¹

2

− − 

−   − = + =  =  =

Assim, a função é dada por _{f x}( ) ¹ ^x _2.

2

=    + O valor de _{f 2}( ) ¹ ² ₂ ¹ ₂ ⁹_.

2 4 4

=    + = + = Portanto, f 2^{( )} f^{( )}2 ⁹ 6 ¹⁵.

4 4

− − = − = −

12) Considere a função f : → definida por f x^{( )}=( )3 ^{4 2sen 3x}⁺ e a função g : → , definida por ( )

1 3cos 2x

g x 3 .

3

 +

=  

  O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a

a) ¹

81 b) ¹

9 c) 1 d) 9 e) 81

RESOLUÇÃO: d

(16)

A função exponencial de base entre 0 e 1 é decrescente e a função exponencial de base maior do que 1 é crescente.

Como 31, o valor mínimo de f x^{( )}=( )3 ^{4 2sen 3x}⁺ ocorre para o menor valor de seu expoente, ou seja, 4 2+  − =( )1 2. Portanto, o valor mínimo de f é ( )3 ² =3.

Como 0 ³ 1,

 3  o valor máximo de ( )

1 3cos 2x

g x 3 3

 +

=  

  ocorre para o menor valor do seu expoente, ou seja, 1 3+  − = −( )1 2. Portanto, o valor máximo de g é

2 ( )

3 2

3 3.

3

 −

= =

 

 

Logo, o produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a 3 3 =9.

13) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.

Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista

a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.

b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.

c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.

d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.

e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.

RESOLUÇÃO: e

A quantidade de tratores produzidos por ano é uma progressão aritmética de razão r=70.

Seja a_n o termo de ordem n dessa progressão aritmética correspondente à quantidade de tratores produzidos no ano n, então a₂₀₁₀=720 é o primeiro termo da progressão (pois foi o ano que os tratores começaram a ser produzidos).

(17)

Podemos aplicar a fórmula do termo geral da PA para encontrar a quantidade de tratores que serão produzidos no ano de 2025.

( )

2025 2010

a =a + 2025 2010 70−  =720 15 70 1770+  =

Agora vamos usar a fórmula da soma dos 16 termos da PA para calcular a quantidade de tratores produzidos de 2010 até o final de 2025.

(a2010 a2025) 16 ⁽1770 720 16⁾

S 19920

2 2

+  + 

= = =

Portanto, a meta de 20.000 tratores não será atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.

14) Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é

a) 12 cm b) 24 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 36 cm

RESOLUÇÃO: b

A figura anterior representa a situação descrita no enunciado.

Como 25² =20²+15 ,² então o triângulo OAO’ é retângulo.

O segmento AM, que é metade da corda comum, é a altura do triângulo retângulo OAO’. Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos:

OO' AM OA O'A =   25 AM=20 15 AM 12.=

Portanto, a medida da corda comum é AB= 2 AM= 2 12=24 cm.

15) Em um triângulo ABC, BC=12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm.

Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?

a) 35 cm² b) 2 35 cm² c) 6 35 cm² d) ³⁵ cm²

2 e) 3 35 cm² RESOLUÇÃO: c

(18)

Sejam M e N os pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC.

A mediana AM 6= tem medida igual à metade do lado BC=12, então o triângulo ABC é retângulo em A.

Sejam AB 2c= e AC=2b os catetos do triângulo, então, aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulo retângulo ABC e ANC, temos:

2 2 2 2 2

4b +4c =12 b +c =36

2 2 2 2 2

4b +c =9 4b +c =81

Subtraindo a primeira igualdade da segunda, temos:

2 2

3b =45b =15 =b 15

Substituindo o valor de b na primeira igualdade, temos:

2 2

15 c+ =36c =21 =c 21

Assim, a área do triângulo retângulo ABC é AB AC 2c 2b 2

S 2bc 2 15 21 6 35 cm .

2 2

 

= = = =  =

16) Uma hipérbole tem focos F₁(−5, 0) e F 5, 0₂( ) e passa pelos pontos P 3, 0( ) e

( )

Q 4, y , com y0. O triângulo com vértices F ,₁ P e Q tem área igual a a) ^{16 7}

3 b) ^{16 7}

5 c) ^{32 7}

3 d) ^{8 7}

3 e) ^{8 7} 5 RESOLUÇÃO: a

A hipérbole tem focos F₁(−5, 0) e F 5, 0₂( ) tem centro O 0, 0( ) e semidistância focal c=5.

O ponto P 3, 0( ) está sobre o eixo focal, então é um dos vértices da hipérbole e a=3.

Sabemos que em na hipérbole vale a relação c² =a²+b ,² então 5² =3²+b² =b 4.

A equação da hipérbole é ( )² ( )² ² ²

2 2

x 0 y 0 x y

1 1.

9 16

3 4

− − − =  − =

(19)

O ponto Q 4, y ,( ) com y0, é o ponto sobre a hipérbole que possui abscissa 4 e ordenada positiva. Assim, temos:

2 2 2 y 0

4 y y 16 7 2 16 7 4

1 1 y y 7

9 16 16 9 9 9 3

 

− =  = − =  =  =

A área do triângulo F PQ₁ é dada por ¹ ^Q

8 4 7

F P y 3 16

S 7

2 2 3

 

= = = unidades de área.

17) Considere o conjunto de números naturais 1, 2, ,15 . Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é

a) 168 b) 196 c) 224 d) 227 e) 231

RESOLUÇÃO: c

O conjunto 1, 2, ,15 possui 8 números ímpares e 7 números pares.

Para que a soma dos termos do grupo seja ímpar, ele deve ser formado por um número ímpar e três números pares, ou por três números ímpares.

1º caso: quantidade de grupos com um número ímpar e dois pares

1 2

8 7

C C 8 7 6 168 2

 =   =

2º caso: quantidade de grupos com três números ímpares

3 8

8 7 6

C 56

3!

=   =

Pelo princípio aditivo, o número de grupos, cuja soma dos termos é ímpar, é 168 56+ =224.

(20)

18) Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio p x( )=x⁵−2x⁴− +x 2, podemos afirmar que _{p x}( ) tem

a) duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes irracionais.

b) i e −i como raízes complexas e três raízes irracionais.

c) uma raiz complexa i e quatro raízes reais.

d) i e −i como raízes complexas e três raízes inteiras.

e) três raízes simples e uma raiz dupla.

RESOLUÇÃO: d

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )

5 4 4 4 4

2 2 2

p x x 2x x 2 x x 1 2 x 1 x 2 x 1

x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1

= − − + = − − − = − − =

= − + − = − + − +

O fator x²+1 tem raízes i, então as raízes de _{p x}( ) são i, i, 2,1, 1 ,− −  ou seja, i e −i como raízes complexas e três raízes inteiras.

19) No plano complexo, temos uma circunferência  de raio 2 centrada na origem.

Sendo ABCD um quadrado inscrito à , de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é

Desenho ilustrativo fora de escala a) ¹ ³i

2 2

− + b) − 3−i c) − +1 3 i d) ¹ ³i 2 2

− − e) ³ ¹i 2 2

− + RESOLUÇÃO: c