Critère de rupture macroscopique

On envisage deux mécanismes locaux de rupture, affectant soit le solideΩs, soit l’interfaceΓ.

Dans les deux cas, il s’agit de rupture ductile. On applique alors une démarche d’homogénéisation non linéaire [134] basée sur la méthode sécante modifiée [95, 117, 118, 6, 30] pour estimer le critère de rupture macroscopique.

Rupture du solide

On suppose que la résistance du composite est conditionnée par celle du solide. On envisage successivement pour le solide un critère de von Mises et un critère de Drucker-Prager.

CHAPITRE 12. RÉSISTANCE IMPLIQUANT DES MÉCANISMES D’INTERFACE

Solide de von Mises On suppose que la résistance du solide est caractérisée par un critère de von Mises : σ_d < k. On recherche la forme du critère de rupture macroscopique. L’idée est de conférer au solide un comportement élastique non linéaire fictif, saturant asymptotiquement (aux « grandes » déformations) le critère : σd= 2µs(εd)εd→k. On peut par exemple utiliser :

µs(ε_d) = k

2ε_d lorsque ε_d→ ∞ (12.17)

et ks constant. On note que µs ≪ ks lorsque ε_d → ∞ : le solide peut être considéré comme incompressible. Aux grandes déformations E, le comportement macroscopique est alors élas- tique non linéaire, caractérisé par un tenseur de rigidité sécant C^hom(E). Ce dernier peut être estimé par une approche d’homogénéisation non linéaire. Conformément à l’esprit des méthodes sécantes, on approche le champ de modules de cisaillement µs(εd(x)) par un champ uniforme µ_s(ε^ef_d ), pour un choix approprié de la déformation effective ε^ef_d , estimateur du niveau moyen de déformation dans le solide. On choisit d’utiliser comme estimateur le second moment de la déformation déviatorique dans le solide :

ε^ef_d = q

ε²_d

s (12.18)

Cette déformation effective ε^ef_d peut être reliée au niveau de contrainte macroscopique par (12.13) :

ε^ef_d ² =− 1 4(1−ϕ)

∂1/k^hom

∂µs

Σ²_m+ ∂1/µ^hom

∂µs

Σ²_d

(12.19) On envisage des trajets de chargement macroscopiques radiauxE =λe(edéfinit la direction du trajet, λ désigne la position sur le trajet), et on détermine la contrainte macroscopique Σ = C^hom(E) : E atteinte lorsque λ → ∞. Cette contrainte macroscopique asymptotique se trouve sur le critère de rupture macroscopique. La déformation déviatorique locale devenant asymptotiquement grande, (12.17) et le choix (12.18) de la déformation déviatorique effective donnent :

2µs(ε^ef_d )ε^ef_d =k (12.20)

Il reste à exploiter (12.19) pour établir le critère de rupture macroscopique :

−µ²_s∂1/k^hom

∂µs

Σ²_m−µ²_s∂1/µ^hom

∂µs

Σ²_d= (1−ϕ)k² (12.21) Ce dernier peut également être mis sous la forme :

µs

k^hom 2

∂k^hom

∂µs

Σ²_m+ µs

µ^hom 2

∂µ^hom

∂µs

Σ²_d= (1−ϕ)k² (12.22) En pratique, il reste à fournir la variation des modules élastiques effectifsk^hometµ^homen fonction du module de cisaillementµs lorsque la phase solide duverprésente un comportement élastique linéaire isotrope incompressible (ks → ∞). C’est par ce biais que le critère (12.22) dépend de la morphologie du ver. Notons que la dépendance des modules effectifs en µs est à construire sur un ver fictif présentant la même morphologique que le ver réel, mais dont le solide a un comportement élastique linéaire incompressible. En supposant que les modules élastiques effectifs ainsi obtenus peuvent s’écrire sous la forme :

k^hom=Aµµs et µ^hom=Bµµs (12.23) avec Aµ etBµ indépendants deµ_s, le critère macroscopique prend l’expression :

Σ²_m A^µ + Σ²_d

B^µ = (1−ϕ)k² (12.24)

12.1. PRÉLIMINAIRES INDÉPENDANTS DE LA MORPHOLOGIE Solide de Drucker-Prager On suppose à présent que la résistance du solide est caractérisée par un critère de Drucker-Prager :σ_d< α(h−σm). L’idée est, comme précédemment, de confé- rer au solide un comportement non linéaire fictif saturant asymptotiquement (aux « grandes » déformations) le critère de Drucker-Prager : σd = 2µs(εm, εd)εd → α(h −3ksεm). Dans cette expression, on reconnaît la contrainte sphérique3ksεm =σm. On peut par exemple prendre :

µs(εm, εd) = α(h−3ksεm) 2εd

lorsque εd→ ∞ (12.25)

etks constant. La contrainte sphériqueσm = 3ksεm a un niveau moyen qui reste fini, puisqu’on verra (en section 12.2.3) que la moyenne présente l’expression hσmis = Σm/(1−ϕ). Ainsi, on note queµ_s≪k_slorsqueε_d→ ∞: le matériau solide peut être considéré comme incompressible.

Dans l’esprit des méthodes sécantes, le champ de modules de cisaillement µs(εm(x), εd(x)) est approché par le champ uniformeµs(ε^efm, ε^ef_d ), pour un choix approprié des déformations effectives ε^efm etε^ef_d . On fait ici un choix mixte, comme dans [32] :

ε^ef_d = q

ε²_d

s et ε^ef_m =hεmis (12.26)

La déformation effective déviatoriqueε^ef_d est encore reliée au niveau de contrainte macroscopique par (12.19). Quant à la déformation effective sphériqueε^efm, elle est reliée à la contrainte sphérique moyenne dans le solide par :ε^efm =hσmis/(3ks).

La suite de la démarche est très similaire à celle du paragraphe précédent (solide de von Mises). On aboutit au critère macroscopique sous la forme :

µ_s k^hom

2∂k^hom

∂µs

Σ²_m+ µ_s

µ^hom

2∂µ^hom

∂µs

Σ²_d= (1−ϕ)α²

h− Σ_m 1−ϕ

2

(12.27) Dans cette expression,k^hometµ^homsont les modules effectifs obtenus sur unverfictif présentant la même morphologie que le ver réel, mais avec un solide de comportement élastique linéaire incompressible. En supposant que les modules élastiques effectifs ainsi obtenus peuvent s’écrire sous la forme :

k^hom=Aµµ_s et µ^hom=Bµµ_s (12.28) avecAµ etBµ indépendants deµ_s, le critère macroscopique prend l’expression :

Σ²_m A^µ +Σ²_d

B^µ = (1−ϕ)α²

h− Σm

1−ϕ 2

(12.29) Rupture de l’interface

On suppose à présent que la résistance du composite est conditionnée par celle de l’interface Γ. On envisage successivement pour cette interface un critère de Tresca et un critère de Mohr- Coulomb. On fait appel à une extension de la méthode sécante modifiée au cas des interfaces [78, 33, 76].

On décompose le vecteur contrainteσ·nà l’interface en une partie normaleσn=n·σ·net une partie tangentielleσ_t=σ·n−σn·n(figure 12.3).

Interface de Tresca On suppose que la résistance de l’interface Γ est caractérisée par un critère de type Tresca :|σ_t|< k.

L’idée est de conférer à l’interface un comportement élastique non linéaire fictif, tel que, pour des sauts de déplacement tangentiels grands le critère soit saturé : |Kt(JξK)Jξ_tK|= k. On peut par exemple prendre :

Kt(|Jξ_tK|) = k

|Jξ_tK| lorsque |Jξ_tK| → ∞ (12.30)

CHAPITRE 12. RÉSISTANCE IMPLIQUANT DES MÉCANISMES D’INTERFACE σ·n

σ_nn σ_t n

Fig. 12.3 – Décomposition du vecteur contrainte à l’interface

etK_n constant. On note queK_t≪ K_n lorsque|Jξ_tK| → ∞. Dans le but d’utiliser une approche d’homogénéisation non linéaire généralisant la méthode sécante modifiée au cas des interfaces, on introduit le saut de déplacement tangentiel effectif :

Jξ_tK^ef = rD

Jξ_t(x)K²E

Γ (12.31)

Dans l’esprit de la méthode sécante, on approche le champ de raideurs tangentielles d’interface Kt(|Jξ_t(x)K|) par le champ uniformeKt(JξtK^ef). Le saut de déplacement tangentiel effectif JξtK^ef peut être relié au niveau de contrainte macroscopique par (12.16) :

JξtK^ef2=−|Ω|

|Γ|

∂1/k^hom

∂Kt

Σ²_m+∂1/µ^hom

∂Kt

Σ²_d

(12.32) Comme précédemment, on envisage des trajets de chargement macroscopiques radiaux E = λeet on détermine la contrainte macroscopique Σ=C^hom(E) : E atteinte lorsqueλ→ ∞. Le saut de déplacement tangentiel effectif étant asymptotiquement grand, (12.30) et le choix (12.31) de la déformation déviatorique effective donnent :

Kt(JξtK^ef)JξtK^ef =k (12.33)

Il reste à exploiter (12.32) pour établir le critère de rupture macroscopique :

−K_t²∂1/k^hom

∂Kt

Σ²_m−K_t²∂1/µ^hom

∂Kt

Σ²_d= |Γ|

|Ω|k² (12.34)

Ce dernier peut également être mis sous la forme : Kt

k^hom

2 ∂k^hom

∂K_t Σ²_m+ Kt

µ^hom

2 ∂µ^hom

∂K_t Σ²_d= |Γ|

|Ω|k² (12.35)

Pour obtenir un critère utilisable en pratique, il reste à relier les modules élastiques effectifsk^hom et µ^hom au module d’interface Kt, lorsque l’interface a un comportement élastique linéaire tel queKn→ ∞. Insistons sur le fait que cette relation doit être établie pour unverfictif de même morphologie que leverréel, mais dont les interfaces sont élastiques linéaires telles queKn→ ∞. Il est également nécessaire d’évaluer la surface spécifique d’interface |Γ|/|Ω|. Celle-ci dépend de la morphologie du ver. En supposant que les modules élastiques effectifs peuvent s’écrire sous la forme :

k^hom=AKt

|Ω|

|Γ|K_t et µ^hom=BKt

|Ω|

|Γ|K_t (12.36)

avec A^Kt etB^Kt indépendants de Kt, le critère macroscopique prend l’expression : Σ²_m

A^Kt

+ Σ²_d B^Kt

=k² (12.37)

12.2. MORPHOLOGIES ENVISAGÉES

No documento and cement pastes (páginas 190-194)