Module de Young de la pâte au très jeune âge

Les données expérimentales sur l’élasticité exploitées jusqu’ici concernaient des pâtes plutôt agées (plus de14jours). Les essais mécaniques classiques (compression simple par exemple) sont délicats à réaliser sur des pâtes de très jeune âge, ce qui explique leur plus grande rareté.

Les seules données propres au très jeune âge de la pâte exploitées jusqu’à maintenant sont les degrés d’hydratation de prise de [122]. Ces degrés d’hydratation de prise ont été obtenus par régression linéaire sur des points expérimentaux présentant la résistance à la compression en fonction du degré d’hydratation. Comme on l’a noté en section 7.3.3, le degré d’hydratation de prise réel peut très bien être inférieur à celui évalué par [122]. Ainsi, l’évolution du module de Young en fonction du degré d’hydratation peut démarrer de façon plus précoce que ce que le modèle donne (comme schématisé sur la figure 8.26). Cette hypothèse va être confirmée par les essais au très jeune âge de Boumiz.

Boumiz [15] a mesuré l’élasticité de pâtes de c₃s au très jeune âge par ultrasons (voir sec- tion 7.3.1). Ces pâtes étant saturées d’eau, les modules élastiques obtenus sont les modules non drainés. En effet, la théorie poromécanique [26] définit deux cas extrêmes pour le tenseur de rigidité d’un milieu poroélastique saturé :

– raideur drainée, en l’absence de pression dans les pores ;

– raideur non drainée, en l’absence d’échange de fluide avec l’extérieur.

Jusqu’à présent, les modèles mis en place se sont concentrés sur la raideur drainée. Il s’agit donc à présent de déterminer la raideur non drainée, nécessaire pour comparer les estimations micromécaniques aux mesures par ultrasons.

2RapportC/S: rapport entre le nombre d’atomes de calcium et le nombre d’atomes de silicium dans la maille cristalline.

CHAPITRE 8. ÉLASTICITÉ DES C-S-HET DES PÂTES DE CIMENT

Epate

α α^exp₀

α^reel₀

évolution modèle évolution

réelle

Fig. 8.26 – Représentation schématique de la probable évolution réelle du module de Young (trait plein), confrontée à l’évolution modélisée (trait interrompu)

Modules effectifs non drainés

Il existe un lien entre la raideur effective drainée (C_hom) et non drainée (C^nd_hom) d’un milieu poreux saturé [30] :

C^nd_hom=C_hom+MB⊗B (8.26)

avec B le tenseur de Biot et M le module de Biot du milieu poreux. Lorsque le matériau est macroscopiquement isotrope, cette relation se traduit en termes de modules de compression et de cisaillement :

k^nd_hom=k_hom+M b² et µ^nd_hom=µ_hom (8.27) avec ble coefficient de Biot (tel que B=b1). Lorsque, de plus, la phase solide est homogène et isotrope (les modules de compression et de cisaillement étant respectivement notés ks etµs), le coefficient de Biot et le module de Biot du matériau poreux s’écrivent [30] :

b= 1− khom

ks

et M = ks

b−ϕ (8.28)

Comme les hydrates haute et basse densité sont des milieux poreux dont la phase solide est considérée homogène et isotrope, leurs modules non drainés se calculent à partir des modules drainés (voir section 8.2.3), en exploitant (8.27) et (8.28).

Les modules élastiques non drainés de la pâte sont estimés de la même façon que décrit en section 8.2.3, les modules drainés des hydrates basse et haute densité devant être remplacés par leurs équivalents non drainés. Cette démarche suppose l’absence d’échange d’eau entre les hydrates basse et haute densité, et avec l’extérieur.

Confrontation expérimentale

En partie gauche de la figure 8.27, on superpose les données expérimentales et les prédictions issues du modèle, obtenues à partir des données d’entrée rassemblées dans la table 8.2. L’accord n’est pas très bon, surtout au très jeune âge (α <0.3). L’écart entre modèle et expérience peut être quantifié par la racine de l’écart quadratique moyen :

erreur= s

Pn

i=1(E_i^exp−E_i^mod)²

n (8.29)

nétant le nombre de points expérimentaux, et avec E_i^exp etE_i^mod les modules de Young expéri- mental et modélisé correspondants au pointi= 1. . . n. Cette erreur vaut ici2.36GPa. Le modèle requiert clairement des améliorations au jeune âge. De plus, le degré d’hydratation de prise me- suré par ultrasons est très différent³ de celui exploité en section 8.3.1 et issu de [122]. Ainsi,

3 Les travaux de Boumizet al. [15] indiquent des degrés d’hydratation de prise bien plus faibles que ceux estimés par Torrenti et Benboudjema [122]. L’existence de divergences aussi significatives sur la valeur du degré

8.4. QUELQUES REMARQUES SUR LE MODÈLE on peut tenter de recalculer le rapport d’aspect optimal r^s_bd des plaquettes des hydrates basse densité, en minimisant l’erreur entre les données expérimentales et les prédictions du modèle. En réalisant une telle optimisation indépendamment pour chaque rapport e/c, on obtient les résul- tats donnés dans la table 8.3. Cela améliore un peu l’accord entre les données expérimentales et les prédictions, comme le montre la partie droite de la figure 8.27.

0 5 10 15 20 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

End pate

(GPa)

α r^s_bd= 0.033

e/c= 0.30 mod.

e/c= 0.40 mod.

e/c= 0.50 mod.

e/c= 0.60 mod.

exp.exp.

exp.exp.

0 5 10 15 20 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

End pate

(GPa)

α

r_bd^s optimisé pour chaquee/c (table 8.3)

e/c= 0.30 mod.

e/c= 0.40 mod.

e/c= 0.50 mod.

e/c= 0.60 mod.

exp.exp.

exp.exp.

Fig.8.27 – Module de Young non drainé d’une pâte, estimé et mesuré par ultrasons [15]

e/c r^s_bd opt. erreur (GPa)

0.3 0.015 1.56

0.4 0.028 1.31

0.5 0.033 1.28

0.6 0.035 0.96

Tab. 8.3 – Optimisation du rapport d’aspect des plaquettes des hydrates basse densité, de manière indépendante pour chaquee/c

Validité du modèle d’hydrates basse densité

La modification du seul rapport d’aspect des plaquettes solides des hydrates basse densité ne fournit pas une prédiction correcte des mesures ultrasons du degré d’hydratation de prise, à moins de recourir à des plaquettes extrêmement aplaties. On considère maintenant en plus l’influence du paramètrem_bd caractérisant la distribution de c-s-hentre basse et haute densité et jusqu’à maintenant évalué par le modèle (8.17) de Tennis et Jennings [121]. L’estimation auto-cohérente α^AC₀ du degré d’hydratation de prise déterminée en section 8.3.1 peut être calculée en fonction du

d’hydratation de prise mesuré expérimentalement, selon les auteurs et les techniques, mériterait certainement des investigations complémentaires. La méthode de détermination du degré d’hydratation de prise utilisée par [122]

(pied de la droite ajustée sur les données expérimentales, voir figure 7.9) conduit à une surestimation pour plusieurs e/c(il existe des pointsα < α^exp0 ,σc>0). Mais ceci n’apporte qu’un éclaircissement partiel sur les divergences observées.

CHAPITRE 8. ÉLASTICITÉ DES C-S-HET DES PÂTES DE CIMENT

paramètrembd sans recourir à (8.17) de façon à prendre du recul vis-à-vis du modèle de Jennings et Tennis [121]. En effet, nous avons déjà mis en évidence les difficultés liées à l’utilisation de cette répartition en deux familles d’hydrates dans le cadre du modèle morphologique développé (voir les commentaires faits autour de la figure 8.16). Comme la prise est contrôlée par les hydrates basse densité, a priori plus on en forme (mbd élevé), plus la prise va être précoce.

La figure 8.28 représente α₀^AC en fonction de m_bd pour quelques valeurs du rapport e/c et du rapport d’aspect r_bd^s des particules solides des hydrates basse densité. Faire passer le rapport d’aspect sous0.02ne semble pas très réaliste, puisque la fabrication d’une telle plaquette nécessiterait la juxtaposition d’au moins 0.12/0.02 = 6 briquettes élémentaires (0.12 étant le rapport d’aspect de la briquette élémentaire).

Le rapport m_bd est évidemment limité à l’intervalle [0,1]. Le degré d’hydratation de prise évalué sur la figure 7.6 est < 0.03 pour e/c = 0.3 et < 0.1 pour e/c = 0.5. Aucune valeur de mbd ne permet d’atteindre des seuils de prise aussi faibles (voir figure 8.28). Ceci signifie que le modèle morphologique d’hydrates basse densité vus comme une mousse poreuse doit être remis en question, particulièrement au jeune âge.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

αAC 0

mbd

e/c= 0.5,r_bd^s = 0.03 e/c= 0.5,r_bd^s = 0.02 e/c= 0.3,r_bd^s = 0.03 e/c= 0.3,r_bd^s = 0.02

Fig. 8.28 – Estimation du degré d’hydratation de prise en fonction de la part d’hydrates appa- raissant sous la forme basse densité (e/c= 0.3 ou0.5;r_bd^s = 0.02ou 0.03)

Modification du modèle d’hydrates basse densité

La confrontation des résultats du modèle avec les mesures ultrasons de [15] dans la section précédente a révélé que le modèle d’hydrates basse densité requiert un certain nombre d’améliora- tions, au moins au jeune âge. Pour retrouver le degré d’hydratation de prise observé sur les essais aux ultrasons, il serait nécessaire d’imposer aux plaquettes un rapport d’aspect si faible qu’il en deviendrait irréaliste. On peut néanmoins envisager des particules initialement très aplaties, comme des « feuilles », et qui s’épaissiraient à mesure que l’hydratation avance. Cela reviendrait à considérer pour les plaquettes un rapport d’aspect dépendant du degré d’hydratation. Nous ne creuserons pas ici cette voie, qui peut être vue comme une extension de ce travail.

Une autre voie d’amélioration réside dans le fait que, pour le moment, la phase solide des hydrates basse densité se trouve être uniformément distribuée dans l’espace laissé libre entre les particules composites anhydre + hydrates haute densité. Les hydrates basse densité se présentent donc sous la forme d’une mousse très poreuse. De plus, les plus gros pores capillaires présentent a priori des dimensions difficilement comparables à celles des plaquettes. Par conséquent, il devient nécessaire de se repencher sur la description géométrique des hydrates basse densité.

L’idée proposée est de conserver le concept de matrice entourant les sphères composites

8.4. QUELQUES REMARQUES SUR LE MODÈLE anhydre + hydrates haute densité, mais à présent, cette matrice est vue comme un matériau à double porosité. Ce dernier est formé des hydrates basse densité eux-mêmes, toujours décrits comme une mousse poreuse, et des plus gros pores capillaires. La taille caractéristique de ces derniers est de l’ordre de la dizaine de microns, alors que les plaquettes (assemblage de quelques briquettes élémentaires de60∗30∗5 nm) formant la mousse sont plutôt de l’ordre de quelques centaines de nanomètres. Cette séparation d’échelles autorise la représentation de la matrice comme un matériau poreux dont la « phase solide » est la mousse poreuse pré-homogénéisée, c’est-à-dire les hydrates basse densité (voir figure 8.29). Comme les plus gros pores ont été isolés de la mousse poreuse, cette dernière va être plus dense que précédemment.

anhydre pore de gel

hydrates matrice

plaquette

petit pore briquette

solide gros pore

haute densité

hydrates basse densité élémentaire

pâte

Fig. 8.29 – Représentation schématique du modèle morphologique de pâte de ciment, avec une description améliorée de la matrice

Du point de vue technique, les caractéristiques mécaniques de cette matrice peuvent être estimées en faisant appel à deux schémas auto-cohérents successifs :

– les plaquettes et les petits pores sont homogénéisés pour former les hydrates basse densité (mousse poreuse), en réutilisant le schéma auto-cohérent déjà implémenté pour modéliser les hydrates haute et basse densité dans le modèle précédent (section 8.2.3) ;

– les hydrates basse densité et les pores les plus gros sont homogénéisés pour former la matrice, en exploitant un schéma auto-cohérent classique avec des formes sphériques (rap- pelé en section 2.1.1), afin de rendre compte d’une précipitation désordonnée des hydrates basse densité dans l’espace situé entre les particules composites anhydre + hydrates haute densité.

Il est commode d’introduire la fraction volumique fm de matrice dans la pâte, qui est la somme des contributions du solide (f_m^s) et de l’espace poreux (fm^p). Par rapport aux notations utilisées en section 8.2.4, on insiste sur le fait quef_m, f_m^s et fm^p remplacent respectivement les quantités précédentesfbd,f_bd^s etf_bd^p. La porosité totale (gros et petits pores) de la matrice s’écrit ϕm =fm^p/fm.

La description de la matrice fait référence à deux tailles a priori bien séparées de pores. D’une part, nous avons les plus gros pores capillaires (jusqu’à20 µm). Ils forment l’espace poreux pris en compte dans la seconde étape d’homogénéisation (mousse + espace poreux). D’autre part, la mousse poreuse (hydrates basse densité) renferme les plus petits pores capillaires (jusqu’à environ 200 nm) et les pores de gel. Le nouveau modèle introduit donc un paramètre morphologique supplémentaireχ séparant la porosité de la matrice ϕm en gros pores capillaires ((1−χ)ϕm) et pores de la mousse (χϕm). Notons que le nouveau modèle est en fait une extension du précédent.

On retrouve ce dernier dans le cas particulier χ = 1 : en l’absence de gros pores capillaires, la matrice devient identique aux hydrates basse densité.

Évidemment, la condition pour que les hydrates basse densité soient. . . moins denses que les hydrates haute densité restreint les valeurs deχ envisageables. Autrement dit, la porosité de la

CHAPITRE 8. ÉLASTICITÉ DES C-S-HET DES PÂTES DE CIMENT

mousse doit être plus élevée que celle des hydrates haute densité : χfm^p

χfm^p +f_m^s > ϕi (8.30)

ce qui donne :

χ > χ_min = ϕ_i 1−ϕi

f_m fm^p −1

(8.31) où χmin dépend de e/c et α. Cette dernière quantité est représentée par une courbe en trait interrompu fin sur les graphes de la figure 8.30. La partie du plan(χ, α) située à gauche de cette courbe (zone grisée) doit être évitée pour assurer l’inégalité (8.31).

La prise de la pâte est conditionnée par celle de la matrice. Ceci nécessite que (i) suffisamment de plaquettes aient précipité dans la mousse d’hydrates basse densitéet que (ii) la porosité de la matrice (dans la seconde étape d’homogénéisation) soit inférieure à 1/2 :(1−χ)fm^p/fm <1/2.

La condition (i) (respectivement (ii)) correspond à la partie droite (respectivement gauche) de la courbe présentée sur chaque graphe de la figure 8.30. Le degré d’hydratation de prise de la pâte de ciment dépend ainsi non seulement du rapporte/cet du rapport d’aspect r_bd^s des plaquettes, mais aussi de χ. À titre d’illustration, considérons des valeurs de e/c allant de 0.3 à 0.5, et le rapport d’aspect r^s_bd = 0.033. Par rapport au modèle précédent (correspondant à χ = 1), il apparaît que toutes les valeurs de χdans l’intervalle [0.45,1]prédisent des degrés d’hydratation de prise inférieurs, c’est-à-dire plus proches de ce que les mesures ultrasonores suggèrent [15].

0 0.2 0.4 0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

αAC 0

χ e/c= 0.3

r_bd^s = 0.033 r_bd^s = 0.12

χmin

(i) (ii)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

αAC 0

χ e/c= 0.5

r^s_bd= 0.033 r^s_bd= 0.12 χmin

Fig. 8.30 – Degré d’hydratation de prise en fonction deχ, pour quelques valeurs dee/c etr_bd^s ; seule la partie des graphes située à droite de la courbe en pointillés fins est admissible (zone non grisée, correspondant àχ > χmin)

Le paramètre morphologique χ est a priori une fonction χ(e/c, α). Il serait intéressant de clarifier la façon précise dont χ dépend de ces deux paramètres. Cela nécessite des moyens d’investigation qui semblent hors de notre portée. Cependant, afin de commencer à appréhender le nouveau modèle, on peut d’ores et déjà proposer des simulations s’appuyant sur unχconstant, choisi comme le minimum satisfaisant χ > χmin dans l’intervalle 0.2< e/c <0.6 :χ= 0.72. La figure 8.31 représente l’évolution du module de Young (drainé) de la pâte, en utilisant χ= 0.72 etχ= 1qui permet de retrouver le modèle précédent. Avecχ= 0.72, le degré d’hydratation de prise est réduit, comme attendu d’après la figure 8.30, et l’augmentation du module de Young est plus lente au début. Cependant, plus tard (α > 0.4), le nouveau modèle donne des prédictions quasi similaires à l’ancien. C’est une bonne nouvelle dans la mesure où le modèle précédent était déjà satisfaisant sur les pâtes relativement âgées (α >0.5).

No documento and cement pastes (páginas 138-144)