8.5 Conclusion
9.1.2 Homogénéisation linéaire et niveau de déformation moyen des hydrates
9.1.4 Application : résistance à la compression simple . . . 138 9.2 Limite élastique d’un amas de plaquettes . . . . 138 9.2.1 Critère à l’échelle de la plaquette . . . 139 9.2.2 Localisation : détermination deσ′n . . . 140 9.2.3 Recherche de la famille de plaquettes critiques . . . 140 9.2.4 Détermination du critère macroscopique de limite élastique . . . 143 9.2.5 Cas de la traction / compression simple . . . 145
CHAPITRE 9. RÉSISTANCE DES C-S-HET PÂTES DE CIMENT
Après avoir mis au point un modèle morphologique de pâte de ciment au chapitre précédent, il est tentant d’aller au delà de l’élasticité. Ce chapitre est consacré à la résistance.
On propose d’abord (section 9.1) un modèle de critère de rupture de pâte de ciment estimé par homogénéisation non linéaire. La morphologie reprend la première tentative réalisée en élasticité (décrite en section 8.1) : un assemblage poreux de sphères composites à cœur anhydre entouré d’une couche d’hydrates. Les hydrates sont successivement supposés de von Mises et de Druger- Prager. L’anhydre est supposé présenter une résistance bien supérieure à celle des hydrates, si bien qu’on la considère comme infinie.
Ensuite, on cherche à profiter à la fois du modèle alternatif de pâte de ciment mis au point en sections 8.2 à 8.4, et de l’approche développée pour estimer la limite élastique du plâtre pris au chapitre 5. En effet, le nouveau modèle de pâte de ciment voit les hydrates comme un assemblage de plaquettes. On adapte alors la méthode développée sur un assemblage d’aiguilles pour le plâtre pris au cas de plaquettes. Les plaquettes sont supposées élastiques fragiles.
9.1 Premier modèle de résistance de pâte [107]
En quasi-simultané avec le développement du premier modèle de pâte de ciment en élasticité (section 8.1), nous avons tenté de construire un modèle visant à estimer la résistance mécanique.
Plus précisément, nous avons mis à profit le schéma d’homogénéisation, construit pour traiter l’élasticité, dans une démarche d’homogénéisation non linéaire afin d’aborder la résistance. L’ori- ginalité de ce travail (présenté dans [107] lorsque les hydrates sont de von Mises) réside dans le caractère hétérogène de la phase solide.
9.1.1 Introduction
On s’intéresse à la rupture d’un milieu poreux dont le solide est hétérogène. Plus précisément, la microstructure correspond à celle initialement envisagée pour les pâtes de ciment (figure 8.3), c’est-à-dire un assemblage désordonné et isotrope de pores capillaires et d’un motif morphologique composite sphérique constitué d’un cœur anhydre entouré d’une calotte d’hydrates. Comme en section 8.1, l’espace poreux, l’anhydre et les hydrates sont respectivement notés par les indices pc,aeth. Le domaine occupé par lever est notéΩ. Au sein duver, le domaine occupé par la phaseiest notéΩi et la fraction volumique correspondante est notéefi. On introduit le rapport χ=p3
fa/(fa+fh). La porosité capillaire est notéefpc=ϕ.
On envisage successivement deux critères de rupture pour les hydrates : – le critère de von Mises f(σ) =σd−k;
– le critère de Drucker-Pragerf(σ) =σd−β(h−σm): on remplaceα par β pour éviter une collision de notation avec le degré d’hydratationα.
La résistance de l’anhydre est supposée bien supérieure à celle des hydrates, si bien qu’en pratique on la considèrera infinie.
Afin d’obtenir une expression approchée du critère de rupture macroscopique, on met en œuvre une démarche d’homogénéisation non linéaire de type sécante modifiée [95, 117, 118, 6].
Cette technique nécessite au préalable de résoudre un problème d’homogénéisation linéaire et, en particulier, de produire des estimations de la moyenne quadratique des déformations déviato- riques et de la moyenne des contraintes sphériques dans les hydrates.
9.1.2 Homogénéisation linéaire et niveau de déformation moyen des hydrates Dans toute cette sous-section, le comportement des deux phases solides est supposé élastique linéaire isotrope. Le comportement effectif de la pâte est alors élastique linéaire isotrope. Les
9.1. PREMIER MODÈLE DE RÉSISTANCE DE PÂTE tenseurs de contrainte et de déformation macroscopiques, respectivement notés Σ et E sont reliés par l’équation d’état :
Σ=Cpate:E avec Cpate= 3kpateJ+ 2µpateK (9.1) Afin de mettre en œuvre la technique d’homogénéisation non linéaire, il est nécessaire d’estimer la moyenne quadratique de la déformation déviatorique et la moyenne de la déformation sphérique des hydrates.
Moyenne quadratique de la déformation déviatorique
Le raisonnement présenté ici est inspiré de [68]. On part de l’expression de l’énergie élastique volumiqueΨdu domaine solide :
Ψ = 1 2|Ω|
Z
Ωa
ε:Ca:εdΩ + Z
Ωh
ε:Ch :εdΩ
(9.2) Celle-ci dépend des modules élastiques des phases anhydre et hydrates, d’une part de façon explicite à travers les tenseurs de rigiditéCi, et d’autre part de façon implicite par l’intermédiaire du champ de déformationε(x). On dérive formellement cette énergie par rapport à µh :
|Ω|∂Ψ
∂µh
= Z
Ωa
∂ε
∂µh
:Ca:εdΩ + Z
Ωh
∂ε
∂µh
:Ch:εdΩ + Z
Ωh
ε:K:εdΩ (9.3) En exploitant le comportement élastique local, cette expression devient :
|Ω|∂Ψ
∂µh = Z
Ω
∂ε
∂µh :σdΩ + Z
Ωh
ε:K:εdΩ (9.4)
On applique ensuite le lemme de Hill [133] au champ de contrainte σ et au champ de « défor- mation »∂ε/∂µh satisfaisant la « déformation » au contour ∂E/∂µh =0 :
|Ω|∂Ψ
∂µh = Z
Ωh
ε:K:εdΩ (9.5)
On obtient enfin une relation entre la dérivée de l’énergie élastique et la moyenne quadratique de la déformation déviatorique dans les hydrates :
∂Ψ
∂µh
= 2fh
ε2d
h (9.6)
Il reste à substituer l’expression macroscopique Ψ =E :Cpate:E/2 de l’énergie élastique, pour obtenir :
4fh
ε2d
h=−∂1/kpate
∂µh
Σ2m−∂1/µpate
∂µh
Σ2d (9.7)
Pour exploiter cette égalité, il convient à présent de proposer des estimations des modules élas- tiques effectifs kpate et µpate de la pâte. C’est maintenant que l’on fait référence au schéma d’homogénéisation développé en section 8.1.
Dans le cas limite de l’anhydre rigide et des hydrates incompressibles, les modules effectifs de la pâte sont donnés par les équations (8.10) et (8.11) avec les polynômes Pi(χ) définis par (8.12). En notantA=kpate/µh etB=µpate/µh, on obtient :
A= 4(1−ϕ)
3ϕ B et B=
−b+√
b2−4ac
2a si ϕ <1/2
0 si ϕ >1/2
(9.8)
CHAPITRE 9. RÉSISTANCE DES C-S-HET PÂTES DE CIMENT
avec :
a = 8(3−ϕ)P2(χ) (9.9)
b = 2(3−ϕ)P1(χ) + 24(2ϕ−1)P4(χ) (9.10)
c = 3(2ϕ−1)P3(χ) (9.11)
Ainsi, la moyenne quadratique de la déformation déviatorique dans les hydrates (9.7) prend la forme :
4fhµ2h ε2d
h= Σ2m A +Σ2d
B (9.12)
Moyenne de la contrainte sphérique
La démarche d’homogénéisation non linéaire conduite avec des hydrates de Drucker-Prager va de surcroît nécessiter une estimation de la contrainte sphérique moyenne dans les hydrates, hσmih.
On utilise pour cela les résultats établis dans l’annexe C.1.3, en remplaçant2para,1parhet 0 parpate. La porosité reste notée ϕ. L’équation (C.22) relie la contrainte moyenne hσmih dans les hydrates à E0m= trE0/3. En tenant compte des caractères rigide de l’anhydre (ka→ ∞) et incompressible des hydrates (kh→ ∞), cette relation devient :
hσmih= (3kpate+ 4µpate)E0m (9.13) Par ailleurs, la contrainte moyenneΣm =hσmi sur l’ensemble duver est reliée à E0m par :
Σm = (3fakaAspha + 3fhkhAsphh )E0m (9.14) où Aspha et Asphh sont respectivement donnés par (C.5) et (C.11). Dans le cas limite qui nous intéresse ici (ka→ ∞ etkh→ ∞), cette relation devient :
Σm= (1−ϕ)(3kpate+ 4µpate)E0m (9.15) On a ainsi établi :
hσmih=CΣm avec C= 1
1−ϕ (9.16)