2.2 Schéma ac avec inhomogénéité ellipsoïdale de révolution
2.2.1 Mise en œuvre du schéma auto-cohérent
Le schéma auto-cohérent usuel, dont la mise en œuvre a été rappelée en section 2.1.1, exploite des inhomogénéités sphériques dans les problèmes auxiliaires d’Eshelby pour estimer la déforma- tion moyenne de l’espace poreux et celle de la phase solide (voir figure 2.1). On propose ici de modifier le problème auxiliaire visant à estimer la déformation moyenne de la phase solide, en remplaçant la forme sphérique par un ellipsoïde de révolution (voir figure 2.6). En fait, on consi- dère une famille infinie d’ellipsoïdes de révolution qui ne diffèrent que par leur orientation, avec une distribution isotrope. La forme utilisée pour représenter l’espace poreux reste une sphère.
Sur le plan théorique, comme on exploite des formes différentes, la question de la symétrie du tenseur de rigidité auto-cohérent n’est pas a priori réglée. Néanmoins, les calculs numériques présentés ci-après indiquent qu’il est possible d’exhiber une solution isotrope.
La phase solide a toujours un comportement élastique linéaire isotrope, de rigidité Cs = 3ksJ+ 2µsK. Le rapport d’aspect des ellipsoïdes de révolution, rapport entre le diamètre sur l’axe de révolution et le diamètre sur le plan de symétrie perpendiculaire à l’axe de révolution, est notérs (voir figure 2.7). Il s’agit d’un paramètre morphologique dont on étudiera l’influence sur la rigidité auto-cohérente CAC. Faisant l’hypothèse d’une rigidité auto-cohérente isotrope, on note CAC = 3kACJ+ 2µACK. On utilise ici les coordonnées sphériques (r, θ, φ) et la base sphérique(er, eθ, eφ) associée (figure 2.8).
er p
AC
s AC
orientation paramétrée par er ou (θ, φ) ξ(x)→E0·x,|x| → ∞
Fig. 2.6 – Problèmes auxiliaires d’élasticité à résoudre pour mettre en œuvre le schéma auto- cohérent envisagé (sphère pour représenter l’espace poreux p et ellipsoïdes de révolution pour représenter le solides)
La déformation moyenne hεip de l’espace poreux est à nouveau estimée par la déformation uniforme d’une cavité sphérique plongée dans un milieu infini, de rigidité CAC, soumis à une déformation homogèneE0 à l’infini (figure 2.6 gauche) :
hεip=Ap:E0 avec Ap= (I−SACsph)−1 (2.10) oùSACsph est le tenseur d’Eshelby [36] d’une sphère dans un milieu de rigidité CAC.
CHAPITRE 2. HOMOGÉNÉISATION DES POLYCRISTAUX POREUX
ellipsoïde aplati (oblate)
rs=b/a <1
b a
sphère
rs=b/a= 1 b
a
ellipsoïde allongé (prolate)
rs=b/a >1 b a
Fig. 2.7 – Définition du rapport d’aspectrs d’un ellipsoïde de révolution et appellation selon la valeur de ce rapport d’aspect
r φ θ
er
eθ eφ
e1
e2 e3
Fig. 2.8 – Base sphérique(er, eθ, eφ) définie par rapport à la base fondamentale (e1, e2, e3)
2.2. SCHÉMA ACAVEC INHOMOGÉNÉITÉ ELLIPSOÏDALE DE RÉVOLUTION
La phase solide est représentée par une famille infinie d’ellipsoïdes de révolution, dont l’orien- tation est répartie de façon isotrope (figure 2.6 droite). La déformation moyenne de la phase solide est donc estimée par la moyenne des déformations des ellipsoïdes :
hεis= Z 2π
φ=0
Z π θ=0
εs(θ, φ)sinθ
4π dθdφ (2.11)
en tenant compte du caractère isotrope de la répartition de l’orientation. Dans cette expression, εs(θ, φ)représente la déformation qui s’établit dans l’ellipsoïde de révolution d’axeer(paramétré par les angles θ et φ). Cette dernière est obtenue par résolution du problème d’Eshelby [36]
élémentaire représenté sur la figure 2.6 droite :
εs(θ, φ) = [I+PACell (θ, φ) : (Cs−CAC)]−1 :E0 (2.12) oùPACell (θ, φ) est le tenseur de Hill d’un ellipsoïde de révolution dont l’axe ester, plongé dans un milieu isotrope. Ce tenseur de Hill dépend des anglesθetφ, des modules élastiqueskAC etµAC, et du rapport d’aspect rs de l’ellipsoïde. Il s’agit d’un tenseur isotrope transverse symétrique d’axeer. Son expression est explicitée dans [30] par exemple. Finalement, en combinant (2.11) et (2.12), la déformation moyenne de la phase solide est estimée par :
hεis=As :E0 avec As= Z 2π
φ=0
Z π θ=0
[I+PACell (θ, φ) : (Cs−CAC)]−1sinθ
4π dθdφ (2.13) La déformation auxiliaireE0 est classiquement reliée à la déformationE au contour du ver en utilisant la règle de moyenne :
E=hεi=ϕhεip+ (1−ϕ)hεis (2.14) oùϕest la porosité. La contrainte moyenne dans leverestΣ= (1−ϕ)hσis = (1−ϕ)Cs:hεis. La rigidité auto-cohérenteCACest alors définie comme le tenseur reliant déformation au contour et contrainte moyenne, soitΣ=CAC:E. Compte tenu de (2.10), (2.13) et (2.14), cette dernière s’écrit :
CAC = (1−ϕ)Cs:As : [ϕAp+ (1−ϕ)As]−1 (2.15) En substituant les expressions deAs etAp dans (2.15), on obtient finalement :
CAC = (1−ϕ)Cs: Z 2π
φ=0
Z π θ=0
[I+PACell (θ, φ) : (Cs−CAC)]−1sinθ
4π dθdφ (2.16)
:
ϕ(I−SACsph)−1+ (1−ϕ) Z 2π
φ=0
Z π θ=0
[I+PACell (θ, φ) : (Cs−CAC)]−1sinθ 4π dθdφ
−1
En supposantCACisotrope et en projetant surJetKl’équation tensorielle (2.16), on établit deux équations scalaires polynomiales enkAC etµAC. On constate numériquement que ces équations présentent toujours un couple solutionkAC≥0,µAC ≥0. Ainsi, on est capable de produire une solutionCAC isotrope de (2.16). En particulier, ce tenseur de rigidité est symétrique.
Les deux équations scalaires issues de (2.16) ne prennent une expression simple que dans le cas particulier de formes sphériques (rs→1) : on retrouve (2.8) et (2.9).
Dans le cas général rs 6= 1, les modules auto-cohérents dépendent des modules élastiques ks et µs du solide, de la porosité ϕ et du rapport d’aspect rs des ellipsoïdes. Ce dernier est un paramètre morphologique supplémentaire par rapport au cas des formes sphériques traité en section 2.1. Sur la figure 2.9, on représente en fonction de la porosité, les modules auto-cohérents de compression, de cisaillement, de Young et le coefficient de Poisson auto-cohérent pour 5 valeurs
CHAPITRE 2. HOMOGÉNÉISATION DES POLYCRISTAUX POREUX
différentes du rapport d’aspect des ellipsoïdes. Le rapport d’aspect a une influence notable sur les caractéristiques élastiques effectives, dès que la porosité dépasse 0.2. Lorsque rs > 1, plus les ellipsoïdes sont élancés (rs grand), plus le module de Young auto-cohérent est important à porosité fixe. Il en est de même lorsquers <1 : plus les ellipsoïdes sont aplatis (rs petit), plus le module de Young auto-cohérent est elevé. Notons que les caractéristiques élastiques effectives obtenues avec des plaquettes (rs→0) et avec des aiguilles (rs→ ∞) sont différentes, les modules les plus élevés étant obtenus pour des plaquettes. Intuitivement, on sent que les plaquettes, de grande extension selon toutes les directions d’un plan, jouent un rôle morphologique différent des aiguilles, de grande extension selon une seule direction. Notons encore qu’à porosité donnée, les modules effectifs les plus faibles sont obtenus pourrs= 1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.25 0.5 0.75 1
kAC /ks
ϕ
rs→0 rs= 0.1 rs= 1 rs= 10 rs→ ∞
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.25 0.5 0.75 1
µAC /µs
ϕ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.25 0.5 0.75 1
EAC /Es
ϕ
0 0.1 0.2 0.3
0 0.25 0.5 0.75 1
νAC
ϕ
Fig. 2.9 – Modules de compression, de cisaillement, de Young et coefficient de Poisson estimés par schéma auto-cohérent en fonction de la porosité, pour quelques valeurs du rapport d’aspect des ellipsoïdes solides (νs= 0.3) : les courbes correspondant àrs<1 apparaissent en gras
Lorsque ϕ < 0.2, la forme des ellipsoïdes n’a quasiment pas d’influence sur les modules homogénéisés (comme déjà mis en évidence dans [41] pour le cas rs > 1). La dépendance des modules effectifs vis-à-vis de la porosité se rapproche de celle obtenue pour un milieu poreux dont la phase solide constitue une matrice (modélisé par un schéma différentiel par exemple).
La porosité critique ϕc, au dessus de laquelle les modules auto-cohérents s’annulent, ne vaut plus 1/2 (cas des formes sphériques, voir section 2.1.2), mais dépend du rapport d’aspect rs. Celle-ci sera étudiée en section 2.2.3.
Dans le chapitre 5, nous serons amenés à exploiter les modules auto-cohérents dans le cas d’aiguilles (rs→ ∞). Les deux équations polynomiales issues de (2.16) adoptent dans ce cas une
2.2. SCHÉMA ACAVEC INHOMOGÉNÉITÉ ELLIPSOÏDALE DE RÉVOLUTION
expression « relativement simple » :
2
X
ik=0 2
X
iµ=0
aik,iµ(ms, ϕ) kAC
ks
ik µAC
µs
iµ
= 0 (2.17)
2
X
ik=0 6
X
iµ=0
bik,iµ(ms, ϕ) kAC
ks
ik µAC
µs
iµ
= 0 (2.18)
avecms= 4µs/3/kset les polynômesaik,iµ(ms, ϕ)etbik,iµ(ms, ϕ)respectivement explicités dans les tables 2.1 et 2.2.
❍❍
❍❍
❍❍ iµ
ik
0 1 2
0 0 0 (ms+ 4)ϕ
1 m2s(ϕ−1) ms(ms+ 8ϕ−4) ms(4−ϕ)
2 3m2s(ϕ−1) 3m2s 0
Tab. 2.1 – Polynômesaik,iµ(ms, ϕ) intervenant dans (2.17)
❍❍
❍❍
❍❍ iµ
ik
0 1
0 0 0
1 0 116ms(1−ϕ)
2 56m2s(1−ϕ) ms[ms(312−587ϕ) + 4(207−482ϕ)]
3 m2s[ms(144−319ϕ) + 20(18−53ϕ)] ms[35ms(16−51ϕ)−4(299ϕ+ 101)]
4 m2s[ms(224−949ϕ)−8(69ϕ+ 31)] ms[−ms(869ϕ+ 456) + 20(2ϕ−27)]
5 m2s[−5ms(77ϕ+ 48) + 4(17ϕ−42)] m2s(41ϕ−416)
6 m3s(53ϕ−128) 0
❍
❍❍
❍
❍❍ iµ
ik
2
0 48(1−ϕ)
1 4ms(36−61ϕ) + 16(27−52ϕ) 2 4ms(84−209ϕ)−16(47ϕ+ 3) 3 −4ms(139ϕ+ 36) + 16(2ϕ−27) 4 12ms(3ϕ−28)
5 0
6 0
Tab.2.2 – Polynômes bik,iµ(ms, ϕ) intervenant dans (2.18)