Modélisation d’un essai de traction simple

CHAPITRE 6. COMPORTEMENT POST-LIMITE ÉLASTIQUE DU PLÂTRE PRIS

θ₁

0 1 2 3 4

0 22.5 45 67.5 90

module(GPa)

θ₁ (°) fp =f_p⁰

C₁₁₁₁^pp C₁₁₂₂^pp C₁₁₃₃^pp

0 1 2

0 22.5 45 67.5 90

module(GPa)

θ₁ (°)

fp =f_p⁰+ (1−f_p⁰) cosθ₁

C₃₃₃₃^pp C₁₃₁₃^pp Epp^app

Fig. 6.3 – Composantes du tenseur de rigidité homogénéisé et module de Young apparent selon e₃ en fonction deθ₁ (Eg = 40GPa,ν_g = 0.34,f_p⁰ = 0.7)

À partir des résultats tracés en partie droite des figures 6.2 et 6.3, on représente en figure 6.4 l’évolution du module de Young apparent en fonction de la fraction solide. Pour une fraction solide nulle, le module de Young est évidemment nul. Lorsque fs = 0.3, on retrouve dans les deux cas une distribution isotrope de cristaux et le module de Young vaut 1.9 GPa. Conformément à l’intuition, c’est lorsque les cristaux sont placés autour de l’axe de sollicitation (c’est-à-dire e₃) que le module de Young est le plus élevé (courbe tracée en trait plein sur la figure 6.4).

0 0.5 1 1.5 2

0 0.1 0.2 0.3

Eapp pp

(GPa)

fs

θ1

θ₀

Fig.6.4 – Module de Young apparent en fonction de la fraction solide pour les deux morphologies envisagées (Eg = 40GPa, νg = 0.34,f_p⁰= 0.7)

6.2. MODÉLISATION D’UN ESSAI DE TRACTION SIMPLE où ρ est un paramètre qu’il faut ajuster de sorte que le tenseur de contraintes macroscopique Σ=C_pp:E soit effectivement uniaxial :

ρ= C₁₁₃₃^pp

C₁₁₁₁^pp +C₁₁₂₂^pp (6.5)

On modélise ainsi un essai de traction simple contrôlé en déformation par la variable E33, à laquelle on impose une évolution croissante à partir de 0. Il faut néanmoins prendre garde au fait que le paramètre ρ défini par (6.5) n’est pas constant au cours de l’essai, puisqu’il dépend de l’état d’endommagement de la microstructure. Ainsi,ρs’apparente davantage à un paramètre subi, si bien que l’on ne peut en fait parler d’« essai piloté en déformation par E₃₃ » que par abus de langage.

6.2.2 Repérage du cristal critique

On rappelle que l’on considère le cas du critère local en traction : σN < σcr. Initialement, lorsque la distribution de cristaux est isotrope, l’orientation qui maximiseσN est θ₀ = 0, ce qui correspond à l’axe de traction simple (section 5.3.2). La première orientation critique est donc θ₀ = 0. Les cristaux présentant cette orientation vont ainsi être « désactivés » dès lors que la limite élastique macroscopique va être atteinte. Puis une autre orientation va devenir critique et les cristaux correspondants vont être désactivés, et ainsi de suite. . . La question est ici de déterminer la succession d’orientations critiques, c’est-à-dire de cristaux désactivés.

L’intuition conduit à supposer que les orientations critiques successives sont caractérisées par un angle θ₀ croissant à partir de 0. Les cristaux subsistants (non désactivés) occupent alors le côneθ0 ≤θ ≤90° (figure 6.5). La variable θ0 est donc identifiée comme une variable d’endom- magement.

fraction volumique(1−f_p⁰) cosθ0

fraction volumique (1−f_p⁰)(1−cosθ₀) e₃

axe de révolution et de traction

θ0

prochain cristal désactivé (cristal critique) cristaux subsistants

cristaux désactivés

Fig. 6.5 – Cristaux désactivés et subsistants, et prochain cristal désactivé, dans le cas de la traction simple

On vérifie maintenant cette hypothèse. Il s’agit de déterminer la contrainteσN dans tous les cristaux subsistants. Cette dernière dépend à la fois de l’état de la microstructure (caractérisé par la variable d’endommagementθ₀), et de l’orientation considérée (définie par le paramètreθ). On la noteσN(θ₀, θ) avec θ∈[θ₀; 90°]. Le comportement des cristaux avant rupture étant élastique linéaire,σN est proportionnel à la déformation macroscopiqueE₃₃. On normaliseσN/E₃₃par le module de YoungE_s des cristaux, pour former :

σ_N^∗(θ₀, θ) = σ_N(θ₀, θ)

EsE33 (6.6)

En d’autres termes,Esσ_N^∗ (θ₀, θ) représente la contrainte mobilisée dans le cristal d’orientationθ lorsque la variable d’endommagement prend la valeurθ₀, et pour une déformation macroscopique axiale unité. La grandeur σ_N^∗ est sans dimension et indépendante de la valeur du chargement E₃₃. Néanmoins,σ^∗_N dépend de θ₀, qui est tributaire du niveau de chargement. Les calculs sont

CHAPITRE 6. COMPORTEMENT POST-LIMITE ÉLASTIQUE DU PLÂTRE PRIS

réalisés de façon similaire à la section 5.3, en considérant cette fois un milieu effectif isotrope transverse et non isotrope. Sur la figure 6.6, on représente en trait plein l’évolution de σ_N^∗(θ₀, θ) en fonction deθpour quelques valeurs deθ0. Pour chaqueθ0, l’angleθqui maximiseσ_N^∗(θ0, θ)est θ=θ₀. L’orientation critique est bien θ=θ₀. On représente aussi sur la figure 6.6 en pointillés le lieu des maxima, c’est-à-dire la fonction θ₀ →σ_N^∗(θ₀, θ₀), qui est décroissante.

On remarque que sur les quatre courbes tracées en trait plein, la fonction θ → σ_N^∗(θ₀, θ) passe par 0 puis atteint son minimum en θ = 90°, minimum qui est négatif. Les cristaux per- pendiculaires à l’axe de traction subissent donc une contrainte de compression le long de leur axe. Ceci peut s’interpréter en invoquant l’effet Poisson à l’échelle de l’éprouvette, qui conduit à une réduction (puisqueνpp>0) de la section de l’éprouvette à mesure que E₃₃ augmente. Cette réduction de section tend à mettre en compression les cristaux perpendiculaires à e₃.

θ₀

-0.2 0 0.2 0.4 0.6

0 22.5 45 67.5 90

σ∗ N(θ0,θ)=σN(θ0,θ) E33Es

θ (°) θ₀ = 0 22.5°

45°

67.5°

Fig.6.6 – Contrainte σN dans l’axe du cristal d’orientation θpour quelques valeurs deθ₀, et en pointillés la contrainte σN dans le cristal d’orientation θ₀ pour tout θ₀ (νg = 0.34,f_p⁰ = 0.7), en traction simple

6.2.3 Détermination du comportement au delà de la limite élastique

Jusqu’à maintenant, on ne s’est pas préoccupé de la valeur prise par E₃₃. On a déterminé l’orientation critique en maximisant la fonction θ → σ_N^∗(θ0, θ). On a établi l’évolution de cette orientation critique θ₀ en considérant le fait qu’un cristal devenu critique est rompu. Il reste à déterminer la loi d’évolution de la variable d’endommagement, c’est-à-dire relier θ₀ à la défor- mation macroscopique. E33 subit une évolution monotone croissante dans le temps, supposée donnée. Supposons que la microstructure ait atteint un état d’endommagement caractérisé par θ₀. Le cristal critique, qui maximiseσ_N, estθ=θ₀. Ce cristal est désactivé lorsque sa contrainte σN atteint σcr, c’est-à-dire σN(θ0, θ0) = σcr. Ceci assure le lien entre l’orientation courante θ0

du cristal désactivé et la déformation macroscopique courante E₃₃:

E_sE₃₃σ_N^∗ (θ₀, θ₀) =σ_cr (6.7) La nature de l’essai que nous sommes en train de modéliser impose E₃₃ croissant au cours du temps. Ainsi, d’après (6.7), σ^∗_N(θ₀, θ₀) est assujettie à décroître dans le temps. Or nous avons montré dans la section précédente que, par le mécanisme de désactivation successive des cristaux, la fonction θ₀ → σ_N^∗(θ₀, θ₀) est nécessairement décroissante, ce qui signifie que θ₀ croît dans le temps. Ainsi, à mesure queE₃₃croît,θ₀croît lui aussi, de façonstable. On représente l’orientation θ0des cristaux désactivés en fonction deE33sur la figure 6.7 pour quelques valeurs de la porosité intercristalline f_p⁰, en reprenant le paramètre σcr = 15 MPa identifié en section 5.3.4. Tant que

6.2. MODÉLISATION D’UN ESSAI DE TRACTION SIMPLE E₃₃ n’a pas dépassé le seuil de limite élastique macroscopique, tous les cristaux subsistent et θ₀ = 0. Dès ce seuil dépassé, θ₀ augmente avec E₃₃ de façonstable : θ₀ n’augmente que siE₃₃ augmente lui même.

0 22.5 45 67.5 90

0 1000 2000 3000 4000

θ0(°)

E33 (10⁻⁶)

f_p⁰ = 0.6 f_p⁰ = 0.7 f_p⁰ = 0.8

Fig. 6.7 – Loi d’évolution de la variable d’endommagement θ₀ en fonction de la déformation macroscopique (Eg = 40GPa,ν_g = 0.34,σ_cr = 15MPa)

La loi d’évolution de la variable d’endommagement θ₀ étant connue, on peut déterminer la rigidité effective C_pp puis le module de Young apparent Epp^app (voir (6.1)) correspondants. On en déduit la contrainte de traction macroscopiqueΣ₃₃=Epp^appE₃₃. Le sens de variation de cette dernière est a priori indéterminé, puisqueE₃₃ augmente alors queEpp^appdiminue (dans la mesure oùθ₀ augmente, voir figure 6.2). Par ailleurs, la déformation macroscopiqueE₁₁ =−ρE₃₃ peut être déterminée à l’aide de l’expression (6.5) de ρ. La figure 6.8 représente l’évolution de E₃₃, Σ₃₃ et E₁₁ au cours d’une expérience de traction simple modélisée pour quelques valeurs de la porosité f_p⁰. On observe d’abord une phase élastique. Dès la limite élastique atteinte et le premier cristal désactivé, la contrainte Σ₃₃ décroît. À l’échelle macroscopique, on obtient donc une rupture fragile stable. En particulier, la résistance (valeur maximale atteinte par Σ33) est égale à la limite élastique. Ceci autorise la comparaison, effectuée en section 5.3.4, de la limite élastique modélisée avec la résistance expérimentale.

0 0.5 1 1.5 2

-250 -200 -150 -100 -50 0 Σ33(MPa)

E₁₁ (10⁻⁶) f_p⁰= 0.6 f_p⁰= 0.7 f_p⁰= 0.8

0 0.5 1 1.5 2

0 1000 2000 3000 4000

Σ33(MPa)

E₃₃ (10⁻⁶)

f_p⁰ = 0.6 f_p⁰ = 0.7 f_p⁰ = 0.8

Fig.6.8 – Comportement obtenu en traction simple pour quelques valeurs de la porosité (Eg = 40GPa, νg = 0.34,σcr = 15MPa)

Les essais en traction simple avec contrôle en déformation sont très délicats à réaliser sur le

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plâtre pris. Ainsi, nous n’avons trouvé dans la littérature que des essais (avec parfois la propo- sition d’un modèle purement macroscopique de comportement) sur plâtre pris fibré, en traction simple [99, 2, 79] ou en flexion [16, 37]. Il faudrait donc, pour valider l’approche développée ici, envisager soit la modélisation d’un essai de flexion, soit l’incorporation de fibres par une étape d’homogénéisation supplémentaire.