CHAPITRE 4. ÉLASTICITÉ DU PLÂTRE PRIS
0 10 20 30 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Epb(GPa)
ϕ
mt χb = 0.6 χb = 0.4 χb = 0.2 χb = 0
0 2 4 6 8 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Epb(GPa)
χb
mt
ac ϕ= 0.6
Fig.4.9 – Module de Young effectif de plâtre pris avec bulles : impact de la fraction de bullesχb
(partie gauche, avecrg = 12.5), et impact du type de schéma employé pour introduire les bulles (partie droite, avec rg = 12.5 etϕ= 0.6)
4.4 Détermination d’une rigidité isotrope équivalente pour le so-
4.4. DÉTERMINATION D’UNE RIGIDITÉ ISOTROPE ÉQUIVALENTE POUR LE SOLIDE
0 10 20 30 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Epp(GPa)
fp
prolates isotropes prolates anisotropes
Fig. 4.10 – Module de Young du plâtre pris, obtenu soit à partir d’ellipsoïdes de révolution anisotropes, soit à partir d’ellipsoïdes de révolution isotropes (rg = 15)
Chapitre 5
Limite élastique du plâtre pris
Dans ce chapitre, on cherche à modéliser la limite élastique du plâtre pris. Le modèle morpho- logique reste celui qui a été validé en élasticité au chapitre précédent : un schéma auto-cohérent dont les particules solides sont allongées et d’orientation uniformément répartie. On se donne un critère de rupture fragile des cristaux, portant sur les contraintes dans ceux-ci. On détermine alors par voie micromécanique le critère de limite d’élasticité macroscopique, en considérant que celui-ci est atteint dès lors que l’un des cristaux a rejoint son critère de rupture. Plus précisé- ment, la forme qualitative du critère de limite d’élasticité macroscopique est d’abord recherchée.
Ensuite, on détermine cette forme pour deux critères locaux différents. Dans ces deux cas, on compare les limites élastiques modélisées à des valeurs de résistance mesurées en traction et compression simple.
Sommaire
5.1 Critère à l’échelle des cristaux . . . . 52 5.2 Forme du critère macroscopique de limite élastique . . . . 53 5.2.1 Localisation des contraintes en moyenne dans les cristaux . . . 54 5.2.2 Cas d’une contrainte macroscopique isotrope . . . 54 5.2.3 Cas d’une contrainte macroscopique quelconque . . . 55 5.3 Cas d’un critère local portant seulement sur la traction . . . . 56 5.3.1 Localisation : détermination deσN . . . 56 5.3.2 Recherche de l’orientation critique . . . 56 5.3.3 Détermination du critère macroscopique de limite élastique . . . 57 5.3.4 Cas de la traction / compression simple . . . 59 5.4 Cas du critère local complet . . . . 60 5.4.1 Localisation : détermination deσT . . . 60 5.4.2 Recherche de l’orientation critique . . . 61 5.4.3 Détermination du critère macroscopique de limite élastique . . . 61 5.4.4 Cas de la traction / compression simple . . . 63 5.5 Conclusion . . . . 66
CHAPITRE 5. LIMITE ÉLASTIQUE DU PLÂTRE PRIS
Le module de Young du plâtre pris a été modélisé avec succès par approche de changement d’échelle. On envisage à présent d’aller plus loin en proposant un modèle de limite d’élasticité du plâtre pris, sans bulles, donc à l’échelle mésoscopique telle que définie sur la figure 3.7.
Ceci étant dit, nous nous permettrons de parler de « limite élastique macroscopique » ou de
« contraintes macroscopiques » même si, d’après les trois échelles définies sur la figure 3.7, nous devrions qualifier limite élastique et contraintes de « mésoscopiques ». Souhaitant à nouveau mettre en œuvre une démarche micromécanique, il faut commencer par se donner un mécanisme local de rupture à l’échelle des cristaux (section 5.1). La rupture du plâtre pris semble survenir par décohésion des cristaux [80]. Cependant, la prise en compte d’un tel mécanisme soulève des difficultés d’ordre technique, pour le moment non résolues. On part donc d’une hypothèse ne présentant pas cette limitation. On se donne ainsi un critère portant sur les contraintesdans les cristaux et intégrant le caractère élancé de ces derniers. On imagine une rupture fragile : dès que le critère est atteint, le cristal correspondant ne reprend plus aucun effort.
Dans ce chapitre, on recherche la limite élastique d’un polycristal à grains en aiguilles dont les cristaux présentent un comportement élastique fragile. La limite élastique macroscopique est atteinte dès lors que l’un des cristaux rencontre son critère de rupture. On établit d’abord qua- litativement la forme du domaine élastique macroscopique (section 5.2). On détermine ensuite précisément cette forme dans deux cas, correspondant à deux critères locaux différents (sec- tions 5.3 et 5.4). À la fin de chacune de ces sections, on compare les limites élastiques modélisées en traction et compression simple à des résistances mesurées sur plâtre pris.
Il convient de noter que contrairement à un raisonnement de calcul à la rupture, l’approche de rupture fragile envisagée ici mène à des résistances macroscopiques qui dépendent des carac- téristiques élastiques des cristaux et de l’état initial de ceux-ci [103]. Rappelons que l’état initial correspond ici à du plâtre pris complètement hydraté. On fait dans toute la suite l’hypothèse d’un état initial naturel, c’est-à-dire une déformation et une contrainte nulles dans tous les cristaux lorsque la déformation ou la contrainte macroscopique est nulle. Dans la réalité, l’état initial peut très bien ne pas être naturel : une précontrainte peut apparaître dans les cristaux, comme conséquence des mécanismes d’hydratation qui ont donné naissance à la microstructure. Dans ce cas, il faudra modifier les résistances fragiles obtenues pour tenir compte du caractère non naturel de l’état initial.
5.1 Critère à l’échelle des cristaux
La rupture du plâtre pris semble survenir par un mécanisme de « déchaussement » des cris- taux [80]. Ce mécanisme fait donc intervenir les interfaces entre les cristaux. Il s’agirait donc de considérer chaque cristal comme entouré d’une interface imparfaite, c’est-à-dire supposant l’existence d’une discontinuité de déplacement. Le modèle auto-cohérent exploité en élasticité (chapitre 4) devrait ainsi être modifié en considérant une inhomogénéité ellipsoïdale de révolu- tion entourée d’une interface imparfaite, plongée dans un milieu infini (voir partie droite de la figure 2.6 : l’ellipsoïde de révolution serait à entourer d’une interface imparfaite). Ce faisant, le nouveau problème auxiliaire à résoudre ne serait plus un problème d’inhomogénéité d’Eshelby, ce qui nécessiterait des développements techniques relativement lourds que nous n’avons pas en- visagés dans le cadre de ce travail. Afin de pallier cette difficulté d’ordre purement technique, on propose de recourir à un critère portant sur les contraintes régnantdans les cristaux.
Il s’agit donc de se doter d’un moyen de relier les contraintes dans les cristaux au chargement macroscopique (en contraintes). On a typiquement affaire à un problème de localisation. En section 2.2.1, la construction du schéma auto-cohérent mis ensuite à profit pour estimer l’élasticité du plâtre pris a justement nécessité d’estimer la déformation moyenne de chaque famille de cristaux, définie par son orientation. Comme cette approche a donné des résultats satisfaisants en élasticité (sections 2.2.2 et 4.2.3), il semble envisageable d’exploiter ici une estimation similaire
5.2. FORME DU CRITÈRE MACROSCOPIQUE DE LIMITE ÉLASTIQUE