Dokaz, da so kvinta, kvarta in sekunda v superpartikularnem rodu

23.1| Ostane dokaz, da sodijo kvinta, kvarta in ton (velika sekunda) k superparti- kularnosti. Čeprav smo pokazali to že v zgornjem dokazu, tistem, po katerem oktave ni mogoče postaviti v superpartikularni rod, in je bilo to na neki način utemeljeno in pojasnjeno že tam,⁹⁰ razpravljajmo o tem zdaj posamično in bolj natančno.

23.2| Če kdo trdi, da ta razmerja ne spadajo v superpartikularni rod, bo moral pri- znati, da jih je treba postaviti v množinskega. Zakaj jih ni mogoče prisoditi su- perpartientnemu ali kateremu od mešanih rodov, je bilo, kot menim, razloženo poprej.⁹¹ Vzemimo, da spadajo ta razmerja, če je možno, v množinski rod. Ker je konsonanca kvarte manjša, kvinte večja, naj se kvarta prisodi dvojnemu, kvinta pa trojnemu množinskemu razmerju. Gotovo je, da konsonanca kvarte neposredno sledi konsonanci kvinte; tako mora biti konsonanca kvinte, če se kvarta določi kot dvojno razmerje, postavljena v razmerje, ki neposredno sledi

quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri.

23.3| Restat igitur, ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici, quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a diapente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arith- meticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in su- perparticulari inaequalitatis genere non conlocentur.

23.4| Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor quam diatessaron, diatessaron vero minus est quam dia- pente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono, quadruplum igitur se- cundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur au- feramus triplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supple- bunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonan- tiam non esse multiplicem.

23.5| Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diates- saron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in duplici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron conso- nantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore habitudine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Diatessaron vero, quae minor est, in multiplici qui- dem aptari non potest – non est enim quicquam minus a duplici – sit igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia; in continua enim proportione locabitur.

Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur

dvojnemu, to pa je trojno. Ker pa je ton (velika sekunda) v vrsti glasbenih raz- merij nameščen za kvarto, naj bo postavljen v tisto razmerje, ki je manjše od dvojnega. A takšnega v množinskem rodu ni.

23.3| Ostane torej, da pade v superpartikularna razmerja, in vzemimo, da je razmer- je tona (velike sekunde) prvo superpartikularno razmerje, tj. tripolovinsko.⁹² Če se trojno deli z dvojnim, nastane tripolovinsko. Če pripada torej kvarta dvojnemu razmerju, kvinta pa trojnemu, in če ob odvzetju kvarte od kvinte ostane ton (velika sekunda), ni nobenega dvoma, da ga je treba postaviti v tripolovinsko razmerje. A dve tripolovinski razmerji sta več kot dvojno, kar si lahko vsakdo, ki se je poučil iz Aritmetike, izračuna sam. Dva tona (veliki sekundi) bosta torej presegla kvarto, kar je nesmisel, saj je kvarta za pol tona večja od dveh celih tonov. Tako ni možno, da kvinta in kvarta ne bi bili priso- jeni superpartikularnemu rodu neenakosti.⁹³

23.4| Morda pa bo hotel pripisati kdo ton (veliko sekundo) množinskem rodu. Ker je ton manjši od kvarte, kvarta pa manjša od kvinte, bi bila lahko kvinta posta- vljena v četverno razmerje, kvarta v trojno, ton pa v dvojno razmerje. A kvinta sestoji iz kvarte in tona, in po tem sklepanju bi četverno moralo sestajati iz trojnega in dvojnega, kar ni res. Ponovno postavimo kvarto v trojno, kvinto pa v četverno razmerje. Če četverno delimo s trojnim, nastane štiritretjinsko, in če konsonanci kvinte odvzameš kvarto, ostane ton (velika sekunda). Po tem sklepanju bi bil torej ton v štiritretjinskem razmerju. Vendar so tri štiritretjin- ska razmerja manj kot eno trojno razmerje;⁹⁴ trije toni (velike sekunde) tako nikakor ne bi zapolnili ene kvarte, kar je popolnoma napačno. Konsonanca kvarte je namreč zapolnjena z dvema tonoma in malim poltonom. S tem je dokazano, da kvarta ne spada v množinski rod.

23.5| Trdim pa, da niti konsonanca kvinte ne more biti umeščena v množinski rod.

Če bi se vendarle prisodila množinskem rodu, se ne bi pripisala najmanjšemu množinskemu razmerju, tj. dvojnemu, ko pa obstoji kvinti neposredno sledeča manjša konsonanca, kvarta, za katero bi bilo treba pustiti prostor, kamor bi jo bilo mogoče umestiti. Vendar pa konsonanca kvarte ne spada v množinski rod, in zato tudi kvinte ni mogoče pripisati večjemu množinskemu razmerju kot je dvojno, ki je najmanše. Vzemimo torej, da je kvinta v najmanjšem mno- žinskem razmerju, dvojnem; kvarta, ki je manjša od kvinte, in ki je ni mogoče umestiti med množinska razmerja, saj od dvojnega razmerja ni manjšega, naj bo tako v tripolovinskem, ton (velika sekunda) pa v štiritretjinskem razmerju – postaviti ga je treba namreč v naslednje manjše razmerje. A dve štiritretjin- ski razmerji sta več kot eno tripolovinsko.⁹⁵ Dva tona (veliki sekundi) bi torej

approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse.

Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur.

XXIIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse

24.1| Illud quoque addendum est necessario, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus pro- portionibus collocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia.

Hoc vero approbatur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocen- tur, non est dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones superparticu- lares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum du- plum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent.

Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae per- ficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint, sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim pro- portiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent.

XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse,

presegla konsonanco kvarte, kar se nikakor ne more zgoditi. Ta sklepanja po- trjujejo, da kvinte in kvarte ni mogoče umestiti v množinski rod in tako bosta pravilno postavljeni v superpartikularni rod neenakosti.

24. Dokaz, da sta kvinta in kvarta v največjih superpartikularnih