17.1| Quod vero sit integrum semitonium aut quibus primis numeris constet, nunc evidentius explicabo. Id enim, quod de divisione toni dictum est, non ad hoc pertinet, ut semitoniorum modos voluerimus ostendere, sed ad id potius, quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disiungi.
17.2| Diatessaron quae est consonantia vocum quidem est quattuor, intervallorum trium; constat autem ex duobus tonis et integro semitonio. Sit enim subiec- ta descriptio: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. Si igitur CXCII numerus CCLVI comparetur, sesquitertia proportio fiet ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si CCXVI ad CXCII comparemus, sesquioctava proportio est.
Est enim eorum differentia XXIIII, quae est octava pars de centum XC duo- bus. Est igitur tonus. Rursus CCXLIII si CCXVI comparetur, erit altera se- squioctava proportio. Nam eorum differentia XXVII pars ducentorum XVI probatur octava. Restat comparatio ducentorum LVI ad CCXLIII, quorum differentia est XIII, qui octies facti medietatem ducentorum XL trium non videntur inplere. Non est igitur semitonium, sed minus a semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium iure putaretur, si eorum differentia, quae est XIII, facta octies medietatem ducentorum XL trium numerorum potu- isset aequare; estque verum semitonium minus ducentorum quadraginta trium ad CCLVI comparatio.
ne deli v enaka dvojčka. To se najlaže dokaže tako: Vzamemo devetosminsko razmerje 9 : 8. Med ti dve števili ne pade naravno nobeno srednje število. Po- množimo navedeni števili z 2 : 2 x 8 = 16, 2 x 9 = 18. Naravno pade med 16 in 18 eno število, in sicer 17. Postavimo ta števila v vrsto: 16, 17, 18. Postavljeni drugo nasproti drugemu obdržita števili 16 in 18 devetosminsko razmerje in zato tudi razmerje tona (velike sekunde). A tega razmerja srednje število 17 ne deli na dva enaka dela. Če ga primerjamo s 16, ima v sebi celotno število 16 in še njegovo šestnajstino, se pravi število 1. Če pa se z njim, se pravi s 17, primer- ja tretje število 18, vidimo, da vsebuje število 17 v celoti in še njegovo sedem- najstino. Število 17 ne presega torej manjšega števila z istim delom, s katerim je v večjem številu samo preseženo: sedemnajstina je manjši del, šestnajstina večji. Vendar se oba ta dva dela tona imenujeta polton; ne zato, ker bi bila enaki polovici, ampak zato, ker se s »semum« označuje tisto, kar ne doseže celosti.
Pač pa se eden od njiju imenuje veliki polton, drugi pa mali polton.
17. V katerih najmanjših številih obstoji polton
17.1| Zdaj bom jasneje razložil, kaj je dejanski polton29 in v katerih najmanjših šte- vilih obstoji.30 Kar je bilo namreč že povedano o deljenju tona (velike sekun- de), ni imelo namena prikazati vrste poltona; povedati smo hoteli le to, da tona ni mogoče razstaviti v enaka dvojčka.
17.2| Konsonanca kvarte ima sicer štiri tone, a le tri intervale; sestoji iz dveh tonov (velikih sekund) in enega dejanskega poltona.31 Podajmo naslednje ponazorilo:
192, 216, 243, 256. Če se število 192 primerja s številom 256, se pokaže štiri- tretjinsko razmerje, ki zveni v konsonanci kvarte. Če primerjamo število 216 s 192, je med njima devetosminsko razmerje. Razlika med tema dvema števi- loma je namreč 24, kar je osmina 192. To je torej ton (velika sekunda). Če se nadalje primerja 243 z 216, sta tudi tu dve števili v devetosminskem razmerju, kajti njuna razlika 27 se izkaže kot osmina 216. Ostane še primerjava števila 256 s številom 243. Njuna razlika je 13; to število, pomnoženo z 8, očitno ne doseže polovice števila 243. Med številoma 256 in 243 torej ni polton, pač pa manj kot polton. Točni polton bi bil le v primeru, da bi bila razlika med obema številoma, ki je 13, pomnožena z 8, enaka polovici števila 243. Razmerje 243 nasproti 256 je torej res mali polton.32
XVIII. Diatessaron a diapente tono distare
18.1| Rursus diapente consonantia vocum quidem est quinque, intervallorum quat- tuor, trium tonorum et minore semitonio. Ponatur enim idem numerus CXCII et eius sesqualter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonantiam. Sit igi- tur numerus CCLXXXVIII. Igitur horum et superius deprehensorum CXCII ponantur in medio numeri hi: CCXVI, CCXLIII, CCLVI, et sit hoc modo formata descriptio: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI, CCLXXXVIII. In superiori igitur descriptione CXCII et CCLVI duos tonos et semitonium con- tinere monstrati sunt. Restat igitur comparatio ducentorum quinquaginta VI ad CCLXXXVIII, quae est sesquioctava, id est tonus, eorumque differentia est XXXII, quae est octava pars ducentorum quinquaginta atque sex. Itaque monstrata est diapente consonantia ex tribus tonis semitonioque consistere.
Sed dudum diatessaron consonantia a centum XC duobus numeris usque ad CCLVI venerat. Nunc vero diapente ab eisdem CXC duobus numeris usque ad CCLXXXVIII distenditur. Superatur igitur diatessaron consonantia a diapen- te ea proportione, quae inter CCLVI et CCLXXXVIII numeros continetur, ac est hic tonus. Diatessaron igitur symphonia a diapente tono transcenditur.
XVIIII. Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi
19.1| Diapason consonantia constat ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae tamen unum non inpleant tonum. Quoniam enim monstratum est, diapason ex diatessaron et diapente consistere, diatessaron vero probata est ex duobus tonis semitonioque constare, diapente ex tribus tonis ac semitonio, simul iuncta efficiunt quinque tonos. Sed quoniam duo illa semitonia non erant integrae medietates, eorum coniunctio ad plenum usque non pervenit, sed medietatem quidem superat, ab integritate relinquitur. Estque diapason se- cundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae sicut ad integrum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt.
19.2| Sed quae horum ratio sit, vel quemadmodum ipsae consonantiae musicae repperiantur, postea liquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri intellegentia credulitas adhibenda est; tunc vero firma omnis fides sumenda est, cum propria unum quodque demonstratione claruerit. His igi- tur ita dispositis paulisper de nervis citharae ac de eorum nominibus, quoque modo sint additae disseramus, quaeque eorum causa sit nominum. His enim primitus ad notitiam venientibus facile erit scientia quae sequuntur amplecti.
18. Kvarta je za en ton oddaljena od kvinte
18.1| Nadalje ima konsonanca kvinte sicer pet tonov, vendar le štiri intervale: tri tone (velike sekunde) in en mali polton. Postavimo isto število 192; priložimo mu njegovo tripolovinsko število, ki daje z njim konsonanco kvinte. To število je 288. Med ti dve postavimo števila 216, 243, 254 in naredimo takšno pona- zorilo: 192, 216, 243, 256, 288. V prejšnjem ponazorilu je bilo prikazano, da vsebuje razmerje med številoma 192 in 256 dva tona (veliki sekundi) in polton.
Ostane torej še primerjava števila 25633 z 288, in ta je devetosminska, kar je ton (velika sekunda). Razlika med tema dvema številoma je namreč 32, kar je ena osmina 256. S tem je dokazano, da sestoji konsonanca kvinte iz treh tonov (velike sekunde) in poltona. Pravkar smo prikazali, da sega konsonanca kvarte od števila 192 do števila 256, zdaj pa se od istega števila 192 do števila 288 razteza kvinta. Konsonanca kvarte je torej presežena s kvinto z razmerjem, ki je med številoma 256 in 288, to pa je ton (velika sekunda). Kvinta presega torej konsonanco kvarte za en ton.
19. Oktava je zveza petih tonov in dveh poltonov
19.1| Konsonanca oktave sestoji iz pet tonov (velikih sekund) in dveh poltonov, ki pa ne zapolnjujeta enega tona (velike sekunde). Kot je bilo prikazano, sestoji oktava iz kvarte in kvinte; za kvarto se je izkazalo, da sestoji iz dveh tonov in poltona, za kvinto pa, da sestoji iz treh tonov in poltona. Kvarta in kvinta skupaj dasta pet tonov (velikih sekund). A ker poltona nista točni polovici, njuna povezava ne doseže celote; preseže sicer polovico, a do celote ji še nekaj manjka. Sledeč temu premisleku je oktava iz petih tonov in dveh polto- nov, ki kot sicer ne zadostujeta za celi ton, pa vendar presegata točno polovico tona.
19.2| Kaj je smisel vsega tega in po kateri poti je mogoče priti do glasbenih sozvočij, bo bolj jasno razloženo kasneje. Za zdaj je treba temu razpravljanju ob pribli- žnem razumevanju pač zaupati; trdno prepričanje bo mogoče pridobiti šele potem, ko bo z ustreznimi prikazi razjasnjena vsaka posamična stvar. Po teh razlagah razpravljajmo nekoliko o strunah kitare: o njihovih imenih, o tem, kako so se pridodajale in zakaj se tako imenujejo. Ko bo to znano, bo zlahka možno zaobjeti tudi ostalo.