16.1| Sed quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur A quidem CCLXII.CXLIIII, B autem V ab eo distans tonis CCCCLXXII.CCCXCII, C vero diapason ad id, quod est A, continens symphoniam scilicet in numeris DXXIIII.CCLXXXVIII, D autem ab eo, quod est A VI totos differens tonos DXXXI.CCCCXLI. D igitur ab eo, quod est C, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia. Id autem sit E VII.CLIII. D autem ab eo, quod est B tono integerrimo distat, VI scili- cet toni quinque tonis. Id autem sit F LVIIII.XLVIIII. Si igitur E novies au- xero, fiet mihi H LXIIII.CCCLXXVII; sin vero octies, fient LVII.CCXXIIII.
Id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia, H autem novies multiplicatum comma, G vero octies.
Demonstratus igitur est tonus minor quidem VIIII esse commatibus, eisdem vero VIII commatibus maior.
CCLXII. A CXLIIII
CCCCLXXII. B CCCXCII
CCCCXCVII. C DCLXIIII
DXXXI. D CCCCXLI VI toni
V toni semit. m.
XXVIII. K DCXII
XXXIII. E DCCLXXVII
XXXV. G DCCLXV
VII. F CLIII
16. Številčni dokazi zgornjih trditev
16.1| Čeprav je bil s pravkaršnjo izpeljavo prikazan odnos med tonom (veliko se- kundo) in komami, ne smemo nedejavno prezreti, kako omogoča ton sam po sebi primerjavo nasproti komam. Vzemimo torej A 262144; B, oddaljen od A za 5 tonov (velikih sekund), naj bo 472392, C, ki naj bo do A v sozvočju oktave, naj bo 524288, D 531441 pa naj se od A loči za šest celih tonov. D je torej od C, se pravi od sozvočja oktave, oddaljen za komo šestega tona (velike sekunde), ki naj bo E 7153.149 Od B pa je D oddaljen za celi ton, enako kot je šest tonov oddaljeno od petih. To naj bo F 59049.150 Če torej E devetkrat po- večam, dobim H 64377, če pa osemkrat, nastane 57224, kar naj bo G. Ob pri- merjavi se pokaže, da H presega F, G pa je presežen s F. Pri tem je F razlika tona (velike sekunde), H deveterno pomnožena koma, G pa osmerno. S tem je dokazano, da je ton (velika sekunda) sicer manjši od devetih kom, vendar pa večji od osmih.
večja od osem kom, vendar pa manjša od devetih. A apotomé in mali polton tvorita ton, ki je tako večji od osmih kom, vendar pa manjši od devetih.148
262144 A 5t 472392 B
mp 6t 497664 C 1t
ap.
531441 D
F = 7153 (razlika kome) K = F x 4 = 28612
E = D – C = 33777 (razl. apotomé) G = F x 5 = 35765
16.2| Ita his praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit A numerus CCCCXCVII.DCLXIIII, ab eo vero minus semito- nium distans sit B numerus, qui iam supra quoque descriptus est DXXIIII.
CCLXXXVIII. Apotomen vero distet ab eo, quod est A, is numerus, qui colligi- tur unitatibus DXXXI.CCCCXLI. Et sit hic C. Quoniam igitur AB minus semi- tonium AC maius, differentia eius, quod est B, ab eo, quod est C, perquirenda est. Ea est VII.CLIII. Id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma differentiam facit.
16.3| Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit A numerus CCCCLXXII.CCCXCII ab hoc in- tendatur tonus DXXXI.CCCCXLI et sit hoc D. Ab eo vero, quod est A, in- tendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B CCCCXCVII.DCLXIIII.
Item ab eo, quod est B semitonium aliud intendatur minus, quod est C, et sit C DXXIIII.CCLXXXVIII. Quoniam igitur AD tonus est, AC vero duo con- CCCCXCVII. A
DCLXIIII
DXXIIII. B CCLXXXVIII
DXXXI. C CCCCXLI
VII. D CLIII apotome
semiton.
CCLXII. A CXLIIII
CCCCLXXII. B CCCXCII
DXXIIII. C CCLXXXVIII
DXXXI. D CCCCXLI VI toni
V toni diapason
VII. E CLIII
LVII. G CCXXIIII
LVIIII. F XLVIIII
LXIIII. H CCCLXXVII
16.3| Nadalje nameravam dokazati, da je ton (velika sekunda) le za eno komo večji od dveh malih poltonov. Vzemimo število A 472392. Od tega števila naj se v smeri navzgor določi ton (velika sekunda), število D 531441. Nadalje naj se od A v smeri navzgor določi mali polton B 497664 in od tega v smeri navzgor še en mali polton C 524288. Ker je torej AD ton, AC pa obsega dva mala poltona, poglejmo, kaj je razlika med številoma C in D. Ta razlika, namreč E, je 7153.
16.2| V predhodnih razlagah je že bilo prikazano, da je veliki polton oddaljen od malega poltona za eno komo; kljub temu naj se to sámo potrdi še s spodaj na- vedenimi števili, in sicer s tole izpeljavo: Vzemimo A 497664; od tega naj bo za mali polton oddaljeno število B, ki je bilo že zgoraj določeno kot 524288.
Kot apotomé pa naj bo odmerjeno od A število C 531441. Ker je torej AB mali polton, AC pa veliki, je treba poiskati razliko med B in C. Ta je D 7153, kar je število, ki nam ponazarja komo. Razlika med velikim in malim poltonom je torej res koma.
497664 A mp
524288 B apotomé 531441 C
D = C – B = 7153 262144 A 5t 472392 B 8 6t 524288 C
531441 D
E = D – C = 7153 G = E x 8 = 57224 F = D – B = 59049 H = E x 9 = 64377
tinet minora semitonia, videamus ecqua sit differentia inter C atque D nume- ros constituta. Est autem, E scilicet, unitatum VII.CLIII. Demonstratum est igitur, tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem.
16.4| Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus propria ratione mon- strata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in po- sterioris commentarii disputationem censuimus transferendam.
CCCCLXXII. A CCCXCII
CCCCXCVII. B DCLXIIII
DXXIIII. C CCLXXXVIII
DXXXI. D CCCCXLI tonus
semiton.
VII. E CLIII semiton.
S tem je dokazano, da je ton (velika sekunda) za eno komo večji od dveh malih poltonov.
16.4| Vse, kar smo obljubili dokazati, je bilo prikazano z ustreznimi izpelja- vami, in preiti je treba k tistemu, kar je od temeljev glasbe še preostalo:
izpeljati je treba delitev oštevilčenega monokorda.151 O tej stvari govori daljše besedilo in zato sodimo, da jo je treba prenesti v razpravo nasle- dnje knjige.
472392 A mp 497664 B mp ton 524288 C
531441 D
E = D – C = 7153