17.1| Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arith- meticam, nunc vero geometricam, nun armonicam medietatem ponamus. De quibus in arithmeticis quoque diximus. Id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum videnda est differentia eaque dividenda ac minori termino adicienda. Sint enim X et XL altrinsecus termini constituti horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est XXX. Hanc divido, fiunt XV. Hanc minori termino, id est denario appono, fiunt XXV. Si igitur hic inter XL ac X medius conlocetur, fit arithmetica pro- portionalitas hoc modo: X, XXV, XL.
17.2| Item inter eosdem terminos medietatem geometricam conlocemus. Extre- mos propria numerositate multiplico, ut X in XL, fiunt CCCC. Horum tetra- gonale latus adsumo, fiunt XX. Vicies enim XX efficiunt CCCC. Hos igitur XX medios inter X ac XL si conlocem, fit geometrica medietas subiecta descriptione formata: X, XX, XL.
17.3| Si vero armonicam medietatem quaeramus, sibimet ipsis copulamus extre- mos, ut X et XL; fiunt L. Eorum differentiam, quae est XXX in minorem terminum multiplicamus, scilicet in denarium, ut fiant decies XXX qui sunt CCC. Hos secundum L partimur; fiunt VI. Quos cum minori termino addide- rimus, redduntur XVI. Hunc igitur numerum si inter X ac XL medium conlo- cemus armonica proportionalitas expeditur: X, XVI, XL.
XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum
18.1| Sed de his hactenus. Nunc illud videtur addendum, quemadmodum Pythagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri. In qua re scilicet eis Ptolomaeus non videtur adsensus, de quo paulo posterius dicemus.
18.2| Haec enim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cuius pro- prietatem sensus apertior conprehendit. Quale est enim unumquodque per se- met ipsum, tale etiam deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea con- sonantia, quae in duplicitate consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat.
Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem
17. Kako se med dva termina postavljajo zgoraj omenjene sredine
17.1| Včasih sta dana dva termina in mednju je treba postaviti bodisi aritmetično, geometrično ali pa harmonično sredino. O tem smo sicer govorili v Aritmeti- ki, a isto naj kratko razložimo tudi tu. Če iščemo aritmetično sredino, je treba določiti razliko med danima terminoma, jo razpoloviti in dobljeno polovico prišteti manjšemu terminu. Vzemimo drugega nasproti drugemu termina 10 in 40 in določimo njuno sredino po aritmetični proporcionalnosti. Najprej po- iščemo razliko med njima, ki je 30. Razpolovimo jo, dobimo 15. To dodamo manjšemu terminu, se pravi 10, in dobimo 25. Če se torej to število postavi sredi med 10 in 40, nastane aritmetična proporcionalnost: 10 : 25 : 40.
17.2| Nadalje namestimo med ista dva termina geometrično sredino. Zmnožim oba krajna termina: 10-krat 40 je 400. Temu številu poiščem njegov kvadratni ko- ren, dobim 20. 20-krat 20 je namreč 400. Če namestim to število sredi med 10 in 40, nastane geometrična sredina, kot je oblikovana v sledečen ponazorilu:
10 : 20 : 40.
17.3| Če pa iščemo harmonično sredino, seštejmo drugega z drugim oba krajna termina 10 in 40; dobimo 50. Njuno razliko, ki je 30, pomnožimo z manjšim terminom, se pravi z 10: 10-krat 30 je 300. To delimo s 50, dobimo 6, kar prištejemo manjšemu terminu. Dobimo 16, in če to število namestimo sredi med 10 in 40, se pokaže harmonična proporcionalnost: 10 : 16 : 40.
18. O vrednosti in redu konsonanc po Nikomahu
18.1| Toliko o tem. Zdaj pa dodajmo, kako so skušali pitagorejci v omenjenih raz- merjih iskati konsonance. Glede tega se Ptolemaj sicer ni strinjal z njimi, o čemer bomo spregovorili malo kasneje.
18.2| Kot prvo in najprijetnejšo konsonanco je treba določiti tisto, katere značil- nosti čuti najlaže zaznajo. Kakršno je namreč kar koli samo po sebi, takšno zajamejo tudi čuti. Če je torej med vsemi konsonancami najrazpoznavnejša tista, ki obstoji v dvojnem razmerju, ni dvoma, da je med vsemi prva konso- nanca oktave; ker je po razpoznavnosti pred drugimi, je po pravici na prvem mestu. Ostale konsonance pa se po pitagorejcih nujno drže reda, ki nastane z večanjem množinskih in manjšanjem superpartikularnih razmerij. Prika- zano je bilo, da je množinska neenakost prvobitnejša od superpartikularnih razmerij.79 Razpostavimo tako vrsto naravnih števil od 1 do 4: 1, 2, 3, 4. Šte-
dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta.
Monstratum quippe est, quod multiplex inaequalitas superparticulares propor- tiones meriti antiquitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur: I, II, III, IIII. Igitur uni binarius comparatus proportionem duplicem facit et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima et simplicitate notissima. Si vero unitati ternarius comparetur, diapa- son ac diapente concordiam personabit. Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason efficiens symphoniam. Quod si terna- rius binario comparetur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam supplet. Isque est horum ordo cunctis ad se invicem comparatis.
Namque comparatio restat. Si quaternarium binario comparemus, cadet in du- plicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus.
18.3| Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli de- mensione discedunt. Minimum vero inter se esse consonantes videntur soni, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat deinceps con- cinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coartari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantia- rum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron.
XVIIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi
19.1| Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt.
Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum praeter dimidium, nec tri- plum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam di- visionem sesqualteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam. Sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesqui- tertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efficere. Unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.
vilo 2 je v primerjavi z 1 v dvojnem razmerju in daje konsonanco oktave, ki je med vsemi najbolj konsonančna in v svoji preprostosti najbolj razpoznavna;
če se 1 primerja s 3, bo število 3 zazvenelo v sozvočju oktave s kvinto; 4 vzdržuje v primerjavi z 1 četvorno razmerje in tvori sozvočje dvojne oktave;
če se 3 primerja z 2, zapolni sozvočje kvinte, če 4 s 3, pa sozvočje kvarte. S tem je vrsta medsebojnih primerjav med štirimi števili izčrpana, kajti pri- merjava 4 nasproti 2, ki še preostaja, pade v dvojno razmerje, kot ga ima 2 v primerjavi z 1.
18.3| Najbolj oddaljena sta si tako tona v dvojni oktavi, kjer se razhajata za štirikra- tno premeritev medsebojnega razmaka. V najmanjšem razmaku pa sozvenita tona, od katerih presega višji nižjega za tretjino nižjega. Razvrstitev sozvočij je torej postavljena tako, da je ni mogoče niti širiti preko četvernega razmerja niti krčiti pod eno tretjino. Po Nikomahu je tako red konsonanc ta, da je prva oktava, druga oktava s kvinto, tretja dvojna oktava, četrta kvinta, peta kvar- ta.
19. O Evbulidovem in Hipasovem pojmovanju zaporedja konsonanc
19.1| A Evbulid in Hipas80 postavljata drugačno zaporedje konsonanc. Trdita na- mreč, da večanje množinskih razmerij smiselno odgovarja manjšanju su- perpartikularnih. Dvojno tako ni možno brez polovičnega, trojno ne brez tretjinskega. Ker torej obstoji dvojno, nastane po njem konsonanca oktave, ker pa obstoji polovično, se polovičnemu nasproti postavlja tripolovinsko razmerje, kar je kvinta.81 Če se združi oboje, oktava namreč in kvinta, na- stane trojno sozvočje, ki vsebuje obe prejšnji sozvočji.82 A tudi nasproti troj- nemu se postavlja tretjina,83 iz katere nastane sozvočje kvarte. Trojno in štiritretjinsko pa združeni dasta četverno razmerje:84 Oktava s kvinto, kar je ena konsonanca, se tako poveže s kvarto v eno sozvočje, ki obstoji v četver- nem razmerju in se imenuje dvojna oktava. Po Evbulidu in Hipasu je torej zaporedje konsonanc takšno: oktava, kvinta, oktava s kvinto, kvarta, dvojna oktava.