31.1| Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et paene pu- ris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponan- tur enim numeri, quos superior descriptio conprehendit: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum et secundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur CCLVI octava eisdem, quorum octava est, apponatur, fient CCLXXXVIII qui CXCII comparati se- squalterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum.
Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet.
31.2| Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere: erunt V toni et duo spatia semitoniorum mi- nora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason conso- nantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo:
I VIII LXIIII DXII IIII.XCVI XXXII.DCCLXVIII CCLXII.CXLIIII Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti lo- centur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio talis:
Sesquioctavae Partes octavae CCLXII.CXLIIII XXXII.DCCLXVIII CCXCIIII.DCCCCXII XXXVI.DCCC.LXIIII CCCXXXI.DCCLXXVI XLI.CCCCLXXII
CCCLXXIII.CCXLVIII XLVI.DCLVI
CCCCXVIIII.DCCCCIIII LII.CCCCLXXXVIII
CCCCLXXII.CCCXCII LVIIII.XLVIIII DXXXI.CCCCXLI
Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae pro- portiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octave sunt eorum numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, appo-
31. V katerih razmerjih obstojita oktava in kvinta. Oktava ne sestoji iz šestih tonov
31.1| Ker smo o konsonanci kvarte na široko govorili, razpravljajmo o konsonancah oktave in kvinte bolj na kratko in omejimo se pri tem domala na čista števila.
Kvinta sestoji iz treh tonov (velikih sekund) in poltona, to je iz kvarte in tona (velike sekunde). Razpostavimo števila, navedena v prejšnjem ponazorilu:103 192, 216, 243, 256. V tej razporeditvi vzdržujeta prvi termin do drugega in drugi do tretjega razmerje tona (velike sekunde), tretji do četrtega pa razmerje malega poltona, kot je bilo prikazano zgoraj. Če se torej ena osmina števila 256 doda številu, katerega osmina je, dobimo 288, in to število tvori v primerjavi s 192 razmak v tripolovinskem razmerju. Tu so torej trije toni (veliki sekun- di),104 ki jih pokaže primerjava prvega termina z drugim, drugega s tretjim in petega s četrtim, medtem ko vzdržuje tretji termin do četrtega mali polton.
31.2| Če je kvarta iz dveh tonov (velikih sekund) in malega poltona, kvinta iz treh tonov in malega poltona, in če kvarta in kvinta združeni tvorita oktavo, je vse to pet tonov in dva mala poltonska razmaka, ki pa ne zapolnjujeta enega tona (velike sekunde). Konsonanca oktave torej ne sestoji iz šestih tonov, kot sodi Aristoksen. To je razločno razvidno tudi iz razporeditve ustreznih števil.
Razpostavimo v eno vrsto šest z devetosminskim razmerjem določenih tonov (velikih sekund). Šest devetosminskih razmerij je mogoče izpeljati iz šestega osmernega števila.105 Razpostavi naj se torej šest osmernih števil, takole:
1 8 64 512 4096 32768 262144
Od zadnjega števila dalje naj se namesti šest z devetosminskim razmerjem določenih tonov (velikih sekund). To naj bo ponazorjeno tako, da bodo na eni strani podpisani osemkratni termini,106 ob vsakem pa naj bo na drugi strani podana njegova osmina:107
Devetosminska vrsta Osmine
262144 32768
294912 36864
331776 41472
373248 46656
419904 52488
472392 59049
531441
Smisel te razporeditve je tale: Vrstica, ki se imenuje »pot«,108 vsebuje zapored- je osmernih števil. Devetosminska razmerja se izpeljujejo iz šestega osmerne- ga števila. Osmine, kjer smo jih zapisali, so osmine tistih števil, ob katerih so
nantur, posteriores numeros creant. Ut in primo qui est CCLXII.CXLIIII, huius octava XXXII.DCCLXVIII. Hi sibimet si coniungantur, posteriorem efficiunt numerum, qui est CCXCIIII.DCCCCXII. Idemque in ceteris in- venitur. Si igitur ultimus numerus, qui est DXXXI.CCCCXLI duplus esset prioris numeri, qui est CCLXII.CXLIIII, recte diapason sex tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquira- mus, minor erit eo numero, qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII.
CXLIIII numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonantiam te- net, DXXIIII.CCLXXXVIII. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum, eo scilicet, qui est DXXXI.CCCCXLI. Minor est igitur dia- pason consonantia sex tonis. Atque id, quod sex toni diapason consonan- tiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis numeris DXXIIII.
CCLXXXVIII et DXXXI.CCCCXLI.
31.3| Sed de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator adstringam.
Explicit de musica id est armonica institutione liber secundus.
navedene. Če se prištevajo številom, ob katerih ležijo, tvorijo naslednja števila.
Osmina prvega števila 262144 je tako 32768. Če se ti dve števili povežeta, tvorita naslednje število, ki je 294912. Tako je tudi v nadaljevanju. Če bi bilo torej zadnje število, ki je 531441, dvojno začetnemu številu, ki je 262144, bi bila trditev, da sestoji oktava iz šestih tonov (velikih sekund), pravilna. A če poiščemo najmanjšemu številu, se pravi začetnemu, dvojno število, je to manj- še od največjega in zadnjega števila. Številu 262144 dvojno število, ki vzdržuje z njim konsonanco oktave, je namreč število 524288, ki je manjše od števila 531441, ki vzpostavlja šesti ton (veliko sekundo). Konsonanca oktave je torej manjša od šestih tonov. A to, s čimer šest tonov prekorači konsonanco oktave, imenujem koma, ki obstoji v najmanjših številih 524288 in 531441.
31.3| Kaj je o tem menil Aristoksen, ki je razsojanje o vsem prepuščal sluhu, bom povedal drugje.109 Zdaj pa bom, da se izognem utrujanju bralca, prekinil zapo- redje teh strani.
Konec druge knjige o glasbi, tj. o temeljih harmonije.
I. Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem