O razmerjih med števili, ki jih merijo druga števila

so: tripolovinsko 3 : 2, štiritretjinsko 4 : 3, petčetrtinsko 5 : 4 in tako dalje v neskončnost katero koli nadaljnje razmerje, ki je za število 1 naprej od prej- šnjega. Zadajmo si nalogo, določiti dve drugo na drugo navezani tripolovinski razmerji. Vzamem okrajšano dvotretjinsko razmerje in ga razpostavim: 2 in 3.

Pomnožim 2 z 2, dobim 4; preko števila 2 naj naraste tudi število 3: dobim 6.

Nadalje bomo število 3 pomnožili samo s seboj: dobimo 9. Vse to naj se razpo- stavi takole:

2 3

4 6 9

Tu najdemo dve iskani dvotretjinski razmerji: 6 proti 4 in 9 proti 6.

8.7| Zadajmo si zdaj nalogo, poiskati tri dvotretjinska razmerja. Razporedim isti dve števili, ki sem ju ob iskanju dveh tripolovinskih razmerij razgrnil zgoraj, in ista tripolovinska razmerja. 4 pomnožim z 2, dobim 8, nadalje 6 z 2, dobim 12, nadalje 9 z 2, dobim 18, nadalje pomnožim 9 s 3, dobim 27. Vse to naj bo razporejeno takole:

2 3

4 6 9

8 12 18 27

8.8| Temu načinu sledijo tudi drugi primeri: Če hočeš razprostreti štiritretjinska razmerja, postavi osnovno štiritretjinsko razmerje, ki ga predstavljata med sabo primerjani števili 4 in 3. Množi ju na prikazani način.⁷¹ Če pa želiš ime- ti petčetrtinska razmerja, boš postavil okrajšano petčetrtinsko razmerje in z enakim množenjem boš lahko razprostrl poljubno število petčetrtinskih raz- merij.⁷² Koliko nam koristijo ti premisleki, se bo pokazalo v nadaljevanju.

integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est.

9.2| Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit deminutior differentiae mensura, quam est plura- litas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo LIII et LVIII. Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur LIII numerum quinarius decies usque ad L relinquit vero ternarium.

Rursus LVIII numerum metitur idem undecies usque ad LV atque in eo ite- rum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt L et LV, qui disponantur hoc modo:

LIII LVIII

L LV

In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se L et LV quam LIII ad LVIII. In minoribus enim numeris maior semper proportio repperitur; quod paulo posterius demonstrabimus.

9.3| Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt proportione numeri superius mensi cum additione eius summae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri XLVIII et LIII. Horum quinarius differentia est. Metiatur igi- tur XLVIII numerum quinarius decies, fiunt L. Supervadit igitur L numerus XLVIII numerum binario. Idem LIII undecies metiatur, fiunt LV qui eisdem rursus duobus LIII numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et dispo- nantur hoc modo:

XLVIII LIII

L LV

Minore igitur sunt proportione L ad LV comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam XLVIII et LIII numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est.

9.4| Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars maior est quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus maior semper videatur pro-

kateri koli dve števili, ki ju lastna razlika premerja brez ostanka, sta v istem razmerju kot tisti dve števili, preko katerih ju premerja njuna lastna razlika.

9.2| Če pa razlika med dvema številoma na tak način premerja števili, katerih raz- lika je, da obe števili presegata mero, s katero sta premerjeni, in sicer tako, da je presežek v obeh številih enak in je razlika med obema številoma kot mera premajhna, da bi ustrezno pomnožena dosegla obe merjeni števili, bo v pri- meru, da obema številoma odvzamemo tisto, kar ob premerjanju ostane, njuno medsebojno razmerje večje, kot če ostaneta celi, kakršni je prvič premerjala njuna lastna razlika. Vzemimo števili 53 in 58. Premerja naj ju število 5, ki je njuna razlika. Število 5 meri torej število 53 do števila 50 desetkrat, ostanek je število 3. Število 58 pa premeri isto število 5 do 55 enajstkrat, ponovno pa je ostanek število 3. Obema številoma naj se odvzame 3 in dobimo števili 50 in 55. Vsa ta števila naj se takole razpostavijo:

53 58

50 55

Jasno je, da sta števili 50 in 55 v večjem medsebojnem razmerju kot 53 naspro- ti 58. Pri manjših številih je namreč razmerje zmeraj večje. To bomo dokazali malo kasneje.⁷³

9.3| Če pa takšno premerjanje z razliko dveh števil prekorači njuno velikost in seže preko obeh premerjanih števil za enako veliko število, bosta števili s prištetjem tiste množine, za katero je merilo prekoračilo obe števili, v manjšem razmerju kot z lastno razliko prvotno merjeni števili. Vzemimo števili 48 in 53. Razlika med njima je 5. Naj število 5 premeri število 48 desetkrat, dobimo 50. Število 50 prekorači torej število 48 za 2. Isto število 5 naj premeri število 53 enajst- krat. Dobimo 55, ki ponovno prekorači število 53 za isto število 2. Obema prvotnima številoma 48 in 53 dodajmo 2 in vsa ta števila naj se razpostavijo takole:

48 53

50 55

Števili 50 in 55, ki vključujeta razliko 2, za katero je merilo preseglo obe pre- merjani števili, sta medsebojno primerjani v manjšem razmerju kot z lastno razliko 5 prvotno merjeni števili 48 in 53.

9.4| Kaj so večja in kaj manjša razmerja, se razumeva takole: Polovica je več kot tretjina, tretjina več kot četrtina, četrtina več kot petina itd. Tako je tudi tri- polovinsko razmerje več kot štiritretjinsko, ki prekaša petčetrtinsko. Enako je tudi v nadaljevanju. Od tod izhaja, da je pri superpartikularnih razmerjih z manjšimi števili izraženo zmeraj večje razmerje. To je mogoče ponazoriti z

portio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali.

Disponatur enim numerus naturalis I, II, III, IIII, V. Binarius igitur ad uni- tatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero sunt numeri ternarius et quaternarius, minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in mi- noribus maior proportio continetur. Hinc apparet, quodsi aliquibus nume- ris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam po- stea quam eis pluralitas aequa sit addita.

vrsto naravnih števil. Razpostavimo tale naravna števila: 1, 2, 3, 4, 5. 2 je na- sproti 1 dvojno, 3 nasproti 2 tripolovinsko, 4 nasproti 3 štiritretjinsko. Pri tem sta 3 in 4 večji števili, 3, 2 in 1 so pa manjša števila. Med večjimi števili so torej manjša razmerja, med manjšimi pa večja. Iz tega je razvidno: če se katerima koli številoma v superpartikularnem razmerju prišteje isto število, je razmerje pred prištevkom večje kot po njem.

10. Kaj nastane z množenjem množinskih in kaj z množenjem