26.1| Sed quoniam demonstratum est, diapason quidem duplam, diapente vero sesqualteram, iunctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportio- ne constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iun- gat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessa- ron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus.
XXVII. Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias
27.1| Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac dia- tessaron iunctae diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia iungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vo- cabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet.
27.2| Quid igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne se- cundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in super- partiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur numeri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportio- nem tenet. Qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multiplex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem pri- mum terminum minimumque locavimus. Sint igitur termini hi III, VI, VIII.
27.3| Illud quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim ne- que duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibimet iunctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente conso- nantiam iungunt, si diapason consonantiae addatur diatessaron, inconsonum
26. Oktava s kvinto je v trojnem, dvojna oktava v četvernem razmerju
26.1| Ker je bilo dokazano, da je oktava v dvojnem, kvinta pa v tripolovinskem razmerju, in ker dvojno in tripolovinsko združeni tvorita trojno razmerje, je očitno, da je oktava s kvinto v trojnem razmerju. Če pa trojno razmerje povežemo s štiritretjinskim, naredimo četverno razmerje. Če se torej na kon- sonanco kvinte in na konsonanco oktave naveže sozvočje kvarte, nastane šti- rikratni tonski razmak, za katerega smo zgoraj pokazali, da je dvojna oktava.
27. Oktava s kvarto po mnenju pitagorejcev ni konsonanca
27.1| Pozorni bralec bo zapazil, da tvorijo konsonance, naložene na konsonance, v nekaterih primerih druge konsonance. Kot je bilo namreč povedano, tvorita kvinta in kvarta oktavo. Če se na to, tj. na oktavo, ponovno naveže kvinta, nastane konsonanca, ki nosi ime po obeh konsonancah, se pravi oktava s kvinto. Če se tej doda kvarta, nastane dvojna oktava, ki vzdržuje štirikratno razmerje.
27.2| Kaj pa, če združimo kvarto in oktavo, ali bosta ti dve konsonanci po mnenju pitagorejcev tudi tvorili konsonanco? Niti najmanj ne. Nastalo pade namreč v superpartientni rod neenakosti, ki ne kaže niti urejenosti, kot jo ima mno- žinskost, niti preprostosti, kot jo ima superpartikularnost. Vzemimo števila, s katerimi bomo to dokazali, in sicer število 3, katerega dvojno je število 6, ki je s številom 3 v razmerju oktave. Na to naj se naveže štiritretjinsko število, za katerega smo dejali, da je kvarta, in to je število 8, ki vzdržuje do števila 6 razmerje kvarte. Isto število 8, primerjano s številom 3, vsebuje slednje število dvakrat, vendar ni njegov mnogokratnik, saj ima še nekaj njegovih delov, niti ne samo enega. Prekaša ga še za število 2, kar sta dve tretjini števila 3, ki smo ga postavili kot prvi in najmanjši termin. Postavimo torej termine: 3, 6, 8.
27.3| Tisto, kar nastane iz obeh zaporednih konsonanc,96 niti ni neokrnjeno dvoj- no, da bi dalo konsonanco oktave, niti trojno, da bi tvorilo sozvočje oktave s kvinto. A če se doda ton (velika sekunda), nastane trojno razmerje, saj tvorita oktava in kvinta medsebojno združeni trojno razmerje, kvarta in ton (veli- ka sekunda) se povezujeta pa v konsonanco kvinte. Če se torej konsonan- ci oktave doda kvarta, nastane nekaj nesozvočnega, saj si med dvojnim in
fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonum, fiet diapason diatessaron et tonus, quod nihil distabit, utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem III et VI, diatessa- ron VI et VIII tonus VIII et VIIII diapente VI et VIIII diapason ac diapente III ad VIIII. Erit igitur sic tripla proportio: III, VI, VIII, VIIII.
27.4| Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua potuimus brevi- tate partim ea ipsa, quae Pythagorici affirmant, promentes, partim ex isdem quaedam consequentia argumentantes probavimus, si diatessaron consonan- tiae diapason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est.
XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet
28.1| Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione, quae diatessaron est, duae se- squioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consi- stunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiu- sque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo LXIIII expli- centur. Erit igitur hic secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo, quae est octava pars LVIIII unitatum, eisdem additi totam summam LXII perficiunt. His vero si sua octava similiter apponatur, qui est novenarius, LXXXI reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione conscripti: LXIIII, LXXII, LXXXI.
28.2| Nunc igitur LXIIII unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam LXIIII probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit et omnes in eadem proportione durabunt, qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII, id est CXCII. Horum tertia LXIIII eisdem addita CCLVI
trojnim ni mogoče misliti nobenega naravnega množinskega razmerja. A s priključitvijo tona (velike sekunde) nastane oktava s kvarto in tonom (veliko sekundo), kar ni prav nič drugega kot oktava s kvinto: kvarta in ton tvorita namreč kvinto. Oktava je torej v številih 3 in 6, kvarta v številih 6 in 8, ton v številih 8 in 9, kvinta v številih 6 in 9, oktava s kvinto pa v razmerju 3 do 9.
Vse skupaj je v trojnem razmerju, takole: 3 : 6 : 8 : 9.
27.4| Drugače kot Nikomah, ki široko razpravlja o tem, smo tu na kar najkrajši način dokazali, da se konsonanca kvarte in njej dodana oktava ne moreta po- vezati v konsonanco. Pri tem smo delno navajali tisto, kar trdijo pitagorejci, delno pa smo izpeljevali nekatere posledice njihovih trditev. Kaj pa o tem misli Ptolemaj, bom dodal kasneje.97 Toliko o tem. Zdaj je treba razmisliti o poltonih.
28. O poltonu. V katerih najmanjših številih obstoji
28.1| Poltona se ne imenujeta tako zato, ker bi bila zares polovici tona (velike se- kunde), pač pa zato, ker nista cela tona. Prostor, ki ga imenujemo polton in ki so ga stari imenovali limma ali pa diesis, dobimo na tale način: Ko se od štiritretjinskega razmerja, kar je kvarta, odvzameta dve devetosminski raz- merji, kar sta dva tona (veliki sekundi), ostane prostor, ki se imenuje polton.
Poiščimo torej dva zaporedna tona (veliki sekundi) v zaporedni razporedi- tvi števil. Kot je bilo povedano, obstoji ton v devetosminskem razmerju, a dve zaporedni devetosminski razmerji lahko določimo le, če se poišče tisti mnogokratnik, iz katerega ju je mogoče izpeljati. Vzemimo torej število 1 in njegov osemkratnik kot prvo osmerno število. Iz tega bom lahko izpeljal eno devetosminsko razmerje. A ker iščemo dve, vzemimo 8-krat 8, kar je 64. To je torej drugo osmerno število, iz katerega lahko izpeljemo dve devetosmin- ski razmerji. Število 8, ki je osmi del števila 64, tvori skupaj s številom 64 vsoto 72. Če se temu številu na podoben način doda njegova osmina, ki je 9, dobimo 81. V prvi možni razporeditvi bosta dva zaporedna tona zapisana torej s števili 64, 72, 81.
28.2| Zdaj pa poiščimo številu 64 štiritretjinsko število. Ker se izkaže, da 64 nima tretjine, naj se vsa ta števila pomnožijo s 3; tako bodo imela tretjino in ostala v istih razmerjih, kot so bila, preden je pristopilo k njim število 3 kot množi- telj. Pomnožimo torej 64 s 3, dobimo 192. Prištetje tretjine tega števila, tj. 64, njemu samemu da 256. S tem smo dobili štiritretjinsko razmerje, ki vzdržuje
reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad CXCII, duobus se numeris continentes, rato ordine collocemus. Fiant igitur ter LXXII, id est CCXVI; rursus ter LXXXI, qui sunt CCXLIII. Qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. In hac igitur dispositione proportionum primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad ter- tium geminos continuant tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur, ex CCXLIII ad CCLVI, in quibus minimis semitonii forma consistit.
XXVIIII. Demonstrationes non esse CCXLIII ad CCLVI toni medietatem
29.1| Approbo igitur CCXLIII ad CCLVI distantiam non esse integram toni medii demensionem. Etenim ducentorum XL trium et ducentorum LVI differentia XIII tantum unitatibus continetur, qui XIII minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octo decies XIII ducas, efficies CCXXXIIII, qui CCXLIII nullo modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur.
29.2| Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese CCLVI ad CCXLIII ha- bent, tales duas sibimet continuas proportiones secundum superius descrip- tam regulam disponamus. CC enim et L et VI in semet ipsos multiplicemus et sit maximus terminus LXV.DXXXVI. Item CCXLIII propria numerosi- tate concrescant et sit minimus terminus LVIIII.XLVIIII. Rursus CCLVI ad CCXLIII multitudine concrescant. Erit igitur numerus LXII.CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo:
LXV.DXXXVI LXII.CCVIII LVIIII.XLVIIII
In eadem igitur sunt proportione CCLVI et CCXLIII, in qua LXV.DXXXVI ad LXII.CCVIII. Et item LXII.CCVIII. ad LVIIII.XLVIIII. Sed maximus eo- rum terminus, qui est LXV.DXXXVI, ad minimum, qui est LVIIII.XLVIIII, unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probare- tur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque
konsonanco kvarte. Zdaj pa namestimo po premišljenem redu ob število 192 dve devetosminski razmerji, zaobseženi v dveh ustreznih številih. Pomnoži- mo 72 s 3, dobimo 216; nadalje pomnožimo 81 s 3, dobimo 243. Namestimo ti dve števili med zgoraj podana termina takole: 192, 216, 243, 256. V tej razporeditvi razmerij je s prvim in zadnjim številom določena konsonanca kvarte; z istim prvim številom v razmerju do drugega in z drugim v razmerju do tretjega si sledita dva zaporedna tona (veliki sekundi). Prostor, ki ostane, je torej med številoma 243 in 256; to sta najmanjši števili, v katerih obstoji polton.
29. Dokazi, da razmerje 243 nasproti 256 ni polovica tona
29.1| Dokazujem torej, da razkorak med 243 in 256 ne premeri točne polovice tona (velike sekunde). Razlika med 243 in 256 je zaobsežena v številu 13. To število je manj kot ena osemnajstina manjšega števila 243, a več kot njegova devetnaj- stina. Če namreč 18-krat postaviš 13, dobiš 234, kar se nikakor ne izenačuje z 243; če pa isto število množiš z 19, ga dobljeno prekaša.98 A vsak polton, če naj bi obsegal točno polovico tona, bi moral biti nameščen med eno šestnajstino in eno sedemnajstino, kot bo prikazano kasneje.99
29.2| Zdaj pa pojasnimo, da s podvojitvijo prikazanega poltonskega razmaka ni mo- goče napolniti prostora enega tona (velike sekunde). Razpostavimo torej po zgoraj opisanem pravilu drugega za drugim dve takšni razmerji, kot je razmer- je 243 nasproti 256. Pomnožimo 256 s samim seboj in 65536 naj bo največji termin. Nadalje naj število 243 naraste preko lastne številnosti100 in najmanjši termin naj bo 59049. Ponovno naj 256 naraste preko množine števila 243 in dobili bomo število 62208. To število naj se postavi v sredino, takole:
65536 62208 59049
256 in 243 sta v istem razmerju kot 65536 in 62208, in nadalje v istem razmer- ju kot 62208 in 59049. A največji od teh terminov, ki je 65536, v razmerju do najmanjšega, ki je 59049, ne tvori celega tona. Če bi bilo razmerje med prvim in drugim številom, ki je enako razmerju med drugim in tretjim, točni polton, bi obe polovici skupaj nujno tvorili ton (veliko sekundo). Ker pa oba zunanja termina nista v devetosminskem razmerju, je očitno, da ta dva razmaka nista pravi polovici tona. Ko se namreč kar koli, kar je polovica česa, podvoji, stvori tisto, česar polovica je. Če tega ne more doseči, je delec, ki se podvaja, manj kot polovica, če pa celoto preseže in prekorači, je več kot polovica. Dokaže pa
est dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse dimidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur autem LXV.DXXXVI non facere sesquioctavam proportionem, si LVIIII.XLVIIII unitatibus comparentur, si octava pars LVIIII.XLVIIII eisdem secundum eas, quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem, quae in CCLVI et CCXLIII est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.