XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam XX ad XVIIII
13. Da je mali polton sicer večji kot 20 nasproti 19, vendar manjši kot 19+1/2 nasproti 18+1/2
13.1| Če se tovrstna preiskava prenese na mali polton, bomo zlahka določili njegovo razmerje, ki je enako razmerju med številioma 256 nasproti 243. Naj bo 256 A, 243 B, njuna razlika 13 pa C. Trdim, da vzdržuje A do B manjše razmerje, kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2. Naj C premeri A 19+1/2-krat, se pravi, naj bo C po- množen z 19+1/2. Dobim D 253+1/2, ki je v primerjavi z A presežen za 2+1/2.
Razlika 2+1/2 naj bo F. Nadalje naj razlika C premeri število B 18+1/2-krat, to je, pomnožena naj bo z 18+1/2. Dobim E 240+1/2, ki je v primerjavi z B pre- sežen za isto število F 2+1/2. D in E sta torej manjša od A in B za isto razliko F: če namreč odštejemo F od A in B, dobimo D in E. D in E imata tako večje medsebojno razmerje kot A in B. Toda D in E vzdržujeta isto medsebojno razmerje kot 19+1/2 nasproti 18+1/2. A ima torej nasproti B manjše razmerje, kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2, kar je bilo treba dokazati.
A B C D E F
256 243 13 253+1/2 240+1/2 2+1/2
13.2| Vendar pa je razmerje 256 nasproti 243 večje od tistega, ki ga predstavljata števili 20 nasproti 19. Vzemimo ista števila A, B in C, kot so bila prikazana zgoraj. Naj premeri razlika C število A 20-krat.144 Nastane 260, kar naj bo D.
Če primerjamo D z A, ga preseže za 4 in to število naj bo F. Nadalje naj isto število C premeri število B 19-krat. Nastalo bo število 247. To število naj bo E, ki presega število B za isto število F. Števili D in E presegata torej števili A in B za isto število F, saj nastaneta s prištetjem števila F. Razmerje med številoma A in B je tako večje kot razmerje med številoma D in E. Toda števili D in E sta nastali z 20-kratno in 19-kratno množitvijo števila C. Razmerje A nasproti B, ki obsega polton, je torej večje, kot je razmerje števila 20 nasproti 19.
A B C D (C x 20) E (C x 19) F
256 243 13 260 247 4
13.3| Dokazali smo torej, da ima mali polton sicer večje razmerje kot je 20 nasproti 19, vendar manjše kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2. Zdaj pa primerjajmo isti mali polton s komo, ki je nekaj najbolj skrajnega, kar je še dostopno sluhu, in zato tudi najbolj skrajno razmerje.
XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor
14.1| Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod hinc facillime possis agnosce- re: Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam, quae dicitur sex tonorum. Sit enim A CCLXII.CXLIIII. Intendantur igitur ad B quidem quinque toni continui et sit B CCCCLXXII.CCCXCII; ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C DXXIIII.CCLXXXVIII; ad D autem sex toni intendantur, sitque D DXXXI.CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque diffe- rentiam esse VII.CLIII. Id autem sit K. [Vide p. 172.]
14.2| Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est B, ad id, quod est E, et sit E CCCLXXIII.CCXLVIII. Rursus ab eo, quod est E, intendo diatessaron, quod est F CCCCXCVII.DCLXIIII. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatessaron, inter B igitur atque F minus semitonium repperitur.
Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi CCLI et CCXLIII. Quos eo- sdem numeros, si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, B atque F numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M.DCCCCXLIIII pa- riter multiplicati creverunt.
14.3| Item ab eo, quod est F, intendo diatessaron, scilicet ad G et sit G DCLXIII.DLII.
Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos et sit P DXXIIII.CCLXXXVIII.
Quod P necesse est ut eundem sonum quem C numerus exhibeat; ad aequalita- tem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est AC diapason consonantia, quae constat V tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab VI tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P V tonis ac semi- toniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est A, usque ad id, quod est B, V nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est B, usque ad id, quod est F, minus esse semitonium pernotatur. F vero atque P idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P V tonos ac duo semitonia minora produ- xit. Iure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI.DCXXIIII et sit hoc M. Igitur K commatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI.CCCCLVIIII et sit hoc L. Si vero quater eundem numerum K multiplicare volueris, fient XXVIII.DCXII et sit hic N. Igitur M maior quidem est ab L, idem autem M minor est ab N. Sed N quater aucto commate succrevit, L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem esse, quam IIII commata, maius vero quam tria.
14. Mali polton je sicer večji od treh kom, vendar manjši od štirih
14.1| Dokazati nameravamo, da je mali polton sicer večji od treh kom, vendar manj- ši od štirih. To bomo najlaže prepoznali takole: Vzemimo tri tako razporejena števila, da bodo vsebovala razmerje oktave in razmerje šestih tonov (velikih sekund). Vzemimo A 262144. Do B naj se torej določi v smeri navzgor pet zaporednih tonov (velikih sekund) in B naj bo 472392; do C naj se naveže kon- sonanca oktave, in naj bo C 524288; do D naj se v smeri navzgor določi šest tonov in D naj bo 531441. Ob tej postavitvi in določitvi je jasno, da je koma med C in D in da je razlika med C in D 7153, kar naj bo K. [Gl. str. 173.]
14.2| Od B naj se v smeri navzdol odmerita do E dva tona (veliki sekundi), in E naj bo 373248. Nadalje navežem na E kvarto v smeri navzgor, kar je F 497664.
Ker sta med B in E dva tona, med E in F pa kvarta, je med B in F mali polton.
Ko se namreč konsonanci kvarte odvzameta dva tona, ostane mali polton, za katerega sem rekel, da obstoji v najmanjših številih 256 in 243. Če ti dve števili množiš s 1944, prideš do števil B in F, za kateri je nujno, da obsegata enako razmerje kot števili 256 in 243, saj sta obe zrasli kot zmnožka z istim številom 1944.
14.3| Nadalje odmerim od F do G v smeri navzgor kvarto, in naj bo G 663552. Od istega G nadalje odmerim v smeri navzdol do P dva tona (veliki sekundi), in naj bo P 524288. Za P je nujno, da predstavlja isti ton kot število C. Enakost s tonom C doseže ton P po tejle poti: Konsonanco oktave AC, ki sestoji iz petih tonov (velikih sekund) in dveh malih poltonov, presega šest tonov za eno komo.145 Od števila A je število P oddaljeno za pet tonov in dva poltona, in sicer takole: Od A do B je očitno pet tonov. Od B do F je mogoče prepo- znati mali polton. Ponovno vključujeta mali polton tudi F in P. A prinaša torej do P pet tonov in dva mala poltona. P in C sta tako pravilno podana z istim številom.146 A ker je med F in C mali polton, poglejmo, kaj je njuna razlika, da bi jo lahko primerjali s komo. Njuna razlika je 26624, in to naj bo M. K je torej razlika kome, M pa malega poltona. Če število K trikratno povečamo, nastane 21459, in to naj bo L. Če pa bi hotel isto število K štirikratno pomno- žiti, nastane 28612, in to naj bo N. M je torej večji od L in manjši od N. Pri tem je število N zraslo s štirikratnim povečanjem kome, L s trikratnim, M pa zajema razliko malega poltona. Trditev, da je mali polton manjši od štirih kom, vendar pa večji od treh, je torej pravilna.147
XV. Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem