Análise das organizações didáticas relativas às aulas do professor de matemática

Nesse subtópico descrevemos os momentos didáticos (Primeiro encontro; Exploração do tipo de tarefa e de elaboração de uma técnica; Constituição do ambiente tecnológico-teórico; Trabalho da técnica; Institucionalização e Avaliação) da aula do professor de matemática. Assim como no capítulo anterior, analisamos de forma articulada os momentos didáticos, sem uma linearidade cronológica entre eles.

O professor vivenciou cinco encontros, cada um com duração de 100 minutos, ou seja, 10h/a para o estudo de áreas de figuras planas, assim distribuídos.

Quadro 17 – Distribuição dos subtipos de tarefas ao longo das aulas do professor de matemática.

Data Subtipos de tarefas explorados

27/05/2014 02h/a

TD1 – Determinar a medida da área de uma figura ladrilhável com quantidade

finita inteira ou metade de superfícies unitárias.

TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo, dadas as medidas dos

comprimentos dos lados.

TC1 - Comparar a medida da área de figuras poligonais ladrilháveis

29/05/2014 02h/a

TD1 – Determinar a medida da área de uma figura ladrilhável com quantidade

finita inteira ou metade de superfícies unitárias.

TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo, dadas as medida dos

comprimentos dos lados.

TC1 - Comparar a medida da área de figuras poligonais ladrilháveis

30/05/2014 02h/a

TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo, dadas as medidas dos

comprimentos dos lados.

TD3 – Determinar a medida da área de um quadrado, dada a medida do

comprimento do lado.

TD4 - Determinar a área de uma figura que pode ser decomposta em

retângulos e/ou quadrados 03/06/2014

02h/a

TD1 – Determinar a medida da área de uma figura ladrilhável com quantidade

finita inteira ou metade de superfícies unitárias

TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo, dadas as medidas dos

comprimentos dos lados.

TD3 – Determinar a medida da área de um quadrado, dada a medida do

TD4 - Determinar a área de uma figura que pode ser decomposta em

retângulos e/ou quadrados 05/06/2014

Avaliação 02h/a

TD1 – Determinar a medida da área de uma figura ladrilhável com quantidade

finita inteira ou metade de superfícies unitárias.

TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo, dadas as medidas dos

comprimentos dos lados.

TD3 – Determinar a medida da área de um quadrado, dada a medida do

comprimento do lado

Fonte: autoria própria

Embora o conceito de área, geralmente, seja trabalhado no final do ano letivo, existe uma orientação teórico-metodológica no município do Paulista, que os blocos de conteúdos (descritos nos PCN) sejam vivenciados a cada bimestre, logo, o professor escolheu trabalhar o conceito de área no final da segunda unidade, deixando as demais grandezas para o segundo semestre.

A primeira aula sobre o conceito de área de figuras planas no 6º ano do ensino fundamental aconteceu no dia 27 de maio de 2015, quando o professor escreve no quadro o assunto da aula e anuncia a seus alunos o que será estudado. Nesse instante, ele sente a necessidade de revisitar outros conceitos como, por exemplo, classificação de polígonos, diferença entre a representação de figuras planas e espaciais e medidas de comprimento.

Esses assuntos foram abordados por meio da participação dessa turma em um projeto municipal intitulado Olimpíadas de Matemática, no qual, devido ao período da copa do mundo, os alunos deveriam confeccionar maquetes de campos de futebol. Nesse caso, o professor, aproveitou essa atividade para explorar os conteúdos já mencionados.

A revisão dos assuntos partiu de indagações do professor sobre o que se tinha estudado na aula anterior. Os alunos foram imediatamente nomeando as figuras geométricas (quadrado, retângulo, círculo, etc.). Durante a revisão, o professor exibe uma maquete de um campo de futebol e introduz o conceito de área por meio de perguntas aos alunos, “Quem tem noção de área? O que vocês entendem por área? Eu já falei na sala de aula. O que vocês entendem por área? [...]” (TRANSCRIÇÃO, 50-51, Cf. apêndice B).

Como podemos perceber na fala do professor, esse momento, provavelmente, é o re(encontro) dos alunos com o conceito, pois ele afirma que já havia comentado em sala de aula sobre área de figuras planas. Temos por hipótese que essa fala aconteceu de forma superficial, a partir do momento que entramos em

contato com a turma para realizar a pesquisa. Também é possível que, em anos anteriores, os alunos tenham estudado sobre esse conceito, uma vez que os documentos oficiais (PCN, BCC, Parâmetros Curriculares Estaduais, Proposta Municipal) orientam o estudo desde tema desde os anos iniciais. No entanto, a partir do 6º ano do ensino fundamental é que o conceito de área de figuras planas deve ser ampliado e formalizado gradativamente.

As respostas dos alunos são as mais variadas possíveis, inclusive fazem referência à área de pênalti, à grande área, à meia lua, ao meio campo etc. Isso porque as perguntas do professor vêm associadas à maquete de um campo de futebol que se encontra na sua mão. Ele instiga mais ainda os estudantes a descobrirem o porquê daquelas respostas, como podemos perceber nas transcrições (60-68, Cf. apêndice B) a seguir.

P - O que mais? Mas porque vocês tão dizendo que isso aqui é uma área,

isso aqui é uma área, o meio campo é uma área...? (Apontando para as regiões do campo de futebol).

A - Porque ele esta cercado.

P - Porque ele esta cercado. Cercado de que forma? A - Quadrado

P - Que forma? As- Um quadrado.

P - Ai ele está limitado ou delimitado. Ele está delimitado de que forma?

Pode dizer.

As - Um quadrado

Entendemos que o professor estava conduzindo os alunos à definição do que é área. No entanto, não conclui o pensamento e retoma a revisão de classificação de figuras, a diferença entre representações de figuras planas e espacial e identificação do segmento da medida do comprimento e da largura utilizando a maquete como um objeto ostensivo. Esse momento é bastante duradouro (TRANSCRIÇÃO 88 até 210, Cf. apêndice B) e os alunos, por diversas vezes, respondem às indagações do professor confundindo o objeto do mundo físico com o objeto geométrico, como podemos observar na transcrição (137-142, Cf. apêndice B) a seguir:

P - Isso aqui é o que? (Apontando para a meia lua do campo de futebol) As - Meia lua!

P - Meia lua ou? As - Bola

P - Bola? A(01) Círculo!

Também percebemos, nessa revisão, uma confusão na formulação das perguntas pelo professor como, por exemplo, “P - E quanto mede um meio círculo?” (TRANSCRIÇÂO 145, Cf. apêndice B). Indagamos-nos sobre a que grandezas ele estava se referindo, comprimento? Área? Ângulo? No entanto, os alunos responderam rapidamente 180, se referindo à medida do ângulo. Questionados sobre o círculo completo eles deram como resposta 360. O professor informa aos alunos que não irá calcular a medida da área daquela figura, naquele momento, mas que será calcula de uma forma especial posteriormente.

Em seguida, a revisão passa ser a identificação dos segmentos que representam o comprimento e a largura da figura retangular, ainda na maquete do campo de futebol, ou seja, o professor tenta explorar a distinção entre o objeto geométrico (figura retangular) e a grandeza (comprimento). Como os alunos confundem as dimensões com a classificação dos tipos de figuras, a revisão retoma ao ponto de origem, desprendendo muito tempo para que o professor retomasse o conceito de área.

Após as revisões citadas anteriormente, o professor retoma ao conceito de área e define da seguinte forma: “área é o espaço que foi delimitado pelo retângulo” (TRANSCRIÇÃO, 213 Cf. apêndice B). Nessa definição, ele elabora a noção de área como espaço ocupado, ou seja, se aproxima da definição de área enquanto grandeza, proposto por Douady e Perrin – Glorian (1989) e Teles (2007), que compreendem área como um atributo de uma região ou superfície plana.

Dando prosseguimento à aula, o professor solicita que os alunos abram o livro na página 219, mas imediatamente aborta a ideia e pergunta aos alunos, “[...] Pra eu medir qualquer coisa, eu tenho que saber... pra eu medir, eu preciso saber o que Medir? Né? Eu utilizo o que pra medir?” (TRANSCRIÇÃO 228-229, Cf. apêndice B) e instigou, também, sobre as unidades de medida que eles conheciam, determinando assim que iriam trabalhar com o centímetro. Nesse instante, ele pede para os alunos formarem grupos e medirem as dimensões de cada parte do campo de futebol. Assim, tivemos grupo responsável pela grande área, pela pequena área, pelo campo todo e pela metade do campo. Esse instante não envolveu especificamente o conceito de área, mas, sim, medidas de comprimento. O professor orientava os alunos a respeito de como se deve medir com o instrumento régua.

Após a conclusão das medições, o professor vai ao quadro, desenha a representação de um retângulo, coloca medidas de comprimento e largura fictícias e

indaga aos alunos onde está a área naquela figura. Os alunos respondem que é o meio e o professor confirma positivamente a resposta dada. Na transcrição a seguir podemos observar a justificativa do docente sobre a transposição didática utilizada por ele até o presente momento.

P - Qual a intenção da aula de hoje? É justamente a gente calcular esse

espaço aqui (aponta para o espaço de dentro do retângulo desenhado). Por isso eu queria que vocês medissem, identificasse a área, o espaço delimitado pelo triângulo, pelo retângulo, pelo campo. Vocês entenderam? Pedi pra vocês medirem a largura pelo comprimento. Pedi pra vocês identificarem a unidade de medida, que estamos trabalhando agora com o centímetro. (TRANSCRIÇÃO, 316-320 Cf. apêndice B).

O fato de o professor compreender área como “espaço”, não o liberta de considerar que para termos a área precisamos medir, logo, o aspecto numérico ainda é muito forte na concepção dele.

O professor, dando prosseguimento à aula, anuncia a fórmula para calcular a área de uma figura retangular, escrevendo no quadro: A = comprimento x largura. Começa nesse momento a elaboração da técnica (τD2), que vai da transcrição 323 até 379 (ver apêndice). No primeiro momento o professor substitui os valores da medida de comprimento e da largura do retângulo na fórmula, multiplica e discute com os alunos o porquê de termos cm2. A justificativa encontra-se no seguinte trecho (TRANSCRIÇÃO, 375-378, Cf. apêndice B).

P – [...]. Você trabalhando com área com 80 cm2 de área, é esse espaço todinho aqui (aponta para a região hachurada do retângulo desenhado no quadro). Lá na matemática, em potência...., se você multiplicar.... Porque aqui é 10 cm vezes 8 cm. Vai dar 80 e cm¹ com cm¹, da cm². (apontando para o calculo no quadro).

Também nesse momento da constituição do ambiente tecnológico-teórico o professor justifica o que é uma unidade de medida padronizada e por que devemos utilizá-la.

P - Aqui, o que eu quero dizer a vocês é o seguinte. Parem e prestem

atenção! Aqui eu trabalhei com uma unidade de medida padrão. O que é uma forma padrão? É uma coisa que aonde você for vai encontrar a mesma medida. O homem organizou tudo. Então, a unidade padrão é centímetro, metro, entendeu? Se você for, por exemplo, comprar alguma coisa nos Estados Unidos, lá também vende em centímetro e é a mesma medida. Por isso é chamada de unidade padrão. (TRANSCRIÇÃO, 385-389, Cf. apêndice B).

Apesar de a informação dada pelo professor estar equivocada, pois nos Estados Unidos a unidade de medida de comprimento utilizada é a polegada, entendemos que nesse momento ele estava tentando conscientizar os alunos sobre a importância de adotarmos uma unidade padrão.

Dando prosseguimento à aula, o professor solicita que um aluno leia o parágrafo introdutório do capítulo do livro, que fala sobre área, cuja reprodução encontra-se na figura 34, mas que repetiremos novamente a seguir.

Figura 37 – Trecho do livro didático lido por um aluno em sala de aula

Fonte: Imenes e Lellis (2012, p. 219)

A partir da leitura do aluno, começa-se a elaboração da técnica (τC1), quando o professor comenta que, “Ele tá chamando atenção aí com esses quadradinhos que tem aí. O pátio tem duas formas, né isso? Quantos quadradinhos têm o primeiro e quantos quadradinhos têm o segundo? Contem aí!” (TRANSCRIÇÃO, 391-392, Cf. apêndice).

É possível perceber na transcrição acima, que antes de os alunos compararem as áreas dos pátios, é necessário inicialmente “determinar a medida da área de uma figura ou região (TD1)”; nesse caso, o professor conduz os alunos a utilizarem a contagem como uma técnica (τD1) para resolver esse subtipo de tarefa. Entendemos que esse momento seria excelente para estimular o surgimento de outras técnicas como, por exemplo, a superposição; porém, o professor não consegue se desprender, apesar de considerar área como espaço, da ideia de que para termos a área precisamos medir, o que instiga ainda mais o aspecto numérico mencionado por Douady e Perrin-Glorian (1989).

Paralelamente, o professor solicita que os alunos identifiquem quantos quadradinhos (lajotas) havia no comprimento e na largura da sala de aula,

provavelmente com o objetivo de que os alunos resolvessem essa tarefa pela técnica (τD2) anteriormente trabalhada. Após alguns alunos levantarem das suas carteiras e contarem, o professor afirma que “A área dessa sala, tem 6 quadrados no comprimento e 6 na largura. A área dessa sala se você fosse contar pelos quadrados dá quanto?” (TRANSCRIÇÃO 447 - 448 Cf. apêndice B). Alguns alunos respondem de forma correta, outros, de forma errada, mas todos são questionados pelo professor, como podemos perceber no diálogo a seguir.

A(05) - 6

P - Só 6? Você entendeu a fórmula da área? A(05) - 27

P - 27?

A(06) - Dá 36 mesmo, que é só você multiplicar 6 daqui e 6 daqui. Ai no

final dá 36. (TRANSCRIÇÃO, 449-453 Cf. apêndice B)

Na transcrição acima, também é possível perceber que o professor menciona a existência da fórmula como uma possibilidade para resolver a tarefa. Diante das dúvidas dos alunos, ele pede a dois estudantes para contar a quantidade total de quadradinhos que contém o piso da sala de aula, chegando finalmente ao resultado esperado.

Cabe salientar que, mesmo o piso da sala sendo um quadrado, o professor utiliza a fórmula do retângulo e não comenta sobre a possibilidade de outra fórmula. Esse fato também acontece posteriormente em tarefas que envolviam a determinação da medida da área de um quadrado, ou seja, os alunos não tiveram acesso à fórmula A = l2. Avaliamos que, se por um lado facilitou a consolidação e a ampliação da técnica (τD2), por outro lado, diminui o repertório de técnicas que os alunos poderiam utilizar para resolver tarefas desse tipo.

Constatamos que a elaboração da técnica (τD1) acontece de forma paralela à técnica (τD2), como podemos perceber na transcrição (492-496, Cf. apêndice B).

P - Eu tô chamando esse quadradinho aqui (em relação à figura retangular

desenhada no quadro) da minha nova unidade de medida. É uma unidade de medida qualquer, não é mais essa unidade de medida (aponta para o cm). Eu tenho 5 quadradinhos na primeira (aponta para o comprimento), ok? Dúvida? Agora eu tenho um, dois, três, quatro (apontando na largura). Bom, se eu multiplicar aqui, se eu for tirar a área dessa figura aqui, eu vou multiplicar o comprimento vezes a largura.

Nesse sentido, na medida em que trabalhava com figuras ladrilháveis aproveitava para explorar a aplicação da fórmula da área do retângulo. Não identificamos, nessa aula, um momento efetivo de institucionalização.

O ambiente tecnológico-teórico partiu da definição de área como espaço delimitado por uma figura. Em seguida, ele avança para a exploração do subtipo de tarefa TD2, ou seja, utiliza a aplicação de fórmula para sua resolução. Adiante ele explora o subtipo TD1, cuja técnica (τD1) baseia-se na contagem, mas articula com (τD2). Também foi estabelecida a unidade de medida padrão envolvendo área – o centímetro quadrado.

Ao final dessa aula, o professor anunciou que iria trabalhar com malhas quadriculadas no dia seguinte e orientou os alunos a trazerem réguas. Também solicitou que eles resolvessem em casa as tarefas do livro, na seção Conversar para aprender. Essa seção apresenta cinco questões, no total de oito tarefas, sendo quatro de respostas pessoais.

A aula do dia 29 de maio de 2014 iniciou com uma pequena revisão do assunto visto na aula anterior, mas a ênfase dada pelo professor foi em relação à fórmula do cálculo de área do retângulo. Nesse momento, os alunos confundiam “forma” com “fórmula”, como podemos perceber na transcrição (566 - 581 Cf. apêndice B) a seguir.

P - Qual foi a fórmula que coloquei no quadro? As – Três, Quatro.

P - Fórmula! A(02) - Quadrado.

P – Fórmula! Não é forma. Qual foi a fórmula que eu usei pra calcular a área do retângulo?

A(07) - Comprimento.

P – A(10), eu falei a palavra fórmula. A fórmula é o comprimento? (pausa)

P - Qual foi? Te lembra não? Qual a fórmula que eu o coloquei ontem pra

calcular a área do retângulo?

A(10) - Centímetro.

P - A fórmula. Ninguém lembra mais? A(03) - A fórmula retangular.

P - Isso aí é a forma. Tô falando de fórmula.

(pausa)

P - É uma equação que serve para calcular a área de uma figura. Qual foi a

fórmula de ontem que eu coloquei no quadro? Bora gente, ninguém lembra? Nesse universo de 26 alunos hoje, ninguém lembra?

Concordamos com os PCN (BRASIL, 1998) quando alerta que os alunos que aprendem mecanicamente fórmulas costumam esquecer rapidamente e até mesmo empregá-las de forma incorreta. No caso da transcrição acima, fica evidente que os alunos esqueceram a fórmula trabalhada pelo professor na aula anterior. Não é nossa intenção abolir o uso de fórmulas, mas defendemos a sua utilização no fechamento de um processo de construção de conceitos, ou seja, após um trabalho

conceitual suficiente que permita aos alunos construir o significado das fórmulas de área. Logo, nos questionamos se a opção escolhida pelo professor em iniciar com o uso de fórmulas facilita a aprendizagem dos estudantes, uma vez que a todo instante eles são convidados a recitar a fórmula, porém, não demonstram que decoraram.

Dando continuidade à aula, o professor acordou com a turma que iria corrigir as tarefas de forma coletiva. A tarefa inicial é a comparação dos pátios para saber qual o de maior área, já anunciado na aula anterior, mas que não foi concluída.

Os alunos são conduzidos a ampliar a técnica (τD1) para poderem comparar as áreas, surgindo assim uma nova técnica (τC1), como podemos observar na transcrição (643-648, Cf. apêndice B) a seguir.

P - Deu quanto? Quanto aqui? (aponta para o pátio xadrez no livro de um

aluno). 100, é?

P - E nesse aqui? (aponta para o pátio da zebra no livro do aluno) A(03) - 144 a zebra....e o xadrez 150.

P - Isso. Então, 150 do xadrez e 144 de zebra. Qual o maior dos

dois?150...Aí você deu a resposta com garantia. Aí você fez a investigação. Mas se você ficar nessa, aí professor é isso, é isso, sem fazer a investigação... Vamos ver, né?

Como as técnicas (τD1) e (τC1) foram trabalhadas de forma imbricadas, não identificamos uma constituição sólida do bloco tecnológico-teórico em relação à (τC1). O momento da institucionalização se resume a esta fala do professor exposta na transcrição acima, na qual ele valida a resposta dada por um aluno.

Nas próximas tarefas a serem corrigidas, solicita-se a medida da área dos dois pátios e qual deles é o mais espaçoso. As respostas dessas tarefas já estão respondidas pela tarefa anterior, no entanto o professor incentiva os alunos a aplicar a fórmula da área do retângulo e, para isso, eles precisam contar a quantidade de quadradinhos da linha e da coluna de cada pátio, substituir na fórmula os valores encontrados e multiplicarem, obtendo o resultado.

Entendemos que nesse instante acontece o trabalho da técnica (τD2), na qual é explorado o domínio e a sua precisão. Cabe salientar que não foi respondido qual o pátio mais espaçoso, ficando subentendido que os alunos já sabiam e as tarefas de ordem pessoal foram respondidas de forma bem aligeirada (TRANSCRIÇÃO 694- 731, Cf. apêndice B). Questionamo-nos por que o desinteresse do professor nessas tarefas de ordem pessoal, nas quais ele poderia explorar, por exemplo, as situações da vida cotidiana, nas quais comparamos ou precisamos medir a área de uma superfície. Temos por hipótese que ele estava preocupado apenas com os aspectos

pertinentes ao cálculo e assim não queria “perder tempo” com reflexões, ou seja, a gestão do tempo do professor está profundamente ancorada na relação que ele mantém com o saber (CÂMARA DOS SANTOS, 1997). Nesse caso específico, com o conceito de área.

Após a correção das tarefas, o professor distribuiu folhas de papel quadriculado, desenhou quatro figuras poligonais na lousa e solicitou que os alunos as reproduzissem no papel e, em seguida, calculassem a medida da área delimitada por cada figura. Compreendemos que esse momento é mais uma oportunidade para explorar o subtipo de tarefa TD1 e, consequentemente, elaborar uma técnica.

Dentre as figuras apresentadas, duas delas (retângulo e quadrado) foram exploradas também com o uso de fórmulas, ou seja, o professor trabalhou simultaneamente as técnicas (τD1) e (τD2), como já havia feito em outros momentos. Apesar de ele apresentar um discurso que elabora sentido para as ideias, assim como um trabalho com malhas que “é um excelente contexto para o estudo do conceito de área e está muito presente nos livros didáticos” (LIMA e BELLEMAIN, 2010, p. 189), o professor não resiste à exploração de processos mecânicos no desenvolvimento das tarefas propostas, ou seja, a sua compreensão sobre o ensino e aprendizagem de matemática parece ser baseada em uma concepção baldista33, amplamente questionada na Educação Matemática.

O destaque dessa atividade encontra-se nas figuras de letras a e d, nas quais existe a possibilidade de ampliar as técnicas estabelecidas até então. A primeira trata-se de uma figura poligonal como podemos observar a seguir.

Figura 38 – Modelo do polígono trabalhado na malha quadriculada.

Fonte: transcrição (750-757 Cf. apêndice B)

33

Essa concepção é caracterizada pela ação centralizadora do professor, que se coloca como detentor e transmissor do conhecimento e centro das atenções. Assim, parte da ideia de que, “no momento de entrar em contato com um novo objeto de conhecimento matemático, a cabeça do aluno

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