Um inteiro Aqui deu o que? A(04) Um inteiro e meio.

P - Vai dar um inteiro.

P- Um inteiro. Aqui deu o que? A(04) - Um inteiro e meio.

P - Aqui deu uma metade, mas aqui também deu outra metade. Uma com

uma dá?

A(03) - Dois.

P - Meia metade com meia metade vai dar um. Aqui também deu outra e

aqui deu outra. Conte as metades. Deu quanto?

As - Três.

P - Agora conte a área agora.

A(10) - Nove. A(10) - Eu acertei!

P - Vamos lá. Metade com a metade vai dar um, né? Metade com metade

vai dar um, metade com metade vai dar um.

A(10) - Três.

P - Agora os quadradinhos que estão cheios, um, dois, três, quatro, cinco,

seis. Três com seis, nove.

A(01) - E quem acertou professor?

P - Quem marcou 9 está correto. Quem marcou 18 não se ligou na figura

geométrica. Por isso que eu falei pra marcar a área. (TRANSCRIÇÃO, 899 a 926 Cf. apêndice B).

O bloco tecnológico-teórico também não é explicitado claramente, o que permite compreendermos que a maneira como se resolve a tarefa tem dupla função, ser técnica e ser tecnologia ao mesmo tempo. No quadro a seguir, apresentamos um resumo da praxeologia matemática referente a determinar a área de uma figura ladrilhável com quantidade finita inteira ou metade de superfícies unitárias (TD1).

RP: (Registro do professor) d) 9 cm2 1 1 1 6

Quadro 15 – Praxeologia matemática do subtipo TD1 nas aulas do professor de matemática

Subtipo de tarefa (TD1)

Técnica (τD1) Elemento Tecnológico-

teórico (θ,Θ) Determinar a área de uma figura ladrilhável com quantidade finita inteira ou metade de superfícies unitárias.

Realizar a contagem da quantidade de superfícies unitárias necessárias para

recobrir toda figura. Caso, haja metades, a cada duas metades conta-

se uma superfície unitária a mais.

Toda área é dada pela quantidade de superfícies unitárias necessárias para

cobrir uma figura; Conceito e Propriedade aditiva de área de figuras

planas. Fonte: autoria própria

Os objetos ostensivos preponderantes são as figuras desenhadas em malhas, cuja unidade de medida é o quadradinho, que poderá ter ajudado os alunos no sentido de compreender o conceito de área. Trabalhar com malhas é um bom recurso para estudar o conceito de área, porém esse trabalho poderá ser bem mais significativo se incluir diversos tipos de malhas como, por exemplo, triangulares, quadriculadas, retangulares entre outros, de forma a favorecer a compreensão de que a unidade de área é arbitrária e que, mudando a unidade de medida, a área continua inalterada.

Cabe salientar que a maioria das tarefas desse subtipo foi aproveitada para a explicação do subtipo de tarefa TD2, isto é, “determinar a medida da área de um retângulo dada a medida dos comprimentos dos lados”, ou seja, na medida em que o professor trabalhava TD1, também explorava TD2.

Majoritariamente, as tarefas exploradas pelo professor em sala de aula correspondem ao subtipo de tarefa TD2, que foi trabalhado em todas as aulas. Inclusive é com ele que o professor inicia o conceito de área, como veremos mais adiante na organização didática.

Aqui os objetos ostensivos são, além das malhas quadriculadas, as representações de figuras retangulares desenhadas na lousa e a aplicação do uso de fórmulas da área de um retângulo, que, por sua vez, utiliza unidades de medidas convencionais inteiras, como podemos observar na figura a seguir.

Figura 36 – Exemplo de um objeto ostensivo utilizado na aula do professor

Fonte: Transcrição (305 - 309, Cf. apêndice B) 8 cm

A técnica (τD2) utilizada é substituir na fórmula A = c xl os valores das medidas

do comprimento e da largura do retângulo. Em seguida, deve-se multiplicar os valores numéricos do comprimento e da largura. Podemos observar na transcrição (322-332, Cf. apêndice B) a seguir, o momento no qual o professor inicia o trabalho da técnica.

P - Agora existe uma fórmula, a fórmula é essa...

P - A fórmula da área do retângulo vai ser bem simples. Vai ser o

comprimento vezes a largura. É só você pegar o comprimento e multiplicar pela largura.

P - Quem sabe multiplicar aqui? Todo mundo sabe? Sabe A(10) multiplicar?

Sabe ou Não?

Nesse momento nos questionamos se essa maneira de apresentar a fórmula da área do retângulo ajuda os alunos a compreender o seu significado, pois, na concepção do professor, se o estudante souber multiplicar os fatores, saberá utilizar a fórmula.

Dando continuidade à técnica, o professor alerta para a unidade de medida que se está trabalhando (TRANSCRIÇÃO, 351-361, Cf. apêndice B), ou seja, a área será determinada pelo produto dos fatores, acompanhada da unidade de área trabalhada na tarefa. Também é possível perceber que o professor não leva em consideração apenas as medidas necessárias para o cálculo, pois, ao resolver a tarefa faz o produto de comprimentos enfatizando a unidade de medida trabalhada.

P - Qual a unidade de medida que eu tô trabalhando com ela? As - Comprimento

P - Comprimento? Qual a unidade de medida que tô trabalhando com ela?

Isso aqui olha (aponta para o cm escrito na largura e no comprimento do retângulo). As - Centímetro RP: (Registro do professor) A= Comprimento x largura RP: (Registro do professor) A= Comprimento x largura A = 10 cm x 8 cm RP: (Registro do professor) A= Comprimento X largura A = 10 cm x 8 cm A = 80 A = 80 cm2

Como não houve até o presente instante um trabalho efetivo com as unidades de medidas, os estudantes não conseguem responder qual a unidade trabalhada e repetem exatamente o que o professor fala. Esse tipo de ensino é pautado na reprodução e ainda é bastante encontrado nas escolas brasileiras, ou seja, o professor “mostra/fala” e o aluno “repete”.

Os elementos tecnológico-teóricos (θD2, ΘD2) que justificam a técnica estão apoiados na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular, fato observado nas transcrições (492-496, Cf. Apêndice B) referente à determinação da medida da área de uma figura retangular ladrilhável.

P - Eu tô chamando esse quadradinho aqui (em relação à figura retangular

desenhada no quadro) da minha nova unidade de medida. É uma unidade de medida qualquer, não é mais essa unidade de medida. Eu tenho 5 quadradinhos na primeira linha (aponta para o comprimento), ok? Dúvida? Agora eu tenho um, dois, três, quatro (apontando na largura). Bom, se eu multiplicar aqui, se eu for tirar a área dessa figura aqui, eu vou multiplicar o comprimento vezes a largura.

Constatamos que todas as figuras ladrilháveis, retangulares e quadradas, foram utilizadas para explorar a técnica da aplicação da fórmula de área. Com isso, o professor deixa a cargo do aluno escolher a melhor maneira para resolver a tarefa argumentando que: “P - Ou você faz um, dois, três, quatro... quatorze (contando os quadradinhos) ou você pode pegar a fórmula da área do retângulo igual ao comprimento vezes a largura” (TRANSCRIÇÕES 831-832, Cf. Apêndice B). Discordamos dessa tomada de decisão do professor, uma vez que, de modo geral, existem situações em que a contagem não seria a forma mais econômica ou viável de resolver a tarefa, logo, para o aluno ter o poder de escolha seria necessário que ele tivesse vivenciado atividades práticas, quando precisaria formular ideias e validá- las, permitindo, dessa forma, ao estudante decidir que técnica seria mais apropriada para certo tipo de tarefa.

Nas figuras sem ladrilhamento, era exigido apenas o uso de fórmulas, ou seja, não identificamos nenhum momento no qual o estudante fosse convidado a ladrilhar a partir da medida do comprimento e da largura do retângulo e, posteriormente, realizar uma contagem. Esse fato poderia permitir aos alunos estabelecer as relações necessárias entre os quadros numérico e geométrico proposto por Douady & Perrin-Glorian (1989).

Em relação ao subtipo de tarefa “determinar à área de um quadrado dada a medida do comprimento do lado (TD3)” os objetos ostensivos presentes são a malha quadriculada (2 tarefas), figura (1 tarefa) e texto verbal (1 tarefa), com unidades de medidas inteiras, porém ora convencionais ora não convencionais. Por exemplo, no cálculo da medida da área da sala de aula, os alunos utilizaram a lajota como unidade de medida e encontraram 36 lajotas; no entanto, na tarefa passada pelo professor como atividade de casa, pedia-se para calcular a área de um quadrado com lados de 13 cm. A técnica recomendada é baseada na aplicação da fórmula da área do retângulo que, por sua vez, é apoiada no significado da multiplicação na configuração retangular. Nas transcrições (1764-1770, Cf. Apêndice B) a seguir podemos perceber o momento no qual o professor trabalha a técnica (τD3).

P - Se isso aqui (aponta para um dos lados da figura do quadrado) mede 13

cm, isso aqui (aponta para o outro lado do quadrado) mede quanto?

A(06) - 13 cm.

P - Parabéns! Vamos calcular?

P - Eu posso aplicar a mesma fórmula? Posso? Eu posso chegar aqui e

dizer que a área é o comprimento pela a largura. Só que são iguais. Eu boto treze vezes treze. Treze vezes treze?

A(19) - 169.

P - 169!

Percebemos que o professor, às vezes, esquece-se de enfatizar a unidade de medida trabalhada, como, por exemplo, na transcrição acima, ou seja, leva em consideração apenas as medidas necessárias para o cálculo. Para vários pesquisadores como, por exemplo, Douady & Perrin-Glorian (1989), Baltar (1996), Bellemain e Lima (2002), esse fato nos leva a uma concepção numérica de área, podendo ocorrer alguns erros associados a esse entendimento como omissão ou utilização inadequada das unidades de medida trabalhadas. Logo, é provável que o

RP: (Registro do professor no quadro)

13 cm A = comp. x larg. _{A= 13 x 13} A = 169 cm2

professor traga enraizado, na sua formação acadêmica, resquício de um estudo de área de figuras planas cujo foco central era o aspecto numérico.

Portanto, TD2 e TD3 utilizam a mesma técnica e os mesmos elementos tecnológico-teóricos para justificar a fórmula, ou seja, apoiam-se na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular. No quadro a seguir apresentamos um resumo da praxeologia matemática utilizada para TD2 e TD3.

Quadro 16 – Praxeologia matemática do subtipo TD2 e TD3 nas aulas do professor

Subtipo de tarefa Técnica (τD2 e τD3) Elemento Tecnológico-

teórico (θ,Θ) TD2 – Determinar a área de um retângulo, dada as medidas dos comprimentos dos lados. TD3 - Determinar à área de um quadrado dada a medida do comprimento do lado

Substituir na fórmula A= c x l os valores das medidas do comprimento e da largura do retângulo. Em seguida, deve- se multiplicar os valores numéricos do comprimento e da largura. A área será determinada pelo produto dos fatores obtido, acompanhada da unidade de área trabalhada na tarefa.

Aplicação da fórmula que determina a área do retângulo, ou seja, A= c x l é justificada apoiada na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular.

Fonte: autoria própria

Quanto ao subtipo de tarefa “determinar a área de uma figura que pode ser decomposta em retângulos e/ou quadrados (TD4)”, tivemos uma baixa frequência (2 tarefas), uma realizada na 3ª e a outra na 4ª aula. Os objetos ostensivos são figuras (objetos geométricos) que precisam ser decompostas. Em uma das tarefas, extraída do livro didático, é necessário os alunos medirem (com instrumento de medida convencional) os comprimentos dos lados da figura, antes da aplicação da fórmula.

A técnica (τD4) utilizada nesse subtipo de tarefa consiste em decompor os

polígonos em quadrados e/ou retângulos. Quando necessário, medir com um instrumento de medida convencional o comprimento dos lados das figuras. Determinar a medida da área de cada figura decomposta por meio da técnica (τD2 e

τD3) e, em seguida, somar os valores obtidos. A medida da área total será o

somatório da medida das áreas de cada figura acompanhada da unidade de área trabalhada.

Na transcrição (1304 a 1317, Cf. apêndice B) a seguir, o professor, após solicitar que os alunos calculassem a área da figura, corrige a tarefa. É possível perceber a técnica institucionalizada por ele durante a correção.