4 ANÁLISE DO LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA
4.1 Análise das praxeologias matemáticas pontuais relativas aos tipos de tarefas presentes no livro didático.
Como dito anteriormente, identificamos 6 tipos de tarefas presentes no capítulo de áreas de figuras planas no livro didático, nas quais analisamos os blocos do saber-fazer (T,τ) e do saber (θ,Θ). Sendo assim, apresentaremos para cada tipo de tarefa uma organização pontual.
De forma geral, identificamos vários objetos ostensivos, ao longo do capítulo, tais como imagens, plantas baixas, figuras, malhas e tabelas que colaboram para a justificativa das técnicas ou sua ampliação, como veremos adiante, na organização matemática de cada tipo de tarefa e na organização didática. Também percebemos a presença de objetos não-ostensivos evocados por meio das fórmulas, conversões e decomposições que podem ajudar na construção do conceito de área.
4.1.1 Organização matemática pontual do tipo de tarefa “Determinar a medida da área de uma figura ou região (TD)”.
Aqui identificamos 61 tarefas, que categorizamos em seis subtipos. Na tabela abaixo estão agrupados e adaptados os gêneros medir, calcular e determinar:
Tabela 01 – Distribuição dos subtipos da tarefa “determinar a medida da área de uma figura ou região (TD)” no capítulo do livro destinado à área de figuras planas.
Tipo de Tarefa Subtipos de tarefas Quantidade
TD: Determinar a medida da área de
uma figura ou região
TD1 – Determinar a medida da área de uma figura
ladrilhável com quantidade finita inteira ou metade de superfícies unitárias.
25
TD2 – Determinar a medida da área de um retângulo
dada as medidas dos comprimentos dos lados.
17
TD3 – Determinar a medida da área de um quadrado
dada a medida do comprimento do lado.
12
TD4 – Determinar a medida da área de uma figura que
pode ser decomposta em retângulos e/ou quadrados.
04
TD5 – Determinar a medida da área de um triângulo
retângulo, dadas às medidas dos comprimentos dos catetos.
01
TD6- Determinar a medida da área de uma figura que
pode ser decomposta em retângulos e triângulos.
02
Fonte – autoria própria
Apesar de, quantitativamente, TD1 ser preponderante em relação aos demais subtipos de tarefas, ela não é a que melhor representa esse quadro, uma vez que o somatório dos demais subtipos é majoritariamente que TD1 e exploram o cálculo da medida da área. Temos uma baixa frequência para os subtipos TD5 e TD6, o que provavelmente se justifica pelo fato de não ser foco central do capítulo que era o estudo da área do quadrado e do retângulo.
No subtipo TD1, a técnica (τD1) utilizada para resolver a tarefa é realizar a contagem da quantidade de superfícies unitárias necessárias para recobrir toda figura. Caso haja metades, a cada duas metades, conta-se como uma superfície unitária a mais, como podemos observar na figura a seguir.
Figura 11 – Exemplo do subtipo TD1 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 221)
Como podemos observar, o objeto ostensivo presente na tarefa é a malha quadriculada que colabora na justificativa da técnica, no sentido de que toda área é dada pela quantidade de superfícies unitárias necessárias para cobrir uma figura. Logo, o bloco tecnológico-teórico estará apoiado no conceito e na propriedade aditiva de áreas de figuras planas. A caracterização da técnica está apoiada na explicação dada pelos autores do livro na abertura do capítulo quando afirmam que “Observando bem, você perceberá que as lajotas dos dois pátios têm o mesmo tamanho. Por isso, podemos comparar o tamanho deles contando quantas lajotas há em cada um” (p. 211). Em relação aos elementos tecnológico-teóricos fizemos inferências, pois não encontramos no livro uma explicação explicita a respeito da justificativa da técnica. Sendo assim temos:
Quadro 11 – Praxeologia matemática do subtipo TD1 no capítulo do livro didático
Subtipo de tarefa (TD1)
Técnica (τD1) Elemento Tecnológico-
teórico (θ,Θ) Determinar a área de
uma figura ladrilhável com quantidade finita inteira ou metade de superfícies unitárias.
Realizar a contagem da quantidade de superfícies unitárias necessárias para recobrir toda figura. Se houver metades, a cada duas metades conta- se como uma superfície unitária a mais.
Toda área é dada pela quantidade de superfícies unitárias necessárias para cobrir uma figura; O Conceito e a propriedade aditiva de área de figuras planas justificam a técnica.
Percebemos que os autores supõem que os alunos, usuários do livro, já conhecem a técnica associada a esse subtipo de tarefa e os elementos tecnológicos, uma vez que apenas a revisitam, com maior ou menor grau de explicitação.
Majoritariamente, em 13 tarefas desse subtipo, são utilizadas as unidade de medida exata não convencional como, por exemplo, quadradinhos e triângulos, desenhados em malhas, cujas respostas não são fracionadas.
Além disso, os autores alertam para o fato que, ao mudar a unidade, muda também o valor numérico, estimulando assim a passagem do quadro das grandezas para o quadro numérico, como podemos perceber na figura a seguir.
Figura 12 – Exemplo do subtipo TD1 com medida exata não convencional e com mudanças
de unidade no livro didático.
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 222)
Apesar de não considerarmos na computação a tarefa 7 da figura acima, pois trata-se de uma questão de ordem pessoal, resolvemos apresentá-la ao leitor, no sentido de mostrar a possível preocupação dos autores para que o aluno perceba que quanto maior é a unidade, menor é o número que expressa a medida, no entanto a área não se altera. Vale salientar que essas ideias não são explicitadas no livro didático, logo, são inferências nossas a partir do estudo do conceito de área.
No subtipo de tarefa determinar a medida da área de um retângulo dadas as medidas dos comprimentos dos lados (TD2), os objetos ostensivos preponderantes são as figuras em perspectivas ou não, sejam elas representações de objetos do mundo real ou figuras geométricas. Geralmente é exigido o uso de fórmulas da área de um retângulo, a maioria das unidades de medidas utilizadas são convencionais e o desenho das figuras não são em grandezas verdadeiras, como podemos perceber na figura a seguir.
Figura 13 – Exemplo do subtipo TD2 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 230).
Para resolver esse subtipo de tarefa, o livro didático nem sempre deixa claro a técnica a ser utilizada, mas supomos que os alunos poderão utilizar (τD2), ou seja,
substituir na fórmula A = c x l os valores das medidas do comprimento e da largura do retângulo. Em seguida, deve-se multiplicar os valores numéricos do comprimento e da largura. A medida da área será determinada pelo produto das medidas dos comprimentos, acompanhada da unidade de área trabalhada na tarefa. Logo, os elementos tecnológico-teórico (θD2, ΘD2) que justificam a técnica estão apoiados na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular (como veremos na organização didática adiante).
Em relação ao subtipo de tarefa determinar a medida de área de um quadrado dada a medida do comprimento do lado (TD3), o objeto ostensivo que mais aparece nas tarefas é o texto verbal, com unidades de medidas convencionais e inteiras. Por exemplo, “Qual é a área de um quadrado com 5 cm de lado? E a de um com 9 cm de lado? E a de um com 2 cm de lado?”(p. 225).
As técnicas supostamente recomendadas para o subtipo de tarefa acima são a aplicação da fórmula da medida de área do quadrado ou do retângulo baseada no significado da multiplicação na configuração retangular, uma vez que esse subtipo de tarefa vem logo após ser apresentado o momento da constituição do ambiente tecnológico teórico (como veremos na organização didática adiante); assim temos.
Quadro 12 – Praxeologia matemática do subtipo TD3 no capítulo do livro didático
Subtipo de tarefa (TD3)
Técnica (τD3) Elemento Tecnológico-
teórico (θ,Θ) Determinar a medida de área de um quadrado dada a medida do comprimento do lado
Substituir o valor da medida do comprimento do lado do quadrado na fórmula A= l2. Em seguida, deve-se elevar esse valor à potência 2, ou ainda, utilizar a fórmula A= c x l substituindo os valores da medida do comprimento e da largura, multiplicando os valores numéricos. A medida de área, de ambas as técnicas, será determinada pelo valor numérico obtido, acompanhado da unidade de área.
Aplicação da fórmula que determina a área do quadrado, ou seja, A= l2 é justificada apoiada na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular, assim como A = c x l.
Fonte: autoria própria
Portanto, TD2 e TD3 utilizam o mesmo elemento tecnológico-teórico para justificar as fórmulas, ou seja, apoiam-se na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular.
Quanto ao subtipo de tarefa determinar a medida de área de uma figura que pode ser decomposta em retângulos e/ou quadrados (TD4), todos os objetos ostensivos são figuras (objetos geométricos), cujas dimensões precisam ser medidas com instrumento de medida. A unidade de área é convencional e as medidas são inteiras e decimais, como podemos verificar na figura a seguir.
Figura 14 – Exemplo do subtipo TD4 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 226)
A técnica (τD4) utilizada nesse subtipo de tarefa consiste em decompor os
polígonos em quadrados e/ou retângulos. Medir, com um instrumento de medida convencional, o comprimento dos lados das figuras. Determinar a medida da área de
cada figura decomposta, supomos que por meio da fórmula (TD3 e TD4) e, em seguida, somar os valores obtidos. A medida da área total será o somatório da medida das áreas de cada figura acompanhada da unidade de área.
Na figura anterior podemos perceber que o objeto geométrico será subdividido em duas figuras quadradas, um quadrado de lado 2 cm e o outro de lado 4 cm. Logo, aplicando a fórmula da área do quadrado temos, 4 cm2 e 16 cm2. Somando as medidas de áreas das duas figuras temos, 4 cm2 + 16 cm2 = 20 cm2. Portanto, a área total mede 20cm2.
Os elementos do bloco “tecnológico-teórico (θTD4, ΘTD4)” que justificam a técnica (τD4) é a propriedade aditiva das áreas, ou seja, a medida da área total é
dada pelo somatório da medida de área de cada figura obtida pela decomposição. No subtipo de tarefa “determinar a medida da área de um triângulo retângulo, dadas as medidas dos comprimentos dos catetos (TD5)”, o objeto ostensivo que ajuda a resolver a tarefa é a figura de um triângulo retângulo com unidade de área convencional cujas medidas são inteiras.
A técnica (τD5) que poderá ser empregada consiste em substituir na fórmula da área do retângulo A= c x l os valores das medidas dos comprimentos dos catetos do triângulo retângulo. Em seguida, deve-se multiplicar os valores numéricos e dividir por 2, pois o valor obtido corresponde a um retângulo formado pelo dobro da medida da área do triângulo. A medida da área será determinada pelo quociente obtido, acompanhada da unidade de área trabalhada na tarefa. Outra maneira de resolver a tarefa seria ladrilhar com quadradinhos de 1 cm2 o triângulo e, em seguida, contar quantos cabem no interior da figura (τD1). Para orientar em relação à
técnica a ser utilizada, os autores apontam o caminho para chegar à solução da tarefa, como podemos perceber na figura a seguir.
Figura 15 – Exemplo do subtipo TD5 no capítulo do livro didático
Os elementos do bloco tecnológico-teórico (θTD5,ΘTD5) se apoiam nas propriedades das figuras geométricas planas, ou seja, uma figura retangular pode ser decomposta em 2 triângulos retângulos, logo, para calcular a medida da área de um dos triângulos basta determinar a medida da área do retângulo e dividir por dois.
Quanto ao subtipo de tarefa “determinar a medida da área de uma figura que pode ser decomposta em retângulos e triângulos retângulos (TD6)” o objeto ostensivo que ajuda a resolver a tarefa é uma figura de um trapézio retângulo com unidade de área convencional e medidas exatas, conforme a figura a seguir.
Figura 16 – Exemplo do subtipo TD6 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 227)
Do mesmo modo que em TD5, os autores também indicam na própria tarefa, mesmo que de forma superficial, a técnica (τD6) a ser utilizada para calcular a
medida de área da figura (ver figura 14), a qual consiste em decompor a figura em um retângulo e um triângulo. Determinar a medida da área de cada figura decomposta (TD2 e TD5) e, em seguida, somar os valores obtidos. A medida da área total será o somatório das medidas das áreas de cada figura, acompanhada da unidade de área.
Os elementos do bloco tecnológico-teórico (θTD6, ΘTD6) que justificam a técnica (τD6) é a propriedade aditiva das áreas, ou seja, a medida da área total é
dada pelo somatório da medida de área de cada figura decomposta.
Portanto, a partir de uma visão mais global, percebemos que, apesar de o subtipo TD1 ser quantitativamente maior do que os outros subtipos, a técnica que fica mais subentendida nesse tipo de tarefa é a aplicação de fórmulas, seja da medida da área do quadrado ou do retângulo, em situações de decomposição ou somatórios de áreas.
4.1.2 Organização matemática pontual do tipo de tarefa “comparar medida de área de figuras geométricas planas (TC)”
Nesse tipo de tarefa identificamos 14 atividades, que foram subdivididas em três subtipos de tarefas. São tarefas que exigem a comparação direta ou a seriação de figuras. Todas são de natureza estática e não identificamos as técnicas de inclusão e sobreposição, equidecomposição e corte-colagem. Dessa forma, temos os seguintes subtipos de tarefas.
Tabela 02 - Distribuição dos subtipos da tarefa “Comparar medidas de áreas de figuras geométricas planas (TC)” no capítulo do livro destinado à área de figuras planas.
Tipo de Tarefa Subtipos de tarefas Quantidade
TC: Comparar medidas de áreas
de figuras geométricas
planas
TC1 – Comparar medidas de áreas de figuras
poligonais ladrilháveis.
07
TC2 – Comparar simultaneamente área e
perímetro de figuras poligonais.
05
TC3 – Comparar a medida de áreas de figuras
retangulares.
02
Fonte- autoria própria
Como podemos perceber na tabela acima, o subtipo de tarefa que majoritariamente encontra-se presente no livro didático é a comparação de medidas de áreas de figuras desenhadas em malhas. Provavelmente, os autores aproveitaram a oportunidade em que a ênfase do 6º ano é no número de quadradinhos unitários contidos na figura e exploraram esse subtipo de tarefa. No TC2 o destaque é em tarefas que necessitam identificar polígonos que tenham, por exemplo, a mesma área e o mesmo perímetro. Em TC3 o aluno precisa determinar a medida de área das figuras e, em seguida, compará-las.
No subtipo de tarefa “comparar a medida de área de figuras poligonais ladrilháveis (TC1)” o objeto ostensivo predominante são figuras poligonais desenhadas em malhas, sejam quadriculadas ou triangulares. Em relação à quantidade de superfícies a comparar, todas as tarefas exigem a necessidade de seriação, uma vez que é necessário ordenar para saber quem é maior, menor ou tem a mesma área. De uma forma geral, elas apresentam a praxeologia organizada no quadro a seguir.
Quadro 13 – Praxeologia matemática do subtipo TC1 no capítulo do livro didático
Subtipo de tarefa (TC1)
Técnica (τC1) Elemento Tecnológico-
teórico (θ,Θ) Comparar medidas de áreas de figuras poligonais ladrilháveis.
Contar a quantidade de superfícies unitárias necessárias para recobrir todas as figuras. Caso haja metades, a cada duas metades conta-se uma superfície unitária a mais. Em seguida, deduz-se a ordem das áreas da ordem dos números, obtendo assim a área maior, menor ou igual.
Dada uma unidade de área, a superfície que tiver a maior medida é a que tem maior área. Do mesmo modo, se duas superfícies tiverem a mesma medida, terão mesma área.
Fonte: autoria própria
No exemplo da figura 16 podemos verificar que é necessário contar a quantidade de quadradinhos de cada figura e, em seguida, ordenar observando qual é a maior e qual é a menor. No entanto, os autores do livro didático não deixam explícita a técnica a ser utilizada e, por isso, a praxeologia descrita no quadro 13, se baseia em nossas inferências sobre a análise realizada nas tarefas.
Esse tipo de tarefa poderia colaborar no sentido de construir a passagem do quadro geométrico para o quadro das grandezas, no entanto reduz a grandeza área a um número cujo foco principal termina sendo as medidas.
Figura 17 – Exemplo do subtipo TC1 no capítulo do livro didático
Em relação ao subtipo de tarefa “comparar simultaneamente área e perímetro de figuras poligonais (TC2)”, os objetos ostensivos predominantes são figuras poligonais (quadrados, retângulos, triângulos, etc.) desenhadas em malhas, sejam quadriculadas ou triangulares. Quanto à quantidade de superfícies a comparar, temos 5 seriações, como podemos observar na figura a seguir:
Figura 18 – Exemplo do subtipo TC2 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 233)
Na tarefa da figura anterior, a comparação não é direta, uma vez que para comparar a superfície A e E precisamos de uma terceira superfície, o triângulo. O objeto ostensivo colabora no entendimento de que área e perímetro variam de modo distinto. Nesse caso, os perímetros são iguais e as áreas são diferentes.
A técnica (τC2) que fica subentendida é contar a quantidade de superfícies unitárias necessárias para recobrir toda a figura. Caso haja metades, a cada duas metades conta-se uma superfície unitária a mais, determinando assim a medida de área das figuras. Depois, por meio de contagem, verifica-se a medida de comprimento que cada figura possui em seu contorno, determinando assim a medida do perímetro das figuras. Em seguida, deduz-se a ordem das áreas da ordem dos números, assim como deduz-se a ordem dos perímetros da ordem dos números, obtendo, dessa forma, figuras que possuem áreas e perímetros iguais; áreas iguais e perímetros diferentes; perímetros iguais e áreas diferentes ou áreas e perímetros diferentes.
O elemento do bloco tecnológico-teórico (θTC2, ΘTC2) que justifica a técnica (τC2) é que a área e o perímetro, dependendo do caso, não variam do mesmo modo.
Quanto ao subtipo de tarefa “comparar medidas de áreas de figuras retangulares (TC3)”, os objetos ostensivos agora não são mais as malhas e, sim, as figuras retangulares construídas com palitos de fósforo. A comparação não é direta, pois é necessário comparar e ordenar vários retângulos. A unidade de medida não é convencional, no entanto é inteira. Os autores explicitam a técnica que deverá ser utilizada ao lado das tarefas. Nesse caso, nos interessamos pela tarefa 17, itens b e c, mas como ela está associada à tarefa 16, resolvemos apresentar as duas ao leitor, conforme figura a seguir.
Figura 19 – Exemplo do subtipo TC3 no capítulo do livro didático
Fonte: Imenes & Lellis (2012, p. 227)
Inicialmente a técnica utilizada é (τD2), ou seja, substituir os valores das medidas do comprimento e da largura do retângulo na fórmula A= c x l, conforme modelo proposto pelos autores na própria tarefa (figura acima). Em seguida, deve-se multiplicar os valores numéricos do comprimento e da largura. A medida da área será determinada pelo produto dos fatores obtidos, acompanhada da unidade de área não convencional trabalhada na tarefa. Em seguida, o estudante deverá deduzir a ordem das áreas da ordem dos números, obtendo assim a área maior e menor. No entanto, essa fase da técnica não é descrita no livro e, por isso, são as nossas inferências sobre a resolução desse tipo de tarefa.
Os elementos do bloco tecnológico-teórico que justificam a aplicação da fórmula que determina a medida da área do retângulo, ou seja, A= c x l está apoiada na contagem da quantidade de linhas e colunas e no significado da multiplicação na configuração retangular e na ideia de que dada uma unidade de área, a superfície que tiver a maior quantidade é a que tem maior área; do mesmo modo, se duas superfícies tiverem a mesma quantidade de unidade de área terão a mesma área.
4.1.3 Organização matemática pontual do tipo de tarefa “Determinar o valor de uma grandeza diferente da área, em problema cujo enunciado comporta dados relativos à área de figuras planas (TG)”.
Identificamos 10 tarefas que foram subdivididas em 05 subtipos de tarefas. Aqui foram agrupadas as que exigiam a medida de outras grandezas diferentes da área como, por exemplo, perímetro. No entanto, havia no enunciado a presença de dados referentes à área de figuras planas. Sendo assim, segue abaixo os subtipos desse tipo de tarefa:
Tabela 03 - Distribuição dos subtipos da tarefa “Determinar o valor de uma grandeza diferente da área, em problema cujo enunciado comporta dados relativos à área de figuras planas (TG)” no capítulo do livro destinado à área de figuras planas.
Tipo de Tarefa Subtipos de tarefas Quantidade
TG - Determinar o valor de uma grandeza diferente da área, em problema cujo