Análise do Pré-teste

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78 E1: Mas como vamos resolver se a gente nem sabe o assunto?

Pesquisadora: Vocês devem buscar os conhecimentos já estudados para auxiliar nas resoluções... são todas fáceis, é... só se concentrar e mostrar que conseguem pensar em possibilidades diferentes de resolver o problema.

E6: É para nota professora?

Pesquisadora: Não. É para que vocês consigam mostrar suas capacidades criativas de resoluções de problema.

E20: Como é que pode professora... no primeiro dia de aula aplicar uma prova?

Pesquisadora: É só um teste para que vocês possam mostrar seus conhecimentos sobre métodos de contagem. Não é uma avaliação, podem ficar à vontade para resolver os problemas... mas, por favor, tentem resolver de diferentes maneiras, para mostrar o quanto vocês conseguem pensar sobre um problema. Quanto mais resoluções, mais criativos vocês poderão ser.

A fala da pesquisadora mostra sua tentativa de motivar os estudantes para resolver os problemas de maneiras diferentes. Assim, como descrito no Capítulo III desta pesquisa, a motivação é um dos preceitos da criatividade, pois segundo a Psicologia, tal motivação torna- se um dos principais impulsionadores para que a criatividade aconteça. Por meio da fala dos estudantes E1, E6 e E20, percebe-se que os estudantes não ficaram muito entusiasmados para a resolução dos problemas do pré-teste.

Conforme consta no Capítulo IV, para analisar as resoluções apresentadas pelos 23 estudantes no pré-teste, cada problema foi categorizado de acordo com a pontuação: 0,00;

0,25; 0,50; 0,75; 1,0; sendo que em seguida essa pontuação foi relacionada com os níveis do Raciocínio Combinatórios, apontado por Santana e Oliveira (2015) como Ausência de raciocínio (R1), nas resoluções categorizadas em Zero; Indício de Raciocínio (R2), em resoluções categorizadas entre 0,25 e 0,75; e Presença de Raciocínio (R3), em resoluções categorizadas em 1.

Na Figura 5.1, há o exemplo de resolução do problema de Permutação (P3), elaborada pelo Estudante E8, tendo como resultado a Ausência de Raciocínio (R1), na qual verifica-se que o estudante faz o uso de desenhos, reescreve os mesmos números dados no problema de seis formas diferentes, escreve a palavra „infinite‟ e desenha várias vezes o símbolo do infinito. Nota-se, a partir disso, que o estudante não formalizou e nem registrou alguma maneira de resolver o problema, evidenciando a ausência do raciocínio combinatório (R1).

Figura 5.1 - Exemplo de resolução categorizada com Ausência de Raciocínio (R1)

79 Fonte: Resolução dada pelo estudante E8 em P3.

Para o segundo nível, identificado como “Indício de Raciocínio Combinatório” (R2), foram classificadas as resoluções que apresentavam as “possibilidades de um determinado evento acontecer [...] sem conseguir esgotá-los” (SANTANA, OLIVEIRA 2015, p. 46). Esse nível se evidenciou quando os estudantes iniciavam a resolução listando corretamente algumas possibilidades referentes ao problema, mas não esgotavam todas as possibilidades, ou usavam alguma fórmula para elaborar a resolução, mas sem finalizá-las.

Com esse critério, apresenta-se na Figura 5.2 um exemplo de resolução, categorizada no nível R2, elaborada pelo estudante E7, no quinto problema (P5), de Arranjo (P5), envolvendo quatro elementos (AMOR) de classe três (palavras de 3 letras). O estudante listou seis palavras de forma correta, colocando como resposta: „6 palavras podem ser formadas‟, porém não esgotou todas as 24 palavras possíveis, não conseguindo formalizar a resolução do problema.

Figura 5.2 - Exemplo de resolução categorizada com Indício de Raciocínio (R2)

Fonte: Resolução dada pelo estudante E7 em P5.

80 O terceiro e último nível de raciocínio encontrado na resolução dos estudantes foi a Presença de Raciocínio Combinatório (R3), considerado o raciocínio em que os estudantes apresentavam corretamente a resposta do problema, elencando as formas de resolução utilizadas para apresentar todas as “possibilidades de um determinado evento acontecer”

(SANTANA; OLIVEIRA, 2015, p. 48). Isso pode ser observado na Figura 5.3, que exemplifica uma resolução categorizada como “Presença de Raciocínio (R3)”, dada pelo estudante E15 no problema de Permutação (P3), pois lista todas as possibilidades de formar números com quatro algarismos diferentes, considerando os algarismos 2, 5, 6 e 8, obtendo 24 formas diferentes de formar os números como resposta.

Figura 5.3 - Exemplo de resolução categorizada com Presença de Raciocínio (R3)

Fonte: Resposta dada pelo estudante E15 em P3.

A Figura 5.3 mostra que o estudante E15 conseguiu listar corretamente todas as possibilidades de formar números com quatro algarismos, seguindo um raciocínio generalista e de forma organizada, escrevendo para a primeira posição todos os números possíveis começando com 2, em seguida com 5, depois com 6 e por último com 8. O mesmo foi feito para preencher a segunda, terceira e quarta posição, de forma que foi formalizada a resposta correta esperada do problema. Dessa maneira, a resolução deste estudante foi enquadrada ao nível “Presença de Raciocínio Combinatório (R3)”.

Para analisar como se deu a resolução dos estudantes nos três níveis de Raciocínio Combinatório, foram tomadas como base as 138 resoluções possíveis, já que o teste possuía seis problemas, resolvidos por 23 estudantes. Cada resolução foi analisada e categorizada em um dos três níveis¹⁹. Na Figura 5.4 apresentam-se os resultados dessa categorização e verifica-se também que 78 (56,5%) das resoluções foram catalogadas como indício de

19 Conforme a pontuação atribuída a forma melhor elaborada para o problema.

81 raciocínio (R2); 54 (39,1%) como ausência de raciocínio (R1) e apenas 6 (4,4%) resoluções foram catalogadas como presença de raciocínio (R3).

Na Figura 5.5 consta a distribuição das resoluções de acordo com os níveis de raciocínio combinatório por problema. Para melhor visualização dos dados, os problemas foram organizados por conceitos de Permutação (três primeiras colunas) e Arranjo (três últimas colunas), da esquerda para direita.

Figura 5.4 – Distribuição das resoluções segundo os níveis de Raciocínio Combinatório, no pré-teste, no Estudo I

Fonte: Dados da pesquisa (2016).

Figura 5.5 – Distribuição dos níveis de Raciocínio Combinatório por problema, no pré-teste, no Estudo I

Fonte: Dados da pesquisa (2016).

Ao analisar as resoluções dos três problemas de Permutação (P1, P3 e P4), constata-se que o percentual da ausência de raciocínio (R1) foi crescendo de P1 para P4 e que somente no P3 foi encontrado resoluções com Presença de Raciocínio (R3). Nos problemas de Arranjo (P2, P5 e P6), observa-se que todas as resoluções de P2 se situaram no nível Ausência de Raciocínio (R1), sendo que em P5 e P6 predominou o nível intermediário de raciocínio (R2).

Nos dois conceitos de Análise Combinatória (Permutação e Arranjo), as resoluções dos estudantes apresentaram um desempenho insatisfatório, pois ficaram maioritariamente no

39,1

56,5

4,4

0 20 40 60 80 100

R1 R2 R3

%

P1-Perm P3-Perm P4-Perm P2-Arr P5-Arr P6-Arr

R3 - Presença 0,0 13,0 0,0 0,0 4,3 8,7

R2 - Indício 91,3 56,5 26,1 0,0 87,0 78,3

R1 - Ausência 8,7 30,4 73,9 100,0 8,7 13,0

0 20 40 60 80 100

%

82 nível de indício de raciocínio. Esse resultado corrobora com os pressupostos de Santana e Oliveira (2013), quando afirmam que os conceitos de Análise Combinatória, mesmo sendo previstos para serem formalizados no 2º ano do Ensino Médio, podem apresentar, por meio das respostas dos estudantes, um desempenho insatisfatório ao resolver situações-problemas que envolvem estes conceitos, apesar das orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) recomendarem o ensino de Análise Combinatória desde os anos iniciais da escolaridade, para que os estudantes cheguem ao Ensino Médio com este tipo de raciocínio pré-estabelecido.

Além da categorização das resoluções por nível de raciocínio, foram analisadas, também, as formas utilizadas pelos estudantes na resolução dos problemas, nas quais foram identificadas quatro categorias diferentes, a saber: Lista, Língua Materna, Princípio Fundamental da Contagem e Outros. A Figura 5.6 exemplifica o tipo de forma de resolução categorizada como “Lista”, no qual o estudante E14, a partir do número iniciado por cada algarismo dado no problema, lista, de maneira organizada em colunas, a resolução pretendida, encontrado o resultado correto.

Figura 5.6 - Exemplo da forma de resolução categorizada como “Lista”

Fonte: Resolução dada pelo estudante E14 em P3

Neste exemplo específico, o estudante E14 lista todas as possibilidades e faz uma generalização (percebe a regularidade) em colunas, esgotando as diferentes maneiras que se podem formar números iniciados com cada algarismo. Assim, na última coluna, esse estudante acaba generalizando a quantidade de maneiras em que se pode obter diferentes combinações, alcançando a resolução correta. Contudo, observa-se que nem todas as resoluções em lista são construídas de forma completa ou correta.

Na categoria “Língua Materna”, foi considerada todas as resoluções em que os estudantes escreveram por extenso, fazendo uso do português e expressando a maneira como pensaram para resolver o problema. Na Figura 5.7, por exemplo, apresenta-se a resolução

83 elaborada pela estudante E18, no problema P4: „De várias maneiras, de forma que possa reverter a fila e sejam entrevistados infinitamente‟, que não está correta. O problema P4 contemplava o conceito de Permutação, usando cinco elementos distintos (5 pessoas), cujo resultado esperado é 120 maneiras de organizar uma fila (resultado finito).

Figura 5.7 - Exemplo da forma de resolução categorizada como “Língua Materna”

Fonte: Resolução dada pelo estudante E18 em P4.

Na Figura 5.8 é exemplificada a forma categorizada como Princípio Fundamental da Contagem, como a utilizada pelo estudante E9 na resolução do problema P4: „5x10 = 50‟, fazendo o uso do princípio multiplicativo, pois como discutido no Capítulo II, a ideia é considerar a tomada de decisões sucessivas de se fazer uma escolha, ao qual multiplica-se, quantitativamente, as possibilidades de decisões possível para cada escolha. O estudante E9 considerou cinco possibilidades de tomar a primeira decisão e 10 possibilidades de tomar a segunda, multiplicando ambas chances, chegando a 50. Com isso, qualquer forma semelhante ou igual a esta foi classificada como “Princípio Fundamental da Contagem”. Neste caso particular, o estudante não responde corretamente o problema.

Figura 5.8 - Exemplo da forma de resolução categorizada como “Princípio Fundamental da Contagem”.

Fonte: Resolução dada pelo estudante E9 em P4.

84 Na categoria “Outros” foram catalogadas as resoluções que não se encaixavam nas categorias anteriores (Língua materna, lista e Princípio Fundamental da Contagem) e não evidenciaram de forma clara a resolução do problema, expressando-se com desenhos sem relação com o problema; ícones descrevendo somente a resposta sem a resolução, escrevendo expressões inadequadas ou não elaborando nenhuma resposta, deixando a resolução em branco. Na Figura 5.9 nota-se uma resolução categorizada em “Outros”, elaborada pelo estudante E8 em um problema de Permutação (P1). O estudante fez alguns desenhos, repete expressões do enunciado do problema e não registra a resposta, não conseguindo organizar seu raciocínio de forma evidente.

Figura 5. 9 - Exemplo da forma de resolução categorizada como “Outros”

Fonte: Resolução dada pelo estudante E8 em P1.

A Tabela 5.1 apresenta um panorama das formas utilizadas pelos estudantes categorizadas em Lista, Língua Materna, Princípio Fundamental da Contagem e Outros.

Observa-se que um estudante pode ter utilizado uma ou duas formas para resolver um problema, como no caso dos problemas P2, P3 e P5, no qual um estudante apresenta duas formas e, no caso do problema P4, quatro estudantes apresentam duas formas, sendo que consequentemente foram catalogadas 145 formas, ao todo.

Tabela 5.1 – Distribuição das formas de resolução por problema, segundo categoria, no pré-teste do Estudo I

Categoria P1 P2 P3 P4 P5 P6 Total

Princípio Fund. da Contagem 0 1 1 4 1 1 8

Lista 21 7 15 6 22 21 92

Língua Materna 0 8 1 11 1 1 22

Outros 2 8 7 6 0 0 23

Total 23 24 24 27 24 23 145

Fonte: Dados da pesquisa (2016).

85 A Tabela 5.1 evidencia que a forma de resolução mais usada pelos estudantes foi a

“Lista” e a menos usada foi a do “Princípio Fundamental da Contagem”. Além disso, é importante observar que P5 e P6 foram os únicos problemas que os estudantes não fizeram o uso de forma categorizada como “Outros”. Para a classificação das dimensões da Criatividade Matemática, foram consideradas somente as resoluções classificadas no nível “Presença de Raciocínio (R3)”, isto é, apenas as resoluções corretas, considerando todas as formas que foram utilizadas nessas resoluções.

Para categorizar as dimensões da criatividade, foram consideradas como fluentes aquelas que apresentavam pelo menos duas formas de resoluções corretas (classificada na mesma categoria ou não); como flexibilidade pelo menos duas formas distintas e corretas e, como original, aquelas que apresentavam uma categoria diferente das utilizadas pelos outros estudantes.

Apresenta-se, na Figura 5.10, um exemplo em que o estudante se mostrou fluente e flexível.

Figura 5.10 - Exemplo de um estudante fluente e flexível na resolução de P5

Fonte: Resolução do estudante E11 na resolução do problema P6.

Na resolução do Estudante E11 foram identificadas duas formas para resolver o problema (P5), quando ela escreve seu raciocínio usando a Língua Materna: „De 12 maneiras, pois sem modificar a primeira letra a palavra pode ser modificada 3 vezes, e como são 4 letras. 4x3 =12, portanto 12 maneiras‟. Ao utilizar o Princípio Fundamental da Contagem, foram usadas duas categorias para completar seu raciocínio de escrita. Logo, o estudante E11 foi fluente ao encontrar duas respostas corretas para o problema e foi também flexível, evidenciando duas categorias de resolução diferentes para o mesmo problema.

Na Tabela 5.2 consta a distribuição das dimensões da Criatividade (Fluência, Flexibilidade e Originalidade) em relação a resoluções dos problemas pelos estudantes de

86 acordo com o número de acertos, no pré-teste. Das 138 resoluções possíveis, os estudantes acertaram apenas seis. Apenas o Estudante E11 se mostrou fluente, flexível e original nas resoluções dos problemas P5 e P6; o estudante E15 se mostrou original por apresentar a forma de resolução diferente dos demais, porém não foi fluente e nem flexível; os estudantes E14 e E19 apenas elaboraram corretamente a resolução de P3, não mostrando capacidades criativas.

Somente nos problemas P5 e P6 houve demonstrações de capacidades criativas.

Tabela 5.2 - Distribuição das dimensões da Criatividade dos estudantes segundo o número de acertos, por problema, no pré-teste, no Estudo I

Estudante Nº de acertos

Dimensões da criatividade Fluência Flexibilidade Originalidade

E11 2 P5 e P6 P5 e P6 P5 e P6

E14 1 0 0 0

E15 2 0 0 P6

E19 1 0 0 0

Total 6

Fonte: Dados da pesquisa (2016).