O desenvolvimento do Raciocínio Combinatório de estudantes da educação básica

Nesta seção apresentaremos algumas pesquisas que se desenvolveram no que tange o desenvolvimento do raciocínio combinatório. Tais pesquisas servirão de base para a construção deste trabalho, no que diz a respeito à literatura sobre o tema envolvido.

Abordaremos aqui a tese de doutorado elaborado por Cristiane Pessoa, sob a orientação de Rute Borba, em 2009, intitulado: “Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório do 2º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio”, que investigou sobre o uso de conceitos de Análise Combinatória para o desenvolvimento do Raciocínio Combinatório de estudantes da educação básica. Essa investigação teve por objetivo principal analisar a compreensão de alunos do 2º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio sobre problemas que envolvem o Raciocínio Combinatório.

Participaram da pesquisa 568 alunos de quatro escolas em Pernambuco, dentre as quais duas públicas e duas particulares. Os alunos responderam um teste contendo oito situações de análise combinatória, dividas em: duas de arranjo, duas de permutação, duas de combinação e duas de produto cartesiano, e a análise dos dados foram realizadas de forma qualitativa e quantitativa.

As autoras analisaram o desempenho dos alunos a partir das variáveis gênero (masculino e feminino); tipo de escola (pública e particular); nível de ensino (Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e Ensino Médio); ano de escolarização (2º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio); significados de Combinatória dos problemas (arranjo, combinação, permutação e produto cartesiano) e ordem de grandeza dos números (números pequenos, números grandes), que podem estar relacionadas ao desempenho nas situações-problema. Fizeram a análise qualitativa dos tipos de respostas e formas apresentadas pelos alunos.

32 Dentre essas variáveis, foi observado/analisado, nesta pesquisa, duas variáveis, o ano de escolarização e conceitos de combinatória, pois direcionam situações mais especificas para nossa questão de pesquisa. Para isso, construímos um gráfico a partir de uma tabela elaborada por Pessoa e Borba (2009, p.136), sobre o percentual de acertos por ano de escolarização e por significado de Combinatória do problema de uma contendo o percentual de acertos por ano escolar e por significado de Combinatória, conforme Figura 2.2.

Na análise dos dados as autoras apontam que “os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e os do 1º e 2º e 3º ano do Ensino Médio apresentaram desempenhos não significativamente diferentes” (PESSOA; BORBA, 2009, p.137). Além disso, os significados de Arranjo e Permutação (objeto de estudo da nossa pesquisa) e Combinação possuem menores percentuais de acerto pelos estudantes do 2º ano do Ensino Médio. A Figura 2.3 ilustra a tendência por nível de ensino.

Figura 2.2 - Percentual de acertos por ano de escolarização e por significado de Combinatória do problema

Fonte: construído a partir da Tabela 5 de Pessoa e Borba (2009, p.136)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2º EF 3º EF 4º EF 5º EF 6º EF 7º EF 8º EF 9ºEF 1º EM 2º EM 3º EM

% de acerto

Ano escolar

Produto Cartesiano

Arranjo

Permutação

Combinação

33 Figura 2.3 - Percentual de acertos por significado de Combinatória do problema e por nível de ensino

Fonte: Construído a partir da Tabela 5 de Pessoa e Borba (2009, p. 138).

A partir da análise desses dados, as autoras apontam que os problemas de Arranjo e de Permutação são mais fáceis do que os de combinação e mais difíceis que os de produto cartesiano, observando o desempenho demonstrado pelos estudantes pesquisados. Os problemas de Arranjo se revelam mais fáceis que os de Permutação. As autoras ainda concluem que:

Nos problemas que levavam a um menor número de possibilidades, os alunos apresentaram melhor desempenho do que nos que levavam a um maior número de possibilidades. Assim, os problemas nos quais os alunos podiam manipular as quantidades com mais facilidade levavam a um maior número de acertos (PESSOA, 2009, p. 246).

Indicando que os problemas envolvendo números grandes podem conduzir uma menor quantidade de acerto, em comparação aos problemas que envolvem números pequenos, pois trabalhar com números de contagem e possibilidade menores, pode ser mais fácil para a manipulação. Dessa forma, as autoras concluem, na pesquisa, que o “desenvolvimento do Raciocínio Combinatório ocorre em um longo período de tempo, influenciado por aspectos extraescolares, assim como também por vivências escolares, sejam elas relacionadas direta ou indiretamente às situações combinatórias” (PESSOA; BORBA, 2009, p. 251).

Outro trabalho de pesquisa é de autoria de Santana e Oliveira (2013), intitulado: “O desempenho de estudantes do ensino médio em situações-problema de análise combinatória”, que utilizaram, como marco teórico, a Teoria dos Campos Conceituais, mais especificamente, o campo conceitual multiplicativo, buscando analisar o desempenho de estudantes do 2º ano do Ensino Médio em resolver situações-problema de análise combinatória. Esse trabalho está inserido no corpo de uma pesquisa mais ampla, intitulada: “O Raciocínio Combinatório:

42,3

10,5

2,5 5,2

68,9

32,1

20,4

11,4 81,2

43,1 38,4

12,2 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Produto Cartesiano Arranjo Permutação Combinação

% média de acerto

EFI EFII EM

34 quando e como se revela e se desenvolve esse raciocínio nos estudantes da Educação Básica?”, desenvolvido a partir das considerações do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática, Estatística e em Ciências (GPEMEC). A pesquisa, de caráter descritivo, ao desenvolver os seus procedimentos metodológicos, aplicou um instrumento diagnóstico, contendo cinco situações: uma de permutação e quatro de produto cartesiano, com 42 estudantes do 2º ano do Ensino Médio. Na análise dos dados, as autoras apresentam a Figura 2.4, mostrando o percentual de erro e acerto dos 42 estudantes do Ensino Médio.

Figura 2.4 - Desempenho dos estudantes do 2º ano do Ensino Médio

Fonte: Santana e Oliveira (2013, p. 2100).

A partir da análise dos dados, as autoras concluem que os estudantes “não apresentaram competências ao trabalhar com conceitos de análise combinatória, pois tiveram baixo desempenho ao solucionar tais situações” (SANTANA; OLIVEIRA, 2013, p. 2100).

Em suas considerações, as autoras conjecturam que os conceitos de Análise Combinatória, mesmo sendo previstos para serem formalizados no 2º ano do Ensino Médio, os estudantes apresentam um desempenho insatisfatório ao resolver situações-problemas deste conceito.

As autoras também externam preocupação da “ [...] necessidade de se pensar sobre o fazer da escola” (SANTANA; OLIVEIRA, 2013, p. 2101), contribuindo com as reflexões sobre a relação entre o desempenho dos estudantes e o papel da escola, permitindo, também pensar além da escola, com suas possíveis maneiras de inserir esse conceito de forma significativa.

Oliveira e Santana (2013), também analisam os esquemas utilizados pelos estudantes do 2º ano do Ensino Médio, com 42 alunos, utilizando a mesma base de dados do trabalho de Santana de Oliveira (2013). A partir da análise dos dados no trabalho intitulado “Análise combinatória: esquemas de estudantes do 2º ano do ensino médio, a partir de situações- problema”, as pesquisadoras puderam perceber que os estudantes apresentavam três tipos de

35 esquemas ao resolver as situações-problemas de Análise Combinatória, a saber:

Representação Pictórica, Operação e Cálculo Mental, como pode ser observado na Tabela 2.1.

Tabela 2.1- Distribuição dos esquemas na solução de situações problema de Análise Combinatória

Tipo de esquema Frequência %

Representação pictórica 66 30

Operação 48 22

Cálculo mental 101 48

Total 215 100

Fonte: Adaptado de Oliveira e Santana (2013).

Ao analisar os dados, as autoras apontam que a maioria dos estudantes não registraram seus esquemas de resolução para as situações-problema, por apresentarem, com maior frequência, os esquemas tidos como Cálculo Mental. Em suas considerações finais, as autoras apontam que devemos aproveitar não só a utilização de algoritmos, por estudantes, mas também, estimulá-los a expressar o raciocínio com relação a esse tipo de conceito, adquirindo autonomia dos esquemas. Portanto, finalizam apontando que os estudantes do 2º ano do Ensino Médio não possuem domínio sobre os conceitos de Análise Combinatória.

O trabalho de pesquisa “O raciocínio combinatório revelado ao longo da educação básica”, de Santana e Oliveira (2015), teve o intuito identificar e classificar os raciocínios revelados por estudantes no final de ciclo do Ensino Fundamental (3º, 5º, 7º e 9º anos) e do 2º ano do Ensino Médio, ao resolverem situações-problema que envolviam conceitos de Análise Combinatória. A pesquisa foi embasada na Teoria dos Campos Conceituais, no qual as autoras fizeram relação de elementos da teoria com os esquemas implícitos e explícitos dos estudantes ao resolverem situações de Análise Combinatórias. Além disso, buscaram subsídios nos estudos de Piaget e Inhelder (1951) para caracterizar o Raciocínio Combinatório dos estudantes. Deste modo, as autoras referem-se ao Raciocínio Combinatório como sendo o

“encadeamento de pensamentos que nos possibilitam analisar estruturas e relações discretas relacionadas a conjuntos finitos” (SANTANA, OLIVEIRA, 2015, p. 34).

A pesquisa se caracterizou com uma abordagem metodológica descritiva e qualitativa.

Para tanto, foi dividida em duas fases. A primeira fase constou da elaboração e aplicação do instrumento diagnóstico, composto por cinco situações-problema de Análise Combinatória, sendo duas de produto cartesiano, uma de combinação, uma de arranjo e outra de permutação;

36 aplicado a 577 estudantes de três escolas públicas do Sul da Bahia. A segunda fase constou de uma entrevista semi-estruturada com os estudantes.

A realização dessas duas fases metodológicas possibilitou as pesquisadoras analisar os esquemas dos estudantes, permitindo sua classificação em três níveis de Raciocínio Combinatório: Ausência de raciocínio (R1), Indício de raciocínio (R2) e Presença de raciocínio (R3). A pesquisa constatou que o raciocínio combinatório não é desenvolvido no Ensino Fundamental, mas apenas no Ensino Médio, mesmo assim, com desempenho pouco satisfatório, como pode ser visto na Figura 2.5.

Figura 2.5 – Desempenho dos estudantes no raciocínio combinatório na educação Básica

Fonte: Adaptado de Santana e Oliveira (2015).

A partir da análise dos dados, as autoras consideram que:

[...] durante o Ensino Fundamental o raciocínio combinatório não se revela como um domínio evidente, mas começa-se a ter indícios desse raciocínio nos anos intermediários e, apenas no 2º ano do Ensino do Médio que se evidencia este raciocínio, ou seja, a evolução do raciocínio combinatório parece acompanhar o avanço nos anos escolares (SANTANA; OLIVEIRA, 2015, p. 52).

As autoras ainda sugerem que:

[...] sejam feitas inserções na formação inicial e na formação continuada de professores de modo a instigar reflexões sobre o desenvolvimento do raciocínio combinatório, indo para além da aplicação de fórmulas e algoritmos, buscando metodologias e práticas pedagógicas que possibilitem confrontar o estudante com situações que favoreçam se pensar matematicamente a respeito da contagem de elementos de conjuntos finitos (SANTANA; OLIVEIRA, p. 22-23, 2015).

3º ano EF 5º ano EF 7º ano EF 9º ano EF 2º ano EM

R3 1,0 1,2 5,9 6,7 29,3

R2 1,0 2,3 11,0 19,8 44,0

R1 92,6 76,7 75,0 68,9 24,2

Em branco 5,5 19,8 8,1 4,6 2,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

%

37 Os trabalhos citados mostraram que, atualmente, existe uma grande lacuna em relação a aprendizagem do conceito de Análise Combinatória dos estudantes em todos os níveis de escolaridade, e que os estudantes, ao longo da educação básica se enquadram em três níveis:

1, 2 e 3 de raciocínio combinatório: 1) ausência de raciocínio (R1), 2) indícios de raciocínio (R2) e 3) a presença de raciocínio (R3), pelos quais Santana e Oliveira (2015) identificaram

“que ao final de cada ciclo, elencado dentro da Educação Básica, esses níveis são percentualmente ampliados (de R1 para R3), mas não de maneira satisfatória” (SANTANA;

OLIVEIRA, 2015, p. 53).

Além disso, os trabalhos indicaram que estudantes do Ensino Fundamental, mesmo sem terem visto o conceito de Análise Combinatória, em seu percurso escolar, conseguem resolver algumas situações que abordem conceitos de Análise Combinatória. Deste modo, é possível perceber a preocupação das autoras quanto as possibilidades de intervenção no ensino/aprendizagem de Análise Combinatória, devido ao baixo nível em que se encontram os estudantes em relação ao Raciocínio Combinatório.

É nessa perspectiva que esta pesquisa vem investigar uma possível forma de intervenção de ensino baseada em princípios da Criatividade Matemática para auxiliar na aprendizagem de conceitos de Análise Combinatória, como os de arranjo e permutação.

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