CAPÍTULO V ANÁLISE
5.2 Análise do Estudo II
5.2.3 Análise do Pós-teste do Estudo II
109 A pesquisadora questionou mais quatro estudantes a respeito da resolução do problema, de forma que todos disseram que pescaram. No entanto, o estudante E12 começou a falar:
E12: Eu usei o Princípio Fundamental da Contagem e... se eu escolhe um estado ia sobrar só oito, depois ia sobrar só sete, depois seis e assim sucessivamente.
Pesquisadora: Na primeira colocação porque nove?
E12: Porque são nove estados!
Pesquisadora: E na segunda por que oito?
E12: Porque na anterior escolhemos um e sobrou oito.
Depois de ter discutido sobre as resoluções a pesquisadora argumentou:
Pesquisadora: Fiquei preocupada por que alguns falaram que pescou!
E10: Todo mundo sabe professora só não queria fazer!
A partir da fala do Estudante E10, não se sabe o motivo pelo qual a maioria dos estudantes colaram, ao qual não foi possível inferir se eles não sabiam ou não queria resolver os problemas devido à falta de motivação.
No sexto encontro ocorreu a aplicação do pós-teste, no qual será feita a apresentação e análise na sessão seguinte.
110 A fala do estudante E6 deixou a entender que os estudantes não tiveram dificuldades em compreender o que seria resolver um problema de maneiras diferentes. A Figura 5.30 mostra a distribuição das resoluções do pós-teste que foram apresentadas pelos 20 estudantes, nos seis problemas, de acordo com o nível de Raciocínio Combinatório. Se observa, na figura abaixo, que não houve diferença considerável na quantidade de níveis de raciocínio apresentado pelos estudantes.
Figura 5.30 – Distribuição das resoluções segundo os níveis de Raciocínio Combinatório do pós-teste no Estudo II
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Baseado no nível de complexidade dos problemas de Permutação, com 𝑃3 < 𝑃4 < 𝑃1 e os problemas de Arranjo com 𝑃6 < 𝑃5 < 𝑃2 , como relatado na Seção 5.13 deste capítulo, apresenta-se na Figura 5.31 o panorama do Raciocínio Combinatório por conceitos de Permutação e Arranjo, da esquerda para direita, respectivamente.
Nessa figura observa-se que em todos os problemas já se nota a Presença de Raciocínio (R3), em especial nos problemas P4, P3 e P2. Já o Problema P2 é o que apresenta maior incidência de ausência de raciocínio.
32,5 38,3
29,2
0 20 40 60 80 100
R1 R2 R3
111 Figura 5.31 - Distribuição dos níveis de Raciocínio Combinatório por problema, no pós-teste, no Estudo II
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Em relação aos problemas de Permutação, P3 foi o problema de menor complexidade, trazendo resultados em que o nível de dificuldade, os estudantes trataram-no como o de grau intermediário P4 < P3 < P1. Em todas as respostas classificadas com Presença de Raciocínio (R3), pelo menos uma categoria foi tida como Princípio Fundamental da Contagem ou Fórmula de Permutação, pelo qual ambas se completam e possuem princípios multiplicativos semelhantes. Assim, como no Estudo I, por se tratar de um problema cujo enunciado apresentou número maior que os demais, constata-se que isso pode ter favorecido na resolução do problema, com a escolha do Princípio Fundamental da Contagem ou da Fórmula de Permutação.
Nos problemas de Arranjo, P2 foi o problema em que os estudantes demonstraram pior desenvolvimento do raciocínio. Além disso, o nível de dificuldade de P5 e P6 se igualaram no pós-teste, o que demonstra níveis de dificuldades semelhantes em tais problemas. Com isso, os estudantes apresentaram raciocínios em que o nível de dificuldade comportou-se da seguinte forma, em relação aos problemas de Arranjo: 𝑃2 < 𝑃6 = 𝑃5.
Dos problemas de Arranjo, em todos os estudantes que tiveram Presença de Raciocínio, também se notou pelo menos uma categoria tida como Princípio Fundamental da Contagem na resolução. Novamente, o processo de começar a sequência de ensino explorando o Princípio Fundamental da Contagem pode ter influenciado os estudantes a encontrarem a melhor maneira de resolver o problema Arranjo, de maior complexidade.
Ao analisar as formas apresentadas pelos estudantes nas resoluções do pós-teste, foram identificadas sete categorias estratégicas de resoluções diferentes, a saber: Fórmula de
P1-Perm P3-Perm P4-Perm P2-Arr P5-Arr P6-Arr
R3 - Presença 15 40 45 35 20 20
R2 - Indicío 60 30 25 10 60 45
R1 - Ausência 25 30 30 55 20 35
0 20 40 60 80 100
%
112 Permutação, Fórmula de Arranjo, Princípio Fundamental da Contagem, Lista, Árvore de Possibilidade, Língua Materna, Outros e Diagrama.
De modo geral, a Tabela 5.7 apresenta um panorama de como os estudantes evidenciaram suas formas de resoluções a partir das categorias classificadas. Nessa tabela, verifica-se também que a forma de resolução mais usada pelos estudantes foi a que é categorizada como Lista e a menos usadas foi a Árvore de possibilidade. Vale ressaltar, além disso, que dentre as formas categorizadas, não foi observado os erros e acertos, mais sim o tipo de forma utilizada.
Tabela 5.7 - Distribuição das formas de resolução em categoria por problema no pós-teste do Estudo II
Categoria P1 P2 P3 P4 P5 P6 Total
Fórmula de Permutação 4 2 6 10 1 2 24
Fórmula de Arranjo 2 1 2 4 3 2 14
Princípio Fundamental da C. 3 5 2 4 7 7 28
Lista 8 4 6 7 14 13 52
Arvore de Possibilidade 0 0 0 1 0 0 1
Língua Materna 1 0 0 3 0 0 4
Outros 2 6 5 1 0 1 15
Diagrama 0 4 0 1 2 2 9
Total 20 21 21 31 27 27 147
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Ao observar as resoluções dos estudantes e suas categorias dadas para as formas por problema, apresenta-se, na Tabela 5.8, a distribuição das dimensões da Criatividade (Fluência, Flexibilidade e Originalidade) dos estudantes. Essas dimensões se relacionam com as resoluções dos problemas feitas pelos estudantes, segundo o número de acertos. Vale ressaltar, também, que só foram consideradas as resoluções de 20 dos 25 estudantes.
A Tabela 5.8 mostra que os estudantes tiveram 35 acertos dos 120 possíveis, sendo que dentre os estudantes que elaboraram resoluções corretas, somente o Estudante E9 obteve um acerto. Além disso, cinco estudantes, dentre os dez que obtiveram acerto, não foram capazes de demonstrar capacidade referente às dimensões da Criatividade.
113 Tabela 5.8 - Distribuição das dimensões da Criatividade dos estudantes segundo o número de acertos, por
problema, no pós-teste, no Estudo II Estudante Nº de
acertos
Dimensões da criatividade
Fluência Flexibilidade Originalidade
E4 2 0 0 0
E8 3 0 0 0
E9 1 P3 P3 P3
E11 6 P1 á P6 P1 á P6 0
E12 2 0 0 0
E13 4 0 0 0
E16 2 0 0 0
E18 6 P1, P2, P3, P4 e P6 P1, P2, P3, P4 e P6 P6 e P5
E21 6 P1 á P6 P1 á P6 0
E24 3 P3 e P4 P3 e P4 P4
Total 35
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
5.1.4 Síntese da Análise do Pré-teste e o Pós-teste
A Figura 5.32 apresenta o percentual de acerto, por problema, dos 20 estudantes no pré-teste e no pós-teste. Cada problema foi analisado conforme a categoria de resposta correta pontuada com 1,0 ponto, compatível com o nível de raciocínio Presença de Raciocínio (R3) Combinatório.
Figura 5.32 – Percentual de acerto por problema do pré-teste e pós-teste, no Estudo II
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Conforme explicita a Figura 5.32, nota-se que os estudantes não obtiveram êxito ao resolver os problemas apresentados no pré-teste, sendo que apenas 2 dos 20 estudantes
P1-Perm P2-Arr P3-Perm P4-Perm P5-Arr P6-Arr
Pré 0,00 0,00 10,00 0,00 0,00 10,00
Pós 15,00 35,00 40,00 45,00 20,00 20,00
0 20 40 60 80 100
Taxa de acerto (%)
Pré Pós
114 conseguiram acertar P3 e P6. Porém, mesmo sendo motivados a resolverem os problemas do pré-teste de diversas maneiras, com a possibilidade de evidenciar capacidades criativas ou até mesmo demonstrar seus conhecimentos adquiridos ao longo da escola básica, assim como indicam nas pesquisas de Pessoa (2009), Santana e Oliveira (2015), os estudantes não conseguiram ter nível alto de acerto.
Dessa forma, supõe-se que o baixo desempenho no pré-teste se deu por motivo de que os processos escolares talvez tenham deixado de mostrar e explicar tal conceito para os estudantes em níveis de ensino anteriores, ou pelo motivo de que os estudantes não tenham sido motivados o suficiente para a realização de tal atividade. No entanto, ao resolverem os problemas do pós-teste, os estudantes já conseguem obter melhores desempenhos, porém, ainda não conseguem ultrapassar a média de 50% de acerto por questão, que se referem a 10 alunos com resoluções corretas. Assim, o problema de menor e maior acerto no pós-teste contemplava conceito de Permutação P1 e P4, respectivamente.
Porém, de modo geral, os estudantes tiveram menor ganho em P6, pois ao resolverem P6 obtiveram apenas 10% de avanço do pré-teste para o pós-teste, que foi o menor dentre os demais problemas de Análise Combinatória. No entanto, eles tiveram melhor ganho em P4, ao sair de 0% de acerto para 45%. Em P5 e P6, foi constatado que tiveram o mesmo percentual de acerto, embora o avanço de P5 foi maior, em até 50% a mais, que P6. Mesmo assim, é possível verificar, na Figura 5.32, que após a aplicação da sequência de ensino, que foi pautada na Criatividade Matemática, os estudantes conseguiram alcançar melhores níveis de acertos ao resolveram os mesmos problemas no pós-teste.
Tomando as categorias tidas com pontuação de 0,00 à 1,00, apresenta-se na Figura 5.33 a média dos estudantes em cada uma das questões, no pré-teste e no pós-teste. De forma geral, percebe-se que no pós-teste os estudantes obtiveram suas pontuações concentradas mais próximos da média, uma vez que neste os estudantes tiveram uma média de pontuação maior que no pré-teste. Assim sendo, tanto no pré-teste quanto no pós-teste, foi constatada uma média de pontuação abaixo do esperando; no entanto, é importante ressaltar que os estudantes, ao resolverem o pós-teste, ainda conseguiram superar as médias obtidas no pré-teste.
Isso significa que, em média, as formas que foram desenvolvidas e aplicadas pelos estudantes e obtidas no pré-teste foram identificadas do nível primário ao intermediário (Ausência e Indícios de raciocínios, respectivamente). Já no pós-teste, foram identificadas o nível de Raciocínio Combinatório intermediário.
115 Além disso, é importante salientar que a pontuação total que um estudante poderia obter em cada teste variava de 0 a 6. O desempenho dos estudantes no pré-teste foi de 1,45 e no pós-teste foi de 2,49, um ponto a mais quando comparado com o pré-teste. Esta diferença foi significativa conforme o teste t-student para amostras emparelhadas (t(19) = -2,82400; p = 0,011), conforme Tabela 5.9 e Figura 5.34.
Figura 5 33 – Média da pontuação dos estudantes no Pré-teste e Pós-teste do Estudo II
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Tabela 5.9 - Estatísticas do desempenho dos estudantes no pré-teste e pós-teste, no Estudo II Teste
Estatísticas Teste t-student
Nº de
Estudantes Mínimo Máximo Média Desvio
Padrão t(19) p-valor
Pré 20 0,00 3,25 1,4500 0,89074
-2,82400 0,011
Pós 20 0,00 6,00 2,4875 1,97430
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.34 – Distribuição do desempenho dos estudantes no pré-teste e pós-teste do Estudo II
Q1-Perm Q2-Arr Q3-Perm Q4-Perm Q5-Arr Q6-Arr
Pré 0,20 0,11 0,35 0,18 0,20 0,41
Pós 0,31 0,38 0,51 0,51 0,38 0,40
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Pontuação (0 a 1)
Pré Pós
116 Fonte: Dados da pesquisa (2016).
Analisando a correlação entre o desempenho no pós-teste com o do pré-teste, apresentado na Figura 5.35, verifica-se uma relação moderada (r = 0,566; p = 0,009), explicada principalmente pelo fato de que alguns estudantes não conseguiram superar o seu baixo desempenho do pré-teste (canto inferior esquerdo), o que evidencia também que alguns estudantes não se beneficiaram da sequência trabalhada. Além disso, nota-se que apenas seis estudantes conseguiram superar seus desempenhos no pré-teste.
Figura 5.35 – Relação entre o desempenho do pré-teste e pós-teste do Estudo II
Fonte: Dados da pesquisa (2016).
y = 1,2554x + 0,6672 R² = 0,3208 0
1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Pós-teste (0 a 6)
Pré-teste (0 a 6)
Y = X Linear (Pós)
117 Com isso, após a aplicação da sequência de ensino que foi pautada na Criatividade Matemática, pode-se observar que houve ganho estatisticamente significativo, porém não foi tão substancial quanto o encontrado no Estudo I.
118
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o objetivo de analisar as contribuições que uma sequência de ensino construída na perspectiva da Criatividade Matemática pode trazer para o desenvolvimento do raciocínio combinatório em estudantes do 2º ano do Ensino Médio, foi realizada uma pesquisa quase experimental do tipo Grupo único, comparando resultados de “antes“ e “depois”, que foram replicados em dois estudos. Nesse interim, o processo de análise envolveu estudantes de duas turmas do 2º ano do Ensino Médio, que inicialmente responderam um pré-teste e em seguida foram submetidos a uma intervenção. Essa intervenção se efetivou por meio da utilização de uma sequência de ensino baseada na perspectiva da Criatividade Matemática, que se fundamentou nos conceitos de Arranjo e Permutação, tendo como última etapa a aplicação do pós-teste.
Para atingir o objetivo da pesquisa, alguns caminhos foram percorridos, a começar pelas considerações iniciais, na qual as motivações pessoais para o estudo foram descritas. Em seguida, elaboramos o Capítulo I, que aborda os motivos pelos quais optamos por empreender esta pesquisa de acordo com a literatura, relatando a importância de trabalhar com os conceitos de Análise Combinatória e sua necessidade, bem como apresentamos o objetivo e a questão de pesquisa que nos fez delinear todo o percuso investigativo.
Prospectivamente, no segundo capítulo descrevemos nosso objeto matemático de estudo, trazendo um pouco de sua história e a definição abordada por alguns autores sobre os conceitos de arranjo e permutação, além de uma revisão de literatura, para que pudéssemos reforçar e expor os conceitos matemáticos em estudo. No terceiro capítulo, foi apresentado o quadro teórico referente à Criatividade Matemática, pelo qual nos orientou quanto a produção dos métodos utilizados na elaboração da pesquisa.
De forma linear, no quarto capítulo descrevemos o percurso metodológico que trilhamos para a realização dessa pesquisa, mostrando as características dos testes (pré-teste e pós-teste), a sequência de ensino utilizada na intervenção, bem como a criação de categorias analíticas dos resultados interventivos. No quinto capítulo foi desenvolvido e descrito a análise dos dados obtidos por meio dos dois estudos realizados na pesquisa, mostrando os
119 principais dados adquiridos com a aplicação de uma sequência de ensino voltada para o desenvolvimento da Criatividade Matemática.
A análise dos dois estudos foi de grande importância para nos ajudar a responder a questão de pesquisa. Dessa forma, a partir das análises iremos descrever os principais resultados do Estudo I e II, conforme Quadro 6.1.
Quadro 6.1: Principais resultados do Estudo I e II
Resultado Estudo I Estudo II
1º Os estudantes conseguiram elaborar um leque de formas de resoluções mais diversificado no pós- teste do que no pré-teste, tornando-se mais fluentes e flexíveis.
2º Após a aplicação da sequência de ensino, os estudantes conseguiram alcançar melhores níveis de raciocínios combinatórios.
3º Após a aplicação da sequência de ensino, os estudantes conseguiram alcançar melhores desempenhos.
4º
Estatisticamente, os resultados dos pós-teste, em relação ao pré-teste, foram significativos e o ganho foi satisfatório.
Estatisticamente, os resultados dos pós-teste, em relação ao pré-teste, foram significativos, porém o ganho não foi substancial.
5º
Tanto no pré-teste quanto no pós-teste, os estudantes apresentaram menores evidências de Criatividade Matemática em problemas que envolviam maior número de elementos para permutar ou arranjar, enquanto que nos problemas que possuíam menores quantidades de elementos, eles apresentaram maiores evidências.
No pré-teste não houve evidência de capacidades criativas. Nessa etapa, poucos estudantes se mostraram fluentes e flexíveis, porém isso não ficou evidente quanto aos problemas que apresentavam maior e menor número de elementos para permutar ou arranjar.
6º
Tanto nos problemas de Arranjo quanto de Permutação, os estudantes apresentaram resultados semelhantes em relação à troca de nível de complexidade dos problemas com: 𝑃3 < 𝑃4 < 𝑃1 e 𝑃6 < 𝑃5 < 𝑃2 no teste e os estudantes apresentaram: 𝑃1 < 𝑃3 < 𝑃4 e 𝑃2 < 𝑃6 < 𝑃5.
Em relação ao nível de complexidade, de acordo com a ordem de grandeza dos problemas de permutação, os estudantes trocaram o nível de dificuldade entre P3 e P4. P4 era mais complexa do que P3 e passou a ser mais fácil.
Ou seja, os níveis de dificuldades estavam postos com 𝑃3 < 𝑃4 < 𝑃1, no pós-teste os estudantes apresentaram P4 < P3 < P1. Em relação ao nível de complexidade, de acordo com a ordem de grandeza dos problemas de arranjo, os estudantes trocaram o nível de dificuldade entre P2, sendo que era o problema mais difícil dentre os três e passou, progressivamente, a ser o mais fácil. Ou seja, os níveis de dificuldades estavam postos com 𝑃6 < 𝑃5 < 𝑃2, no pós-teste os estudantes apresentaram: 𝑃2 < 𝑃6 = 𝑃5.
Fonte: Elaborado pelas autoras.
A partir de agora descreveremos a nossa expectativa com relação a cada resultado, conforme numerado no Quadro 6.1:
O primeiro, segundo e terceiro resultados foram esperados, pois a pesquisa de Pinheiro (2012) mostra que estudantes podem demonstrar grande empenho, interesse e motivação ao
120 utilizar resoluções de problemas que se adequava nos padrões da Criatividade Matemática, o que pode favorecer o avanço satisfatório dos mesmos;
Em relação ao quarto resultado, apesar de não ter sido observado ganhos substanciais no Estudo II, verifica-se níveis de desempenho. Já em relação ao quinto, o resultado do Estudo II não foi esperado com relação ao pré-teste, pois acreditávamos que, da mesma maneira que no Estudo I, alguns estudantes seriam capazes de demonstrar algumas evidências de capacidades criativas. Com relação ao pós-teste, no que se refere aos problemas que envolveram a ordem de grandeza menor, seria possível criar formas próprias, alternativas e diferentes com maior facilidade;
No que diz respeito ao sexto resultado, esse não foi esperado para os dois estudos, já que em outras pesquisas, como a de Pessoa (2009), os estudantes apresentaram resultados correspondestes à ordem de grandeza dos problemas.
Respondendo a questão de pesquisa
Nossa questão de pesquisa era: Quais as possíveis contribuições que uma sequência de ensino construída na perspectiva da Criatividade Matemática pode trazer para o desenvolvimento do raciocínio combinatório de estudantes do Ensino Médio?
Baseando-nos na análise dos dados elaborada no capítulo anterior, e também nas sínteses feitas nesta seção, podemos afirmar, com grau razoável de certeza, que nossa sequência de ensino construída a partir da perspectiva da Criatividade Matemática trouxe contribuições positivas para o desenvolvimento do raciocínio combinatório dos estudantes envolvidos. Nesse sentido, foi possível verificar que:
1) Alguns estudantes apresentam maior quantidade de resoluções que demonstram ter Presença de Raciocínio (R3), enquanto que a Ausência (R1) e Indício (R2) se apresentam com menores percentuais, levando em consideração contextos diferentes;
2) Os estudantes trocam de nível de complexidade dos problemas de arranjo e permutação ao lidar com múltiplas resoluções de problemas;
3) Os estudantes se tornam mais fluentes e flexíveis paralelamente ao mostrarem ter Presença de Raciocínio (R3);
4) Mesmo nos casos em que a Presença de Raciocínio (R3) é menos evidenciada do que a Ausência (R1) e Indício (R2), os estudantes se apresentam com melhor desempenho.
121 Vale ressaltar que temos a consciência de que a nossa pesquisa não é generalista ao ponto de nos permitir concluir além de nossa amostra. Além disso, a partir dessa pesquisa, nota-se que trabalhar conceitos de Análise Combinatória usando os princípios da criatividade é um caminho possível para auxiliar na aprendizagem de estudantes. Dessa forma, acreditamos que a criatividade pode contribuir com investigações acerca da aprendizagem deste tipo de conhecimentos. Por isso, serão elencadas algumas sugestões para pesquisa futuras, haja vista que tivemos o desejo de fazer outras investigações a respeito do tema envolvido, no qual não nos foi possível desenvolver aqui.
Sugestões para pesquisas futuras
Ao pesquisar os trabalhos existentes nessa área, verificamos que, no Brasil, não existem trabalhos que tratam de conceitos da Análise Combinatória que abordem o ponto de vista da Criatividade Matemática para o contexto da sala de aula, bem como são poucos os trabalhos que envolvem a criatividade na educação matemática, tal qual os trabalhos de Gontijo (2007). Dessa forma, acreditamos que novas pesquisas sejam desenvolvidas no futuro, tanto para explorar sobre os princípios da criatividade quanto para tentar buscar caminhos possíveis para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos.
Assim, fizemos uma intervenção de ensino para que pudéssemos aplicar a sequência de ensino, tentando construir uma interação com os sujeitos envolvidos. Sendo assim, percebemos a necessidade de existir novas pesquisas que possam discutir sobre o processo de interação entre o professor e o estudante, no intuito de averiguar como se efetiva essa interação, partindo da base dos princípios da Criatividade Matemática no contexto da sala de aula.
Outra questão que sentimos a necessidade de ter discutido foi a de pensar na Criatividade Matemática do ponto de vista da elaboração de problemas envolvendo conceitos de Análise Combinatória. Como os estudantes elaboram seus problemas a partir de estudos relacionados à criatividade? Quais conceitos de Análise Combinatória podem ser mais elencados na elaboração de problemas por estudantes da Educação básica?
Nesse sentido, a partir das elucidações explicitadas, esperamos que novas alternativas sejam pensadas, a fim de alcançarmos o propósito de levar melhorias para o ensino e aprendizagem de matemática em relação à análise combinatória.
122 REFERÊNCIA
BOGDAN, R. C; BIKLEN, S. R. Investigação Qualitativa em Educação. Porto Editora LDA, PoptoCodex - Portugal, 1991.
BORBA, Rute E. S. R.; e AZEVEDO, Juliana. A construção de árvores de possibilidades com recurso computacional: o desenvolvimento do raciocínio combinatório de Karine e Vitória. In: A Pesquisa em Psicologia e suas implicações para a Educação Matemática. Org.
SPINILLO, Alina Galvão e LAUTERT, SíntriaLabres. Recife: Ed.Universitária da UFPE, 2012. pp. 89-138.
BORBA, Rute Elizabete S. Rosa; e AZEVEDO, Juliana. A construção de árvores de possibilidades com recurso computacional: o desenvolvimento do raciocínio
combinatório de Karine e Vitória. In: A Pesquisa em Psicologia e suas implicações para a Educação Matemática. Org. SPINILLO, Alina Galvão e LAUTERT, Síntria Labres. Recife:
Ed. Universitária da UFPE, 2012. pp. 89-138.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio; Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais; Brasília - 2000.
______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio. Parte I- bases legais; Brasília - 2000.
CONWAY, K. Assessing Open-Ended Problems. Mathematics Teaching in the Middle School, 4, 510-514, Maio de 1999.
D‟Ambrósio, U. Etnomatemática: Elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte:
Autêntica, 2011.
FERRREIRA, Aurélio. Dicionário On-line da Língua Portuguesa. Disponível em:
<https://dicionariodoaurelio.com/criatividade>. Acesso em 19 Ago. 2016.
GONTIJO, Cleyton Hércules. Relações entre a criatividade, criatividade em matemática e motivação em matemática de alunos do ensino médio. Brasília – DF, 2007. Tese de
doutoramento apresentada a Universidade de Brasília – Instituto de Psicologia.
______. Técnicas de criatividade para estimular o pensamento matemático. Revista
Educação e Matemática; Revista da associação de professores de matemática, Portugal, 135, Novembro e Dezembro, p. 16-20, 2015.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: Combinatória e
Probabilidade. Coleção Fundamentos de matemática elementar; 8ª edição, volume 5, São Paulo, Editora Atual, 2013.