CAPÍTULO IV METODOLOGIA
4.3 Os instrumentos e procedimentos
4.3.1 Pré-teste
A primeira fase foi composta pela aplicação do pré-teste (ver Anexo I). O objetivo dessa fase foi medir inicialmente o raciocínio combinatório adquirido em níveis de ensino anteriores dos estudantes do Estudo I e II.
Para a elaboração do pré-teste utilizamos problemas do instrumento diagnóstico elaborado por Pinheiro15 (2015), especificamente três problemas de Arranjo e três de Permutação, nomeados como P1, P2, P3, P4, P5 e P6. É importante ressaltar que a escolha dos problemas foi aleatória para compor essa ordem.
No Quadro 4.1 apresentamos como os problemas foram classificados, segundo seus respectivos conceitos de Análise Combinatória, de acordo com o que foi visto no Capítulo II desta pesquisa sobre a ordem de grandeza preconizada por Pessoa (2009).
Quadro 4.1 – Classificação dos Problemas por conceito e pela ordem de grandeza Problema Conceito de Análise
Combinatória
Elementos Relação da ordem de grandeza
P1 Permutação 7
Permutação P3 < P4 < P1
Arranjo P6 < P5 <P2
P2 Arranjo 7 elementos de classe 3
P3 Permutação 4
P4 Permutação 5
P5 Arranjo 4 elementos de classe 3
P6 Arranjo 4 elementos de classe 2
Fonte: Elaborado pelas autoras.
15PINHEIRO, Taianá Silva. As estratégias desenvolvidas por estudantes do 2º ano do ensino médio, antes e depois de ter estudado, em ambiente escolar, o conteúdo de análise combinatória. Anais do XVIII EBRAPEM, GD n° 12, Universidade Federal de Juiz de Fora - MG, 2015.
59 Todos os problemas do teste “foram elaborados a partir de situações contextualizadas (contextos matemáticos ou não) que permitiram ao estudante, a associação do conteúdo que perpassa o ambiente escolar” (PINHEIRO, 2016, p. 61), indicando que não foram elaborados de maneira a pensar nas condições de serem abertos ou não, conforme os problemas requisitados pela Criatividade. Porém, pautados nas dimensões da Criatividade Matemática iremos apresentar algumas das possíveis resoluções que os estudantes poderiam apresentar ao respondê-los.
Conforme discutido no Capítulo III desta pesquisa, para que as resoluções sejam caracterizadas como fluentes (identificando pelo menos duas resoluções usando uma mesma forma) e flexíveis (observando resoluções usando pelo menos duas formas, o que indica usar pelo menos dois pensamentos diferentes) é preciso que se elabore pelo menos duas maneiras de resolver o problema. Dessa maneira, foi necessário elencar as possíveis formas para cada problema, dispostas em colunas com relação a Fluência e a Flexibilidade. Em relação a originalidade, não pontuamos, pois este cabe a analisar as respostas elaboradas por um grupo de estudantes. É importante ressaltar que, assim como foi discutido no Capítulo IV desta pesquisa, que as possíveis formas de resoluções apresentadas nas duas colunas de cada quadro a seguir, conjuntamente são classificadas como fluente, ou seja, as que estão expostas na coluna da flexibilidade também pertencem a classe da fluência.
P1) Saussas é o nome de uma aldeia francesa. Quantos são os anagramas da palavra SAUSSAS? Desconsidere a repetição das letras e considere anagrama como uma nova “arrumação” das letras dessa palavra.
Esse problema de Permutação apresenta o conjunto básico {S, A, U, S, S, A, S}
formado por sete letras por se tratar dos anagramas da palavra SAUSSAS, a ordem importa, já que anagramas, como o próprio problema diz, é uma nova arrumação das letras dessa palavra.
Portanto, todos os possíveis subconjuntos terão a mesma quantidade de elementos do conjunto básico. O Quadro 4.2 apresenta as possíveis soluções do problema levando em conta as dimensões da Criatividade Matemática.
Quadro 4.2 – Possíveis soluções do problema P1, usando as dimensões da Criatividade matemática
Maneiras Fluência Flexibilidade
1ª 𝑃7 = 7! = 7x 6x5x4x3x2x1
= 5040 𝑃7 = 7! = 7x 6x5x4x3x2x1= 5040
60 Fonte: Elaborado pelas autoras.
As possíveis resoluções apresentadas mostram que P1, se caracteriza como um problema complexo por se tratar de sete elementos em um conjunto, o que dificulta a resolução usando diferentes formas de resolução como árvore de possibilidades e lista. Isso pode induzir o estudante a fazer o uso da fórmula de permutação ou o princípio fundamental da contagem para resolvê-lo.
P2) A diretoria de um clube é composta por 7 membros que podem ocupar o cargo de presidente, vice-presidente ou secretário. De quantas maneiras podemos formar, com esses membros, chapas que contenham presidente, vice-presidente e secretário?
Nessa situação, o conceito contemplado é de Arranjo, em que os membros do clube {m1, m2, m3, m4, m5, m6 e m7} formam o conjunto básico e as chapas (presidente, vice- presidente e secretário) formam os subconjuntos. Assim, o número de elementos do conjunto básico é maior que o número de elementos do subconjunto. No Quadro 4.3 apresentamos algumas possibilidades de resolução desse problema.
Quadro 4.3 - Possíveis soluções do problema P2, usando as dimensões da Criatividade Matemática
2ª 𝑃7 = 7! =
7x6x5x4x3x2x1 = 42x5x4x3x2x1 = 210x4x3x2x1 = 840x3x2x1=
2520x2x1 = 5040x1 = 5040
A palavra SAUSSAS possui sete letras, logo teremos sete lugares para serem ocupados pelas letras dependendo de cada escolha, sabendo que devemos fazer escolhas sucessivas de letras para cada lugar. Pelo Princípio Fundamental da Contagem 7x6x5x4x3x2 = 5040. Logo, temos 5040 anagramas da palavra SAUSSAS.
... ... ...
Maneiras Fluência Flexibilidade
1ª 𝐴𝑛,𝑝 = (𝑛−𝑝)!𝑛! = (7−3)!7! =
7!
4!=7𝑋6𝑋5𝑋4!
4! = 7 x 6 x 5 = 210
𝐴𝑛,𝑝 = (𝑛−𝑝)!𝑛! = (7−3)!7! = 7!4!=7𝑥6𝑥5𝑥4!4! = 7 x 6 x 5 = 210
2ª 𝐴7,3 = 7 x 6 x 5 = 210 1ª 2ª ... 6ª 1ª m1-m2-m3 m1-m3-m2 ... m1-m4-m2 2ª m1-m2-m4 m1-m3-m4 ... m1-m4-m3 3ª m1-m2-m5 m1-m3-m5 ... m1-m4-m5 4ª m1-m2-m6 m1-m3-m6 ... m1-m4-m6 5ª m1-m2- m7 m1-m3-m7 ... m1-m4-m7
Deste modo, podemos ter 30 possibilidades fixando um membro da
61
Fonte: Elaborado pelas autoras.
As possíveis resoluções apresentadas mostram que P2 também se caracteriza como um problema complexo, uma vez que, fazer 210 arranjos diferentes não é uma atividade fácil, dificultando as possibilidades dos estudantes manifestarem outros tipos de resolução, como o uso de árvore de possibilidades e lista. Porém, nesse caso, o estudante pode perceber a regularidade da disposição dos elementos e a partir desse ponto, generalizar e encontrar o resultado, como apresentado da segunda maneira da coluna de flexibilidade do Quadro 4.3.
P3) Quantos números de 4 algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos 2, 5, 6 e 8?
Assim como P1, esse problema trata-se do conceito de Permutação de Análise Combinatória, pelo qual apresenta o conjunto básico {2, 5, 6 e 8} com quatro elementos (algarismos), levando em conta a ordem dos elementos, pois estes tratam da formação de números, pois a cada combinação diferente, um novo número foi formado. A partir disso, todos os possíveis subconjuntos terão a mesma quantidade de elementos do conjunto básico.
O Quadro 4.4 apresenta as possíveis soluções desse problema na perspectiva da Criatividade Matemática.
As possíveis resoluções apresentadas no Quadro 4.4, mostram que P3 é menos complexa do que P1, por se tratar de um problema de permutação que possui apenas quatro elementos para permutar, tornando assim, mais fácil utilizar outras formas de resolução, que não envolva o uso de fórmula da permutação.
Quadro 4.4 - Possíveis soluções do problema P3, usando as dimensões da Criatividade Matemática chapa, pois 5 x 6 = 30. Logo, após fixar os outros seis membros cada um por vez, do mesmo jeito que fixamos o primeiro, teremos um total de 30x7, possibilidades de formar a chapa, ou seja, 210 possibilidades.
... ... ...
Maneiras Fluência Flexibilidade
1ª 2568 5268 .... 8256 2586 5286 .... 8265 2658 5628 .... 8625 2685 5682 .... 8652 2856 5862 .... 8562 2865 5826 .... 8526
Para permutar os números podemos fixar o primeiro algarismo do número, com a primeira possibilidade de escolha, e permutar os demais, contando um total de 24 números diferentes.
𝑷𝟒 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
2ª 2568 2856 6852 2658 2586 6582 5628 8256 8652 5268 8526 8562 6528 5826 5682 6258 5286 5862 8265 8625 6285 6825 2865 2685
𝐴𝑛,𝑝 = 𝐴𝑛,𝑛 = (𝑛 −𝑛)!𝑛! = (4−4)!4! =
4!
1!=4𝑥3𝑥2𝑥1! 0! = 4𝑋3𝑋2𝑋1!𝟏 = 4 x
62 Fonte: Elaborado pelas autoras.
P4) Foram selecionadas para uma entrevista 5 pessoas (André, Mateus, Joana, Carla e Bruna) que chegaram ao mesmo tempo à entrevista. De quantas maneiras diferentes, elas podem formar uma fila enquanto aguardam a sua vez?
P4 também é um problema de Permutação, pelo qual apresenta o conjunto básico formado por cinco pessoas {André, Mateus, Joana, Carla e Bruna}, que similar ao anterior, leva em consideração a ordem dos elementos, pois esses tratam da formação de uma fila de pessoas. Assim, como em P1 e P3 todos os possíveis subconjuntos terão a mesma quantidade de elementos do conjunto básico. Desse modo, apresentamos no Quadro 4.5 as possíveis soluções deste problema na perspectiva da Criatividade Matemática.
Quadro 4.5 - Possíveis soluções do problema P4, usando as dimensões da Criatividade matemática
Fonte: Elaborado pelas autoras.
As possíveis resoluções apresentadas no Quadro 4.5 mostram que P4 tem um nível de complexidade intermediário entre P1 e P3, pois apresenta cinco elementos de um conjunto para fazer permutações. Seguindo as ideias de Pessoa (2009) sobre a ordem de grandeza dos problemas, como discutido no Capítulo II, observamos que P1 possui sete elementos, P4 possui cinco elementos e P3 quatro elementos, o que faz com que o nível de dificuldade de 𝑃3 ≤ 𝑃4 ≤ 𝑃1, haja vista as diversas possibilidades que os estudantes da educação básica podem ter para resolver os problemas, na perspectiva da Criatividade Matemática.
P5) Quantas palavras de 3 letras distintas, com ou sem significado, podem ser formadas com as letras da palavra AMOR?
Podemos escrever um total de 24 números diferentes, permutando os algarismos para formar sempre números diferentes até esgotar as possibilidades, sem seguir uma ordem específica.
3 x 2 x 1 = 24
... ... ...
Maneiras Fluência Flexibilidade 1ª 𝑃𝑛 = 𝑃5 = 5! = 5 x 4
x 3 x 2 x 1= 120 𝐴5,5= 5−5 !5! =5!0!=5x4x3x2x11 = 5x4x3x2x1 = 120.
2ª 1 x 2 = 2 2x3 = 6 6x4 = 24 24 x 5 = 120
Considerando André = A, Mateus = M, Joana = J, Carla = C e Bruna = B:
AMJCB AJCBM ABMJC ABMCJ AJMCB ACJBM ABJMC ABCMJ ACJMB ABCJM AJBMC ACMBJ ACMJB ABJCM AJMBC ACBMJ AJCMB AJBCM AMJBC AMCBJ AMCJB ACBJM AMBJC AMBCJ
Logo, fixando uma pessoa no primeiro lugar da fila temos 24 possibilidades. Como temos cinco pessoas para formar a fila, então podemos fazer 24x5, obtendo 120 possibilidades de formar uma fila.
... ... ...
63 Essa situação contempla o conceito de Arranjo, em que a palavra AMOR com os quatros elementos A,M, O e R formam o conjunto básico e a formação de palavras distintas e sem significado com três letras formam os subconjuntos. Dessa forma, o número de elementos do conjunto básico é maior que o número de elementos do subconjunto. No Quadro 4.6, apresentamos algumas possibilidades de resolução baseado nas dimensões da Criatividade Matemática.
Quadro 4.6 - Possíveis soluções do problema P5, usando as dimensões da Criatividade Matemática
Fonte: Elaborado pelas autoras.
As possíveis resoluções apresentadas mostram que P5, se caracteriza como um problema menos complexo do que P2. Nessa perspectiva, fazer 24 arranjos diferentes torna-se mais fácil do que 210.
P6) Quantas palavras distintas de duas letras podem ser formadas a partir da palavra PANO?
Essa situação contempla o conceito de Arranjo, no qual a palavra PANO, forma o conjunto básico {P, A, N, O} e a formação de palavras distintas e sem significado com duas letras formam os subconjuntos, pelo qual a quantidade elementos do subconjunto é menor que do subconjunto (p< 𝑛). No Quadro 4.7, apresentamos algumas possibilidades de resolução baseado nas dimensões da Criatividade Matemática.
Quadro 4.7 - Possíveis soluções do problema P6, usando as dimensões da Criatividade Matemática
Maneiras Fluência Flexibilidade
1ª An,p = (n−p)!n! = (4−3)!4! =
4!
1!=4x3x2x1!1! = 4x3x2 = 24
𝐴𝑛,𝑝 = (𝑛−𝑝)!𝑛! = (4−3)!4! = 4!1!=4𝑥3𝑥2𝑥1!1! = 4x3x2x1 = 24
3ª A4,3= 4 x 3 x 2 = 24 O conjunto básico é formado por quatros letras, logo teremos quatro lugares para serem ocupadas por cada letra, dependendo de cada escolha, sabendo que devemos fazer escolhas sucessivas das letras A, M, O, R para cada lugar ocupar apenas três lugares. Temos que, Pelo Princípio Fundamental da Contagem 4 x 3 x 2 = 24. Logo temos 24possibilidades diferentes de formar palavras com três letras.
... ... ...
Maneiras Fluência Flexibilidade
64 Fonte: Elaborado pelas autoras.
As possíveis resoluções apresentadas, no Quadro 4.7, mostram que P5, se caracteriza como um problema menos complexo, do que P2, pois, fazer 24 arranjos diferentes torna-se mais fácil do que 210.
As diversas possibilidades que os estudantes da educação básica podem ter para resolver os problemas, na perspectiva da Criatividade Matemática, as possíveis resoluções apresentadas no Quadro 4.7 e o Quadro 4.1, mostram de acordo com Pessoa (2009) que P6 tem um nível menor de complexidade do que P2 e P5, pois apresenta apenas quatro elementos do conjunto para fazer Arranjos de dois desses elementos. Nessa direção, P2 possui sete elementos para fazer três arranjos deles, P5 possui quatro elementos para fazer três arranjos deles e P6 quatro elementos para fazer duas arranjos deles, o que faz com que o nível de complexidade seja 𝑃6 < 𝑃5 < 𝑃2.
Desse modo, mesmo que os problemas não acarretem características da Criatividade Matemática, esperamos que os estudantes possam, no despertar de sua Criatividade Matemática, e a partir da sequência de ensino, resolver os problemas do pré-teste e pós-teste de forma criativa.