Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA ITA 2016-2017 (ENUNCIADOS)

1) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com XY e XY. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : XY.

II. Existe uma função injetora g : YX.

III. O número de funções injetoras f : XY é igual ao número de funções sobrejetoras g : YX.

É(são) verdadeira(s)

a) nenhuma delas b) apenas I c) apenas III

d) apenas I e II e) todas

2) O número de soluções da equação 1 sec 1 cossec   0, com    , , é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3) Sejam a, b, c, d . Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que b c  

a, , , d 140

2 4  formem, nesta ordem, uma progressão aritmética.

Então, o valor de d b é

a) 140 b) 120 c) 0 d) 120 e) 140

4) O maior valor de tg x, com 1 3 x arc sen

2 5

   

  e x 0, , 2

 

    é a) 1

4 b) 1

3 c) 1

2 d) 2 e) 3

5) Considere a reta r : y2x. Seja A 3,3 o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

a) 9

5 b) 12

5 c) 18

5 d) 21

5 e) 24

5 6) Considere o sistema de equações

2 3

1 27 8 x y z 3

4 81 40

S 10

x y z

2 54 24 x y z 7

   



   



   



Se ^{x, y, z} é uma solução real de S, então x  y z é igual a

a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

(2)

7) O número de soluções inteiras da inequação 0x²3x²8x 2 é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) Sejam A1, 2,3, 4,5 e B      1, 2, 3, 4, 5 . Se ^C^^{x y : x}^ ^^{A e y}^^{B ,}

então o número de elementos de C é

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

9) Sejam S1



x, y ²: y x 1



e S2 



x, y ²: x²y 1 ² 25 .



A área da região S₁S₂ é

a) 25

4  2 b) 25

4  1 c) 25

4  d) 75

4  1 e) 75

4  2 10) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

I. log bc  log ac 

a b .

II.

d d d

log c log a log b

a b c

b c a 1.

      

     

      III. _log_ab _bc __{log c.}_a é (são) verdadeira(s)

a) apenas I b) apenas II c) apenas I e II

d) apenas II e III e) todas

11) Sejam

1 0 0

D 0 2 0

0 0 3

 

 

  

 

 

e

7 0 2 P 0 1 0 .

2 0 5

 

 

  

 

 

Considere AP DP.^¹ O valor de

 ² 

det A A é

a) 144 b) 180 c) 240 d) 324 e) 360

12) Considere dois círculos no primeiro quadrante:

• C com centro ₁ x , y , raio ₁ ₁ r e área ₁ . 16



• C com centro ₂ ^{x , y}₂ ₂^{, raio}r e área ₂ 144 .

Sabendo que x , y , r e 1 1 1 x , y , r2 2 2 são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7

4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C e ₁ C ₂ é igual a

a) 123

2 b) 129

2 c) 131

2 d) 135

2 e) 137

2 13) Das afirmações:

I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma

 

2k 1^ 2m 1 , em que k e m são inteiros positivos.

(3)

II. Existe um número x 0, 2

 

    de tal modo que os números a₁sen x,

a2 sen x ,

4

 

   

  a³ sen x

2

 

   

  e ₄ 3

a sen x

4

 

   

  estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.

III. Existe um número inteiro primo p tal que p é um número racional.

é (são) verdadeira(s)

a) apenas I b) apenas II c) apenas III

d) apenas I e II e) todas

14) Com os elementos 1, 2, ,10 são formadas todas as sequências a , a ,, a1 2 7. Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é

a) 7

7!

10 3! b)

7

10!

10 3! c)

7

3!

10 7! d)

3

10!

10 7! e)

7

10!

10

15) Considere a equação    

 

501

2 2 250

2 a bi

a bi .

a b 1

  

 

O número de pares ordenados

a, b ² que satisfazem a equação é

a) 500 b) 501 c) 502 d) 503 e) 504

16) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm ,² é

a) 3,36 b) 3,60 c) 4,20 d) 4,48 e) 6,72

17) Seis circunferência de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,

a) 18 3  b) 30 10  c) 18 6  d) 60 10  e) 36 6 

(4)

18) O lugar geométrico dos pontos a, b ² tais que a equação, em z ,

 

z2   z 2 a ib 0 possua uma raiz puramente imaginária é

a) uma circunferência. b) uma parábola. c) uma hipérbole.

d) uma reta. e) duas retas paralelas.

19) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro destes encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2

3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é

a) 120

160 b) 119

154 c) 110

144 d) 105

135 e) 119 144

20) Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo ACB e seja E um ponto do prolongamento de ˆ CD, na direção de D, tal que DBEˆ DCB.ˆ A medida, em cm, de CE é

a) ^{11 6}

3 b) ^{13 6}

3 c)^{17 6}

3 d) ^{20 6}

3 e) ^{25 6} 3

21) Considere as retas de equações r : y 2 xa e s : ybx c, em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por  0,1 e s, por

 2, 4 , determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x. 

22) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 4^{3x 1}^ 3 .^4x 23) Considere o polinômio p x x⁴ 1 2 3 x ³ 3 2 3 x ² 1 4 3 x 2.

a) Determine os números reais a e b tais que _{p x} __x²__{ax 1 x}_  ²__bx__{2 .}

b) Determine as raízes de _{p x .} 

24) Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetiva f : BA existem?

25) Sejam A1, 2, , 29,30 o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e a , a , a1 2 3

uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q1.

a) Determine todas as progressões geométricas ^{a , a , a}₁ ₂ ₃^{de razão}^q ³^.

 2 b) Escreva m

q ,

 n com m, n e ^{mdc m, n} ^^1. Determine o maior valor possível para n.

(5)

26) Esboce o gráfico da função f :  dada por   ^x 1

f x 2 .

2

  

27) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:

x ay z 2 x 2y 3z 1

3x az 5

  

    

  



28) Um triângulo retângulo com hipotenusa c2 1  6 está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto.

29) Determine o conjunto das soluções reais da equação ² x ²

3cossec tg x 1.

  2 

  

30) Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE, BF, CG e DH são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas AB, CG e GH, respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.

FIM ENUNC

(6)

PROVA DE MATEMÁTICA ITA 2016-2017 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) a (Funções e análise combinatória)

2) a (Trigonometria) 3) d (Progressões) 4) b (Trigonometria)

5) c (Geometria analítica – reta) 6) c (Sistemas lineares)

7) c (Inequação modular) 8) e (Conjuntos)

9) a (Geometria analítica – circunferência) 10) a (Logaritmos)

11) a (Matrizes e determinantes)

12) e (Geometria analítica – circunferência) 13) a (Teoria dos números e progressões) 14) b (Probabilidade)

15) d (Números complexos)

16) a (Geometria plana – triângulo retângulo e áreas) 17) d (Geometria plana – comprimentos na circunferência) 18) b (Números complexos)

19) e (Probabilidade)

20) e (Geometria plana – relações métricas no triângulo) 21) 121 2

12 (Geometria analítica – retas)

22) ^S^



^x^ ^{| x}^^log ^{8 9} ²



(Inequação exponencial) 23) a) a 2 3; b 1; b) 1 i 7

S 3 2,

2

  

  

  (Polinômios)

24) 150 (Análise combinatória)

25) a) 4, 6,9 ,  8,12,18 e 12,18, 27 ; b) 4 (Progressões) 26) gráfico (Função)

27) 6 (Sistemas lineares)

28) 2 9 6 (Geometria espacial e geometria plana)

29) 2 1

S x | x 2k x 2k arccos ; k

3 3

    

              (Trigonometria) 30) 3 (Geometria espacial)

(7)

PROVA DE MATEMÁTICA ITA 2016-2017 (ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES)

1) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com XY e XY. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : XY.

II. Existe uma função injetora g : YX.

III. O número de funções injetoras f : XY é igual ao número de funções sobrejetoras g : YX.

É(são) verdadeira(s)

a) nenhuma delas b) apenas I c) apenas III

d) apenas I e II e) todas RESOLUÇÃO: a

I. FALSA

Se f : XY é uma função bijetora, então # X # Y .  Como XY e XY, então # X # Y .  Logo, não pode haver uma bijeção de X em Y.

II. FALSA

Se g : YX é injetora, então elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes, o que implica que o número de elementos da imagem é igual ao número de elementos do domínio. Assim, ^{# Y} ^^{# Im} ^g ^^{# X .}^{ } ^Como ^{# X}^{ }^^{# Y ,}^{ } então não pode haver uma injeção de Y em X.

III. FALSA

Vamos apresentar um contraexemplo a fim de verificar que essas quantidades são distintas.

Se # X  n 1 e # Y  m 2, então o número de funções injetoras de X em Y é 2 (que é o total de funções) e o número de funções sobrejetoras de Y em X é 1 (que é a única função que se pode definir). Logo, a afirmativa é falsa.

Observe que, sendo # X n e # Y m, com nm, o número de funções injetoras f : XY pode ser obtido considerando uma ordenação fixa para os elementos do domínio X, então devemos escolher n elementos dentre os m elementos do contradomínio Y e depois permuta-los (arranjo). Assim, o número de funções injetoras

é ⁿ^m    

m! m!

C n! n! .

n! m n ! m n !

   

  Já o número de funções sobrejetoras g : YX é dado por ⁿ  ⁱ  ^m

i 0

1 n n i ,

 i

   

  

  que é obtido por meio do princípio da inclusão- exclusão.

2) O número de soluções da equação 1 sec 1 cossec   0, com    , , é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

RESOLUÇÃO: a

_{1 sec}_ __{1 cossec}_ _{  } ₀ _sec_{   }₁ _cossec_{  }₁ sec   1 cos        1 2k , k

(8)

cossec 1 sen 1 2k , k

2

             

Entretanto, temos que observar as condições de existência da secante e da cossecante.

Assim, devemos ter

secante: cos 0 k , k

2

       

cossecante: sen      0 k , k

Logo, as raízes encontradas não satisfazem às condições de existência e, portanto, a equação possui 0 soluções.

3) Sejam a, b, c, d . Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que b c  

a, , , d 140

2 4  formem, nesta ordem, uma progressão aritmética.

Então, o valor de d b é

a) 140 b) 120 c) 0 d) 120 e) 140

RESOLUÇÃO: d

Seja q a razão da PG : a, b, c, d, então b a q, ca.q² e d a q .³

Na b c  

PA : a, , , d 140 ,

2 4  temos: b c

2 a .

2 4

  

 

2 2 2

a 0

a q a aq a q 4q 4 0 a q 2 0 ou

4 q 2



           



A solução a0 não é válida, pois a sequência b c   a, , , d 140

2 4  teria termos 0, 0, 0, 140 e não seria uma PA.

No caso da solução q2 e considerando os três últimos termos da PA, temos:

 

c b

2 d 140 c b 2d 280

4 2

        

2 3

a 2 a 2 2a 2 280 14a 280 a 20

          

As sequências, então, são PG: 20, 40, 80, 160 e PA: 20, 20, 20, 20 (PA estacionária).

Portanto, d b 160 40 120.   

4) O maior valor de tg x, com 1 3 x arc sen

2 5

   

  e x 0, , 2

 

    é a) 1

4 b) 1

3 c) 1

2 d) 2 e) 3

RESOLUÇÃO: b

1 3 3 3

x arcsen 2x arcsen sen 2x 2x ,

2 5 5 5 2 2

      

            

(9)

Como 3

sen 2x 0,

 5 então 2x 0, . 2

 

    2x 0, cos 2x 4

2 5

 

   3

sen 2x 5 3 1

tg x 1 cos 2x 1 4 9 3

5

   

 

5) Considere a reta r : y2x. Seja A 3,3 o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

a) 9

5 b) 12

5 c) 18

5 d) 21

5 e) 24

5 RESOLUÇÃO: c

A figura representa a situação descrita no enunciado. A distância AO, do ponto A até a reta r, é igual à metade da diagonal do quadrado.

Usando a expressão da distância de ponto a reta, temos:

r : y2x2x y 0

 

 ²

2

2 3 3 3

AO d A, r

2 1 5

    

 

Seja o lado do quadrado ABCD, então 3 2 6

AO .

5 2 10

   

Portanto, a área do quadrado é

2 ABCD 2

6 36 18

S .

10 5 10

 

    

 

(10)

6) Considere o sistema de equações

2 3

1 27 8 x y z 3

4 81 40

S 10

x y z

2 54 24 x y z 7

   



   



   



Se ^{x, y, z} é uma solução real de S, então x  y z é igual a

a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

RESOLUÇÃO: c Sejam 1

a ,

x

2

b 27 y

 e

3

c 8 , z

 então o sistema pode ser escrito na forma:

a b c 3

S 4a 3b 5c 10 2a 2b 3c 7

  

   

   



Fazendo L2 3 L1  e L3 2 L1,  temos:

a b c 3 b 3  1 1 3 S a 2c 1 a 1 2 1 1

c 1

         

        

 



Retornando a substituição inicial, vem:

1 a 1 x 1

x      

2 2

27 b 3 y 9 y 3

y      

3 3

8 c 1 z 8 z 2

z      

x y z 1 3 2 6

       

7) O número de soluções inteiras da inequação 0x²3x²8x 2 é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUÇÃO: c

Vamos inicialmente analisar o sinal de 3x²8x.

2 8

3x 8x 0 x 0

     3

(11)

Assim, temos:

2 2

2

3x 8x, se x 8ou x 0

3x 8x 3 .

3x 8x, se 8 x 0 3

    

  

    



1º) 8

x ou x 0

 3 

 

2 2 2 2 2

0x  3x 8x   2 0 x  3x 8x    2 0 2x 8x2

 

2x28x 0 2x x 4     0 4 x 0

2 2

2x 8x  2 0 x 4x 1 0     x 2 3 ou x  2 3

Fazendo a interseção dos três intervalos, temos: S₁    4, 2 3 0 . 2º) 8

x 0

  3

 

2 2 2 2 2

0x 3x 8x   2 0 x  3x 8x   2 0 4x 8x2

 

4x28x 0 4x x2    0 x 2 ou x0

2 2 6 6

4x 8x 2 0 2x 4x 1 0 1 x 1

2 2

             

Fazendo a interseção dos três intervalos, temos: ₂ 6

S 1 , 2 .

2

 

    

(12)

O conjunto-solução da inequação é ₁ ₂ 6  

S S S 4, 2 3 1 , 2 0 .

2

 

            As soluções inteiras são 4, 2 e 0, ou seja, há três soluções inteiras.

8) Sejam A1, 2,3, 4,5 e B      1, 2, 3, 4, 5 . Se ^C^^{x y : x}^ ^^{A e y}^^{B ,}

então o número de elementos de C é

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

RESOLUÇÃO: e

Vamos fazer um quadro com os produtos dos elementos de A pelos de B e eliminar as repetições para contar os elementos do conjunto C.

B\A 1 2 3 4 5

1 1 2 2 2 2

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25 Logo, o número de elementos do conjunto C é n C 14.

9) Sejam S1



x, y ²: y x 1



e S2 



x, y ²: x²y 1 ² 25 .



A área da região S₁S₂ é

a) 25

4  2 b) 25

4  1 c) 25

4  d) 75

4  1 e) 75

4  2 RESOLUÇÃO: a

(13)

Vamos inicialmente traçar o gráfico da região S1



x, y ²: y x 1 .



A linha pontilhada representa a função y x , onde as duas semirretas são bissetrizes dos quadrantes I e II, formando entre si um ângulo de 90 . A linha tracejada representa o gráfico de y x 1, obtido deslocando-se o gráfico de y x uma unidade para baixo.

A linha cheia representa o gráfico de y x 1 , obtido refletindo-se a parte negativa de y x 1 em relação ao eixo das abscissas. A região S1



x, y ²: y x 1



é a área acima do gráfico de y x 1 e está sombreada na figura.

A região S2 



x, y ²: x²y 1 ²25



corresponde a uma circunferência de centro em O 0, 1   e raio 5, e o seu interior. Essa região também está sombreada.

A área S da região correspondente a S₁S₂ (sombreado mais escuro) pode ser calculada a partir da área do setor circular OAB de 90 e raio 5, subtraindo-se a área do quadrado OCDE cuja diagonal tem medida 2, o que implica que a medida do lado é

2  2 2. Assim, temos:

 ²

2 setor OAB OCDE

1 25

S S S 5 2 2

4 4

        unidades de área

10) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

a b .

II.

d d d

log c log a log b

a b c

b c a 1.

      

     

      III. log_ab bc log c._a é (são) verdadeira(s)

a) apenas I b) apenas II c) apenas I e II

d) apenas II e III e) todas RESOLUÇÃO: c

a b . (VERDADEIRA)

 c   c 

a b b a

1 1

log b log a log c log c log c log c

c c a b a b a b

II.

d d d

log c log a log b

a b c

b c a 1.

      

     

      (VERDADEIRA)

Vamos utilizar a propriedade demonstrada na afirmativa I.

d d d d d d

d d d

log c log a log b log c log a log b log a log b log c

a b c a b c

1 1 1 1

b c a c a b

            

     

     

III. _log_ab _bc __{log c.}_a (FALSA)

Vamos apresentar um contraexemplo. Sejam a2, b4 e c8, então:

    3 5

ab 2 4 2

log bc log 4 8 log 2 5

 3

   

(14)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira 3

a 2 2

log clog 8log 2 3

11) Sejam

1 0 0

D 0 2 0

0 0 3

 

 

  

 

 

e

7 0 2 P 0 1 0 .

2 0 5

 

 

  

 

 

Considere AP DP.^¹ O valor de

 ² 

det A A é

a) 144 b) 180 c) 240 d) 324 e) 360

RESOLUÇÃO: a

 ²     ^ ^

det A A det A A I  det A det A I   6 24 144

 ¹   ¹ ¹

det A det P DP det P det D det P det D det P det D 6 det P

 

        

           

   

1 1 1 1

det A I det P DP P P det P D I P det P det D I det P

1 det D I det P det D I 24 det P

   

           

      

1 0 0

det D det 0 2 0 6

0 0 3

 

 

  

 

 

 

2 0 0 det D I det 0 3 0 24

0 0 4

 

 

   

 

 

12) Considere dois círculos no primeiro quadrante:

• C com centro ₁ x , y , raio 1 1 r e área ₁ . 16



• C com centro ₂ x , y2 2, raio r e área ₂ 144 .

Sabendo que x , y , r e ₁ _{1 1} x , y , r₂ _{2 2} são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7

4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C e ₁ C ₂ é igual a

a) ¹²³

2 b) ¹²⁹

2 c) ¹³¹

2 d) ¹³⁵

2 e) ¹³⁷ 2 RESOLUÇÃO: e

Inicialmente, observemos que ₁² ₁ 1

r r

16 4

     e  r₂² 144  r₂ 12.

2

1 1 1 1

1 1

PG x , y , y x

4 4

    

 

 