3.3 Implantation numérique
3.3.2 Éléments de grille et de membrane
On présente ici l'implantation des éléments de membrane réalisée dans Code_Aster.
On se donne une surface Γ, supposée plane, ainsi qu'un comportement de membrane anisotrope, déni par le tenseur de rigiditéN(voir Figure 3.15). Si l'on introduit la base orthonormale (e1,e2,e3), telle que e1 décrit la normale au plan Γ, et (e2,e3) le plan tangent, ce tenseur s'écrit en composantes :
N= X
αβγδ
Nαβγδ(eα⊗eβ)⊗(eγ⊗eδ)
Les indices grecs varient comme précédemment entre 2 et 3. Pour éviter toute ambigüité, on indique explicitement les sommes sur les indices dans cette section. Rappelons que le tenseur N présente deux symétries mineures et une symétrie majeure, qui s'écrivent respectivement :
Nαβγδ =Nβαγδ Nαβγδ =Nαβδγ Nαβγδ=Nγδαβ
Dans le cas d'un modèle de membrane anisotrope, les coecients du tenseurNsont obte- nus par résolution de problèmes mécaniques élémentaires au sein d'une cellule périodique.
En revanche, dans le cas d'un modèle de grille, le tenseur Ns'exprime analytiquement.
Lorsque les barres d'acier sont disposées de façon parallèle, le tenseurNs'écrit : N=κm(e2⊗e2)⊗(e2⊗e2)
= πd2
4eLEf (e2⊗e2)⊗(e2⊗e2)
On rappelle que d, e, L et Ef sont respectivement le diamètre des barres d'acier, leur espacement, la taille globale de la structure2 et le module d'Young de l'acier.
L'implantation de l'élément de membrane nécessite de calculer l'énergie mécanique stockée dans un élément ni. Cette énergie mécanique élémentaire s'écrit :
Ee= 1 2
Z
e
εΓ(u) :N:εΓ(u) dx′ (3.48) On se donne un élément ni de surface, linéaire ou quadratique. Il peut s'agir d'un triangle à trois ou six n÷uds, ou d'un quadrangle à quatre ou huit n÷uds (voir Figure3.16). La position géométrique des n÷uds de l'élément est notée x′n, avec n le numéro du n÷ud.
La position d'un point au sein de l'élément est déterminée par ses coordonnées dans l'espace de référence, notéesz′. L'élément ni est caractérisé par ses fonctions de formes,
2. Précisons que la taille globale de la structure n'intervient pas réellement dans la rigidité de la membrane. Elle est introduite pour rendre le tenseurNhomogène à une contrainte.
1
11 112 1
13
12
11 13
Γ
Figure 3.15 Repères associés au comportement de la membrane anisotrope. Le repère (e1,e2,e3) est un repère orthonormal, où e1 est orthogonal, et (e2,e3) sont tangents au plan Γ. Les degrés de libertés des n÷uds sont dénis dans un repère global distinct (ee1,ee2,ee3), qui n'est pas lié à la géométrie du planΓ.
Figure 3.16 Choix de discrétisation pour les éléments de membrane. Les éléments im- plantés sont les triangles et quadrangles linéaires et quadratiques. Les n÷uds des éléments sont indiqués en bleu, et les points de Gauss en rouge.
notées χn(z′), et dénies dans l'espace de référence. Ces fonctions de forme valent 1 sur le n÷udn, et sont nulles sur tous les autres. Pour les éléments nis isoparamétriques, la transformation géométrique de l'espace de référence vers l'espace réel s'écrit en termes des fonctions de forme et de la position des n÷uds :
x′ =X
n
x′nχn(z′)
Dans cette section, les indices latinsn et m désignent le numéro d'un n÷ud, et varient parmi l'ensemble des n÷uds de l'élément. On peut dénir le jacobien de cette transfor- mation, qui s'écrit :
J(z′) = ∂x′
∂z′(z′) =X
n
x′n∂χn
∂z′(z′) (3.49)
Les degrés de liberté de l'élément ni sont les déplacements des n÷uds, exprimés dans la base globale (ee1,ee2,ee3). Ces déplacements sont rassemblés dans une matrice U, dénie par :
Uin=eei·u(x′n)
Cette matrice est de dimension3×N, avec N le nombre de n÷uds de l'élément ni. Le champ de déplacement dans l'élément s'écrit en termes de ces degrés de liberté et des fonctions de forme :
u(z′) =X
in
Uinχn(z′)eei (3.50) On peut à présent exprimer la déformation membranaireεΓ(u)en fonction des degrés de liberté de l'élément. Cette déformation s'exprime en composantes :
εΓ(u) = ∂uα
∂xβ eα⊗seβ Or, d'après la relation (3.50), on a :
uα(x′) =eα·u(x′)
=X
in
Uinχn(z′)eα·eei
Si l'on note R la matrice de rotation du repère local (e1,e2,e3) vers le repère global (ee1,ee2,ee3), qui s'écrit en composantesRij =ei·eej, cette dernière relation s'écrit :
uα(x′) =X
in
RαiUinχn(z′) (3.51)
Par ailleurs, en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, on a :
∂uα
∂xβ =X
γ
∂uα
∂zγ
∂zγ
∂xβ
En introduisant le jacobien déni par (3.49), cette dernière relation s'écrit :
∂uα
∂xβ =X
γ
∂uα
∂zγ Jγβ−1 (3.52)
Avec les relations (3.51) et (3.52), on peut écrire la déformation membranaire sous la forme suivante :
εΓ(u) =X
in
RαiUin∂χn
∂zγ Jγβ−1 eα⊗seβ
On introduit un tenseurB du quatrième ordre, déni de la façon suivante : Bαβin(z′) =X
γ
Rαi
∂χn
∂zγ(z′)Jγβ−1(z′)
À l'aide de ce tenseur, on peut exprimer la déformation membranaire sous la forme suivante :
εΓ(u)(z′) =X
in
Bαβin(z′)Uineα⊗seβ En réintroduisant dans l'énergie mécanique (3.48), on obtient :
Ee= 1 2
Z
e
X
ijnmαβγδ
UinBαβin(z′)NαβγδBγδjm(z′)Ujm
dx′
On peut écrire cette relation sous la forme condensée suivante : Ee= 1
2 Z
e
U:BT(z′) :N:B(z′) :Udx′ (3.53) En général, cette intégrale n'est pas calculable analytiquement. On utilise donc un schéma d'intégration numérique, basé sur une famille de points de Gauss. On se donne un ensemble de points de Gauss, d'absissez′g, et de poidsρg. On réexprime tout d'abord la relation précédente dans l'espace de référence :
Ee= 1 2
Z
e
U:BT(z′) :N:B(z′) :U det(J)(z′) dz′ Puis on applique le schéma d'intégration aux points de Gauss :
Ee= 1 2
X
g
U:BT(z′g) :N:B(z′g) :U det(J)(z′g)ρg
Le choix de la famille de points de Gauss utilisée répond à une double contrainte : il faut d'une part que l'erreur d'intégration soit inférieure à l'erreur de discrétisation liée à la taille de l'élément, et d'autre part que l'énergie interne intégrée numériquement soit dénie positive. Les familles de points de Gauss adaptées aux diérents éléments de surface sont indiquées sur la Figure3.16.
L'énergie interne est ainsi exprimée en fonction des degrés de libertéU de l'élément.
On peut ensuite calculer le vecteur des forces internes nodales sous la forme∂Ee/∂U, et la matrice tangente du comportement∂2Ee/∂U2. Ceci conclut l'implantation des éléments de membrane anisotrope.
3.3.3 Éléments d'interface à formulation mixte