Modélisation d'une extraction d'armatures

Les résultats sont tout à fait conformes à ce que l'on pouvait attendre. La modélisation la plus simple, qui consiste à ne pas modéliser les armatures du tout, est très grossière.

L'erreur relative sur le déplacement vertical en bout de plaque dépasse 30 %, ce qui n'est pas acceptable. Lorsque les armatures sont modélisées par un modèle de grille, l'erreur sur le déplacement est inférieure à 5 %. Enn, le modèle de membrane anisotrope donne d'excellents résultats, le déplacement vertical étant correctement estimé à 0,2 % près.

Dans un régime de comportement élastique, le modèle de membrane est donc beaucoup plus précis que le modèle de grille, l'erreur relative par rapport à la solution de référence étant diminuée d'un facteur 10. Ce résultat était attendu, dans la mesure où la rigidité du modèle de grille est calculée de façon analytique, tandis que celle du modèle de membrane est déduite de calculs élémentaires à l'échelle d'une cellule périodique. Cependant, on note que le modèle de grille ne donne pas de si mauvais résultats eu égard à sa simplicité.

Les modèles de grille et de membrane sont donc validés dans un régime de compor- tement élastique. Le modèle de grille s'avère moins précis que le modèle de membrane, mais il présente l'avantage d'être beaucoup plus simple à mettre en ÷uvre. Il est donc mieux adapté à une utilisation dans un contexte d'ingénierie. Pour compléter la valida- tion de ces modèles, il reste à valider le modèle de grille avec décohésion dans un régime de comportement non-linéaire.

3.4.2 Modélisation d'une extraction d'armatures

Figure 3.24 Extraction d'une nappe d'armatures hors d'une plaque en béton armé.

123145

678

698 648

A33145

231451

23145 23145 2145

13BC1451

Figure 3.25 Élément de plaque modélisé. (a) Représentation du motif périodique simulé, comprenant une barre d'armature orientée dans la longueur, et 5 barres d'arma- tures perpendiculaires. (b) Vue longitudinale de la plaque. (c) Section transverse de la plaque, avec conditions de périodicité.

Paramètre a_m τ_m α β Valeur 1 mm 10 MPa 0,7 1

Physiquement, les phénomènes auxquels on s'attend sont les suivants : les eorts de traction exercés sur les armatures sont redistribués dans l'ensemble de la plaque par le biais de la liaison acier-béton. Tant que les eorts exercés sur les armatures ne sont pas très importants, les eorts transmis par la liaison acier-béton restent modérés, et l'acier reste adhérent au béton. Cependant, à mesure que l'on augmente l'eort de traction, des micro-ssures apparaissent dans le béton au voisinage de l'acier, et le béton s'endommage progressivement. On observe alors un glissement relatif de l'acier par rapport au béton, qui peut atteindre 0,1 à 1 mm. Cette décohésion des armatures par rapport au béton s'initie au bord de la plaque, et progresse à l'intérieur du béton à mesure que l'on aug- mente l'eort de traction. Notons que l'on exclut ici une possible ssuration transverse de la plaque de béton, ainsi qu'une éventuelle plastication de l'acier susceptibles de se produire pour de forts chargements.

Modélisation et discrétisation du problème

On a fait l'hypothèse que la plaque était très large. Comme le chargement de traction est le même sur toutes les barres, on peut supposer que les champs mécaniques sont périodiques dans cette direction. On ne modélise donc qu'une rangée d'armatures dans le sens de la largeur, et l'on impose des conditions de périodicité sur le bord de l'élément de plaque (voir Figure3.25). Dans le sens de la longueur, on modélise 5 barres d'armature, réparties tous les 20 cm. Une liaison glissière est imposée sur un bord. Sur le bord opposé, on applique un eort de traction sur la section de l'armature longitudinale.

Cet essai est modélisé de deux manières. Une première modélisation 3D fournit la solution de référence pour ce problème. Dans cette modélisation, les barres d'acier sont représentées en trois dimensions, et l'interface entre l'acier et le béton est modélisée par des éléments d'interface à formulation mixte. Le maillage utilisé pour cette modélisa- tion est montré sur la Figure 3.26. Il comporte 78 000 tétraèdres quadratiques, 6 000 pentaèdres quadratiques dégénérés à l'interface acier-béton, et 120 000 n÷uds au total.

La seconde modélisation est une modélisation simpliée, dans laquelle les armatures sont modélisées par un modèle de grille avec décohésion. On modélise ainsi la rigidité mécanique des armatures dans les deux directions, ainsi que leur glissement dans le sens de la longueur. La rigidité des armatures est modélisée par des éléments de grille, et leur glissement par des éléments d'interface à formulation mixte, qui relient la grille au volume de béton. Les paramètres de ce modèle sont identiés analytiquement à l'aide des formules (3.42) et (3.44) développées dans la Section 3.1. Le maillage utilisé pour cette modélisation est montré sur la Figure3.27. Il comporte 5 000 hexaèdres quadratiques, 500 hexaèdres quadratiques dégénérés à l'interface grille-béton, et 26 000 n÷uds. Le nombre de degrés de liberté pour cette modélisation est donc diminué d'un facteur cinq par rapport à la modélisation de référence.

Pour ces deux modélisations, le problème mécanique à résoudre consiste à minimiser l'énergie mécanique du système sous contraintes. Le chargement sur les barres d'acier

123 143

Figure 3.26 Maillage de l'élément de plaque pour la solution de référence, avec (a) le béton, et (b) les barres d'acier modélisées en 3D. L'interface entre l'acier et le béton est modélisée par des éléments d'interface dégénérés. Le maillage comporte 120 000 n÷uds.

123 143

Figure 3.27 Maillage de l'élément de plaque pour le modèle de grille avec décohésion, avec (a) le béton, et (b) les barres d'armature modélisées par des éléments de grille.

L'interface entre la grille et le béton est modélisée par des éléments d'interface dégénérés.

Le maillage comporte 26 000 n÷uds.

est augmenté progressivement de 0 à 100 kN en dix incréments. À chaque incrément, l'énergie mécanique du système est minimisée par un algorithme de Newton. Le nombre d'itérations de cet algorithme est toujours inférieur à cinq, ce qui est très satisfaisant.

Le temps de calcul total pour la solution de référence est de plus de trois heures, contre vingt minutes pour la modélisation simpliée. Le coût de calcul est ainsi diminué d'un facteur dix avec le modèle simplié.

Résultats obtenus et analyse

On représente les déformées de la plaque de béton armé sur la Figure 3.28, et la décohésion de l'acier par rapport au béton sur la Figure 3.29. On peut remarquer tout d'abord que les déformées du modèle simplié et du modèle de référence sont très si- milaires. La principale diérence réside dans une légère courbure de la plaque avec le modèle de référence, qui n'est pas reproduite avec le modèle de grille avec décohésion.

Ceci est dû au fait que la barre d'acier sur laquelle on applique la force de traction est légèrement excentrée par rapport au plan moyen de la plaque. Cette force induit ainsi un léger couple de torsion, qui explique la exion de la plaque. Comme cet excentrement n'est pas pris en compte par le modèle de grille avec décohésion, la exion de la plaque n'est pas reproduite. On peut penser cependant que cet eet est assez négligeable. Par ailleurs, on observe sur la Figure 3.29que la décohésion de l'acier par rapport au béton est très similaire pour les deux modèles. Cette décohésion se propage de quelques di- zaines de centimètres à l'intérieur de la plaque. Cette décohésion ne peut pas se propager beaucoup plus loin car, au-delà de 100 kN, la contrainte dans l'acier dépasse 300 MPa.

La barre d'acier plastie donc avant que la décohésion ne traverse toute la plaque.

En termes quantitatifs, on représente sur les Figures 3.30 et 3.31 la courbe force- déplacement associée à l'eort appliqué sur l'acier, ainsi que le glissement de l'armature par rapport au béton. On remarque sur ces deux courbes que le modèle de référence et le modèle de grille avec décohésion présentent un comportement extrêmement proche.

Les écarts observés sur ces deux courbes ne dépassent pas 5 %, ce qui est tout à fait satisfaisant.

Le modèle de grille avec décohésion reproduit donc non seulement le comportement global de la structure, mais également la répartition de la décohésion entre l'acier et le béton à l'intérieur de la structure. Le comportement non-linéaire du modèle de grille avec décohésion est donc validé.