Proposition d'un modèle empirique simple

et continue. De plus, on peut réexprimer le comportement de cette interface en fonction des sous-gradients. On reprend pour cela la forme (3.4) du comportement de l'interface :

∃







F_rev ∈∂_uψ([[u]], a) A_rev ∈∂_aψ([[u]], a)

A_irr ∈∂_a˙φ( ˙a, a)

tels que

(F_rev =σ·n Arev+Airr= 0 Le comportement normal de l'interface s'écrit donc

n·σ·n=n·F_rev

où F_rev ∈∂uψ([[u]], a). En distinguant selon le signe de[[u]]·n, on en déduit : (n·σ·n= 0 si [[u]]·n>0

n·σ·n≤0 si [[u]]·n= 0

On reconnaît là une condition de contact unilatéral classique. De la même façon, on obtient pour la composante tangentielle :

e₂·σ·n=e₂·F_rev

L'énergie interne ψ dépend de la diérence |[[u]]·e₂| −a. En utilisant les dénitions de F_rev etA_rev, on en déduit :

|e₂·F_rev|+A_rev = 0

On a donc |e₂·σ·n|=−A_rev. Dans le cas où|[[u]]·e₂|< a, on a A_rev = 0. On en déduit que la contrainte de cisaillement à l'interface est nulle. En revanche, si|[[u]]·e₂|=a, cette contrainte n'est pas nulle. Dans ce cas, la seconde relation de comportement de l'interface s'écritA_rev+A_irr= 0. On a donc :

|e₂·σ·n|=A_irr

En distinguant selon le signe dea˙, on démontre au nal que :







|e₂·σ·n|= 0 si |[[u]]·e₂|< a

|e₂·σ·n| ≤τ(a) si |[[u]]·e₂|=a et a˙ = 0

|e₂·σ·n|=τ(a) si |[[u]]·e₂|=a et a >˙ 0

La forme générique d'une telle loi de comportement est montrée sur la Figure3.10. Pour une valeur deadonnée, la contrainte est nulle tant que le glissement est inférieur àa. Si le glissement atteint ce seuil, la contrainte est bornée parτ(a). Ensuite, le glissement ne peut continuer à croître que si la contrainte de cisaillement atteint la contrainte critique τ(a). On peut qualier cette loi de loi d'adhésion à décharge verticale. En ce sens, elle est similaire à la loi d'interface adhésive proposée par Talon et Curnier [15].

0 1 2 3 4 5 Saut de déplacement (mm)

0 5 10

Cisaillement à l’interface (MPa)

Figure 3.10 Loi d'adhérence acier-béton considérée. Cette loi présente un comporte- ment tout d'abord durcissant, puis adoucissant pour des glissements plus importants. La décharge s'eectue à contrainte nulle.

Il reste nalement à choisir la forme de la courbeτ(a). Notons que cette courbe n'est pas nécessairement monotone, elle doit juste être positive et continue. On propose la loi d'adhésion suivante, qui s'inspire du modèle de Eligehausen présenté précédemment :

τ(a) =τ₀ (a/a0)^α

(1 +a/a₀)^α+β (3.46)

La forme de cette loi est présentée sur la Figure 3.10. Cette loi d'interface comporte quatre paramètres, que sont a₀, τ₀, α et β. Les deux premiers paramètres permettent de dimensionner la loi, tandis que les deux derniers xent la forme de la loi. Si les paramètresαetβsont positifs, cette loi présente une phase durcissante, suivi d'une phase adoucissante. Plus précisément, si l'on se place dans un régime de faibles glissements, avec a≪a0, on a :

τ(a)∼τ₀ a

a0

α

Le paramètre α détermine donc la forme de la loi pour de faibles glissements. Pour que cette loi soit représentative du comportement réel d'une interface acier-béton, on choisira 0< α <1. Ceci assure que le cisaillement soit nul pour un glissement nul, et que la pente initiale de la loi soit innie. Inversement, lorsquea≫a0, la loi d'interface s'écrit :

τ(a)∼τ₀ a

a₀ −β

Le paramètre β dicte donc la forme de la loi lorsque le glissement devient grand. Il est préférable de choisir ce paramètre positif, pour que la loi d'adhérence présente une phase adoucissante.

La loi d'adhérence acier-béton est caractérisée par un point où le cisaillement à l'in- terface est maximal. On noteτ_m eta_mle cisaillement et le glissement correspondant à ce maximum de résistance. Ces grandeurs s'expriment en termes des paramètres(a0, τ0, α, β) sous la forme suivante : 









a_m =a₀α β τ_m =τ₀ α^αβ^β

(α+β)^α+β

(3.47)

En pratique, ces grandeurs sont plus simples à dénir pour l'utilisateur que a₀ et τ₀. Les paramètres que l'on considère pour la loi d'adhérence sont donc (a_m, τ_m, α, β). En réinjectant (3.47) dans (3.46), la loi d'adhérence s'exprime en fonction de ces nouveaux paramètres :

τ(a) =τ_m(α+β)^α+β (a/a_m)^α (α a/a_m+β)^α+β

On montre sur les Figures3.11et3.12l'inuence des paramètresα etβ sur la forme de la courbe, lorsquea_m etτ_m sont xés. On observe que le paramètreα inue à la fois sur les parties durcissante et adoucissante de la loi. Lorsque le paramètreαest proche de zéro, le comportement de la loi est initialement très rigide, tandis que lorsqu'il est proche de 1, la loi est beaucoup plus souple. Par ailleurs, le paramètreβ inue essentiellement sur la partie adoucissante de la loi. Lorsqu'il est proche de zéro, la loi d'adhérence décroît lentement après le pic, tandis que lorsqueβ est très grand, la loi décroît rapidement. Les paramètres de cette loi ainsi que leur domaine de variation sont précisés dans le tableau ci-dessous :

Paramètre Domaine Unité Nature du paramètre

am R^+∗ m Déplacement au pic

τ_m R^+∗ Pa Contrainte au pic

α ]0,1[ rien Croissance initiale de la loi β R^+∗ rien Décroissance nale de la loi

On peut à présent proposer une méthode d'identication des paramètres de la loi d'adhérence proposée. On suppose que l'on connaît la forme expérimentale d'une loi d'adhérence acier-béton. En identiant le point de résistance maximale de cette loi, on détermine les paramètresam etτm. Ensuite, il reste à identier les paramètres de forme α et β. Comme α est le seul paramètre à inuer sur la partie durcissante de la loi, on peut l'identier indépendamment du paramètreβ. Enn, une fois les paramètresa_m,τ_m etα connus, on identie le paramètreβ sur la partie adoucissante de la loi d'adhérence.

Ainsi, les quatre paramètres de cette loi peuvent être déterminés à partir d'une courbe expérimentale sans avoir recours à des méthodes de recalage complexes.

0 1 2 3 4 5 Saut de deplacement normalise

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Cisaillement a l’interface normalise

alpha = 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

Figure 3.11 Dépendance de la loi d'adhérence acier-béton au paramètreα. La position du maximum(δ_m, τ_m) de la courbe est xée, et le paramètreβ vaut 1.

0 2 4 6 8 10

Saut de deplacement normalise 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Cisaillement a l’interface normalise

beta = 0,5 1 2 4 8

Figure 3.12 Dépendance de la loi d'adhérence acier-béton au paramètreβ. La position du maximum(δ_m, τ_m) de la courbe est xée, et le paramètreα vaut 0,5.

12345

61345

789345 1A345

Figure 3.13 Dimensions de l'essai d'extraction de Eligehausen et al. [82].

0 2 4 6 8 10 12

Glissement (mm) 0

4 8 12 16

Cisaillement a l’interface (MPa)

Courbe experimentale Modele propose

Figure 3.14 Comparaison entre le modèle proposé (rouge) et les résultats expérimen- taux de Eligehausen et al. [82] (noir). La moyenne des essais expérimentaux est indiquée en trait noir continu, et leur dispersion en pointillés.