1.3 Problématique de la thèse
2.1.3 Travaux sur le comportement d'une couche mince homogène
décohésion des barres d'acier par rapport au béton, qui est un phénomène important du comportement des structures en béton armé. De plus, les paramètres de ce modèle limite peuvent être calculés de façon entièrement analytique, ce qui facilite beaucoup sa mise en ÷uvre dans un contexte industriel. Le modèle limite obtenu combine un modèle de membrane anisotrope et un modèle d'interface cohésive. Le comportement de mem- brane modélise la rigidité des barres d'acier, tandis que le modèle d'interface cohésive modélise un possible glissement des barres d'acier par rapport au béton. La construction, l'implantation et la validation de ce modèle sont présentées dans le Chapitre3.
2.1.3 Travaux sur le comportement d'une couche mince homogène
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Figure 2.4 Problème classique du comportement d'une couche mince homogène Γ, d'épaisseurℓ et de normalen.
Les contraintes sont continues à travers l'interface, tandis que le champ de déplacement est discontinu. Le saut de déplacement est alors proportionnel à la contrainte appliquée sur l'interface. Plus précisément, le comportement de l'interface obéit aux équations suivantes :
[[σ]]·n=0
n·σ·n= (λr+ 2µr)[[u]]·n n·σ·t=µr[[u]]·t ∀t⊥n
La première relation s'interprète comme une condition d'équilibre de l'interface, et les deux dernières comme des relations de comportement. La seconde relation caractérise le comportement de l'interface dans des sollicitations de traction, et la troisième son comportement dans des sollicitations de cisaillement. On remarque que la rigidité de l'interface dans ces deux modes de sollicitation n'est pas identique, en raison d'un eet de Poisson dans la couche mince. Notons également que ce modèle peut être assimilé à une densité uniforme de ressorts à l'interface. En termes mathématiques, Geymonat et al. [53] ont démontré que, dans la limite ℓ → 0, la solution du problème mécanique réel converge, au sens faible comme au sens fort, vers la solution du problème limite.
Comportement d'une couche très conductrice ou très rigide
Par ailleurs, à partir du milieu des années 70, Huy et Sanchez-Palencia d'une part [55], et Simonenko d'autre part [68,69,70], se sont intéressés indépendamment au com- portement thermique asymptotique d'une couche mince de conductivité élevée. Cette analyse est fondée sur l'hypothèse que la conductivité de la couche est inversement pro- portionnelle à son épaisseur, et peut donc s'écrire λT(ℓ) =ℓ−1λrT. Sous ces hypothèses, dans la limiteℓ→0, les conditions de transmission à l'interface sont de type Ventcel (cf.
[59,72]) : la température est continue à la traversée de l'interface, tandis que le ux de
chaleur est discontinu. Cette discontinuité du ux de chaleur est due à l'existence d'un ux de chaleur transitant dans l'interface. Ce ux de chaleur d'interface qΓ est propor- tionnel au gradient de température le long de l'interface. Le comportement de l'interface s'écrit alors :
[[T]] = 0
[[q]]·n=−divΓ(qΓ) qΓ=−λrTgradΓ(T)
La première relation s'interprète comme une condition d'admissibilité cinématique, la seconde comme une condition de conservation du ux de chaleur, et la dernière comme la relation de comportement de la couche mince. Les opérateurs diérentiels divΓ et gradΓsont respectivement la divergence d'un ux transitant dans la couche mince, et le gradient d'une quantité dénie sur la couche mince. Leur dénition sera précisée dans la suite des développements.
Ces résultats ont été adaptés à l'élasticité par Caillerie [44], Ciarlet [46], puis Bessoud et al. [37,38,39] et Benveniste et Miloh [36]. Ces auteurs se sont intéressés au compor- tement asymptotique d'une couche mince élastique de grande rigidité. On reprend donc l'exemple mécanique précédent d'une couche homogène d'épaisseur ℓ, et on fait l'hypo- thèse que les coecients de Lamé(λ, µ) dans la couche sont inversement proportionnels à son épaisseur. Ils peuvent donc se mettre sous la forme suivante :
λ(ℓ) =ℓ−1λr µ(ℓ) =ℓ−1µr
On démontre alors que les conditions de transmission à travers l'interfaceΓsont toujours de type Ventcel : le champ de déplacement est continu à travers l'interface, tandis que le champ de contrainte est discontinu. Cette discontinuité du champ de contraintes est due à des contraintes membranaires transitant dans l'interface, qui sont elles-même proportion- nelles aux déformations membranaires de l'interface. Si l'on noteσΓ les contraintes mem- branaires existant dans l'interface, le comportement asymptotique de la couche mince rigide s'écrit sous la forme suivante :
[[u]] = 0
[[σ]]·n=−divΓ(σΓ) σΓ = 2λrµr
λr+ 2µrdivΓ(u0)1Γ+ 2µrεΓ(u0)
La première relation constitue une condition d'admissibilité cinématique, la seconde une condition d'équilibre entre les eorts appliqués sur l'interface et les eorts transitant dans l'interface, tandis que la dernière constitue la relation de comportement élastique de l'interface. Cette dernière relation fait intervenir les opérateurs diérentielsdivΓetεΓ, qui sont respectivement la divergence d'un champ de vecteurs déni sur la surfaceΓ, et la déformation membranaire du même champ de vecteurs. Ces opérateurs ne font inter- venir que les dérivées surfaciques du champ de vecteur, et le cas échéant la courbure de
la surface. Leur dénition sera précisée dans la suite des développements. Le tenseur1Γ est le tenseur d'ordre deux symétrique de projection sur la surface Γ. Sur le plan mé- canique, ce comportement est tout à fait similaire au comportement mécanique d'une membrane plongée au sein d'un milieu continu, dont le comportement est caractérisé par les coecients de Lamé
2λrµr λr+2µr, µr
.
Certains auteurs, tels Bessoud et al. [38, 39] et Benveniste et Miloh [36], se sont également intéressés au comportement asymptotique d'une couche mince super-rigide, c'est-à-dire dont la rigidité varie comme ℓ−3. Dans ce cas, dans la limite ℓ → 0, cette couche se comporte comme une plaque (ou une coque) inextensible : le champ de dé- placement est continu à travers l'interface, celle-ci présente une rigidité de exion et ses déformations membranaires sont nulles. Ce modèle limite un peu particulier n'a de sens que pour des matériaux à contraste de rigidité extrêmement important.
Comportement général d'une couche mince
Entre ces modèles limite de couches minces souple et rigide, on peut se demander quel serait le comportement asymptotique d'une couche mince quelconque, dont la rigidité ne dépendrait pas de son épaisseur. La première analyse asymptotique complète sur ce sujet a été réalisée par Bövik dans les années 90 [43], qui s'est intéressé au comportement asymptotique d'une couche élastique mince, isotrope et courbe. Un problème similaire a été étudié par Abdelmoula et al. [31], qui démontrent que, dans la limite d'une couche très mince, des singularités d'énergie innie peuvent apparaître sur les bords de la couche.
Enn, Benveniste et Miloh [35] ont généralisé l'étude de ce problème à des comportements anisotropes plus complexes sur des couches de géométrie courbe.
Les résultats obtenus par ces auteurs peuvent être résumés de la façon suivante. Dans la limiteℓ→0, la couche mince disparaît : les champs de contrainte et de déplacements deviennent continus à la traversée de l'interface, et tout se passe donc comme si la couche n'existait pas. Pour identier le comportement eectif de l'interface, il ne sut donc pas d'identier un simple modèle limite. Il faut eectuer un développement asymptotique complet de la réponse du modèle pour identier le comportement dominant de l'interface.
Il apparaît alors que l'inuence de la couche mince sur le reste de la structure varie linéairement avec son épaisseur. On dit que l'inuence de l'interface est d'ordre 1. À cet ordre, on démontre que les champs de déplacement et de contraintes sont discontinus à la traversée de l'interface, et dépendent linéairement de la déformation du milieu continu environnant. On peut alors construire un modèle eectif du comportement de l'interface, qui reproduit exactement son comportement jusqu'à l'ordre 1.
L'approche présentée Bövik, Benveniste et Miloh présente cependant quelques limites.
Tout d'abord, la forme présentée du comportement eectif de l'interface est particulière- ment complexe, ce qui ne facilite pas son analyse ni son implantation. De plus, la question de la stabilité du modèle d'interface proposé ne semble pas abordée par les auteurs, bien qu'il s'agisse là d'une question cruciale pour l'implantation numérique du modèle. Cette question sera étudiée plus en détails dans la suite de ce chapitre.
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Figure 2.5 Exemples de milieux contenant des hétérogénéités périodiquement réparties sur une surface. (a) Couche mince homogène (b) Cavités sphériques (c) Microssuration périodique d'un matériau (d) Armatures en acier dans du béton
2.1.4 Travaux sur le comportement d'une surface d'hétérogénéités