3.4 Validation numérique des modèles limite
3.4.1 Modélisation d'une plaque en exion
Résolution du problème global
Il reste à présent à écrire la condition de stationnarité du lagrangien (3.55) en fonction des degrés de liberté globaux u,uf etζ. Ces conditions s'écrivent respectivement :
Z
Ω\Γ
ε(u) :˜ Am:ε(u) dx− W(u)˜ − Z
Γ
˜
u·ζdx′−k Z
Γ
˜
u·(uf−u−ξ(s)e2) dx′ = 0 ∀u˜
L Z
Γ
κm∂u˜f2
∂x2
∂uf2
∂x2dx′+ Z
Γ
˜
uf·ζdx′+k Z
Γ
˜
uf·(uf−u−ξ(s)e2) dx′= 0 ∀u˜f Z
Γ
eζ·(uf −u−ξ(s)e2) dx′ = 0 ∀eζ Dans ces relations, le glissement ξ est une fonction non-linéaire du paramètre s, déni par s = (ζ −k(uf −u))·e2. Ce problème est un problème de point-selle non-linéaire, qui peut être résolu classiquement par une méthode de Newton. Nous verrons dans les exemples ci-après que cet algorithme de Newton global converge lui aussi en quelques itérations.
Figure 3.19 Sollicitation en exion d'une plaque en béton armé.
1234
2512342
6 6
789
7A9 739
6
BC234
25D2342 25D2342
5C234
Figure 3.20 Élément de plaque modélisé. (a) Représentation du motif périodique simulé comprenant deux barres d'armatures. (b) Vue longitudinale de la plaque et eorts appliqués. (c) Section transverse de la plaque, avec conditions de périodicité. Le point de référence pour le déplacement est le point A.
123 143
Figure 3.21 Maillage de la plaque en exion pour la solution de référence avec (a) le béton et (b) les barres d'acier modélisées en 3D. Le maillage comporte 290 000 n÷uds.
123 143
Figure 3.22 Maillage de la plaque en exion pour les modèles simpliés avec (a) le bé- ton et (b) les barres d'acier modélisées par des éléments de surface. Le maillage comporte 145 000 n÷uds.
Figure 3.23 Déformée de la solution de référence, ampliée d'un facteur 1000. Les couleurs indiquent le déplacement vertical.
Modélisation et discrétisation du problème
Comme la plaque est très large, les champs mécaniques sont quasiment périodiques dans cette direction. On ne modélise donc qu'un simple motif périodique de la plaque, qui comprend deux barres d'acier (voir Figure3.20). Ceci rend le coût de calcul d'une solution de référence abordable pour ce problème. On compare quatre modélisations diérentes.
Une première modélisation, dans laquelle les barres d'armature sont représentées en 3D, fournit la solution de référence (voir Figure 3.21). Dans la seconde modélisation, on néglige entièrement la rigidité des armatures. On modélise donc le comportement en exion d'une plaque de béton non armé. Pour la troisième modélisation, on représente les nappes d'armatures supérieure et inférieure par un modèle de grille adhérente, dont la rigidité est calculée de façon analytique. Enn, la dernière modélisation fait appel à un modèle de membrane anisotrope. Le comportement de cette membrane est déterminé par des calculs élémentaires à l'échelle d'une barre d'acier. Suivant les résultats de la Section2.5.4, cette rigidité s'écrit :
eN=eEBRαβ (eα⊗eα)⊗(eβ⊗eβ) + 4eEBG(e2⊗se3)⊗(e2⊗se3)
Les indices grecs sont implicitement sommés sur {2,3}, e2 constitue la direction des barres d'acier. De plus,eest l'espacement entre les barres d'acier,EBle module d'Young du béton et les coecients Rαβ etG sont sans dimension. La valeur de ces coecients est précisée dans le tableau ci-dessous.
Paramètre R22 R33 R23 G Valeur 0,182 0,041 0,013 0,019
Le maillage utilisé pour le modèle de référence comporte 205 000 tétraèdres quadra- tiques, et 290 000 n÷uds. De même, le maillage utilisé pour les trois modèles simpliés comporte 100 000 tétraèdres quadratiques, et 144 000 n÷uds. Les quatre problèmes à ré- soudre sont donc des problèmes élastiques, comportant chacun entre 400 000 et 900 000 degrés de liberté. Pour résoudre ces problèmes, on utilise le solveur direct mumps, dis- ponible dans Code_Aster.
Résultats obtenus et analyse
La déformée obtenue pour la solution de référence est présentée sur la Figure3.23. La grandeur physique que l'on compare entre les diérentes modélisations est le déplacement vertical en bout de plaque, au point A (voir Figure3.20). Dans le tableau ci-dessous, on présente le déplacement vertical obtenu pour les diverses modélisations, ainsi que l'écart relatif des modélisations simpliées à la solution de référence.
Modèle Déplacement vertical (µm) Écart relatif (%)
Modèle de référence -87,1
Modèle sans armatures -119,0 36,6
Modèle de grille -84,0 -3,6
Modèle de membrane -87,3 0,2
Les résultats sont tout à fait conformes à ce que l'on pouvait attendre. La modélisation la plus simple, qui consiste à ne pas modéliser les armatures du tout, est très grossière.
L'erreur relative sur le déplacement vertical en bout de plaque dépasse 30 %, ce qui n'est pas acceptable. Lorsque les armatures sont modélisées par un modèle de grille, l'erreur sur le déplacement est inférieure à 5 %. Enn, le modèle de membrane anisotrope donne d'excellents résultats, le déplacement vertical étant correctement estimé à 0,2 % près.
Dans un régime de comportement élastique, le modèle de membrane est donc beaucoup plus précis que le modèle de grille, l'erreur relative par rapport à la solution de référence étant diminuée d'un facteur 10. Ce résultat était attendu, dans la mesure où la rigidité du modèle de grille est calculée de façon analytique, tandis que celle du modèle de membrane est déduite de calculs élémentaires à l'échelle d'une cellule périodique. Cependant, on note que le modèle de grille ne donne pas de si mauvais résultats eu égard à sa simplicité.
Les modèles de grille et de membrane sont donc validés dans un régime de compor- tement élastique. Le modèle de grille s'avère moins précis que le modèle de membrane, mais il présente l'avantage d'être beaucoup plus simple à mettre en ÷uvre. Il est donc mieux adapté à une utilisation dans un contexte d'ingénierie. Pour compléter la valida- tion de ces modèles, il reste à valider le modèle de grille avec décohésion dans un régime de comportement non-linéaire.
3.4.2 Modélisation d'une extraction d'armatures