Séparation des échelles de longueur

L'objectif de la séparation d'échelle est d'identier un comportement eectif pour une microstructure donnée. Cette microstructure est supposée périodique, ou quasi- périodique, et l'idée est de construire le comportement limite de ce matériau lorsque la taille de la microstructure tend vers zéro. Dans cet objectif, il est nécessaire de donner une dénition claire de la microstructure. On introduit donc les paramètres de longueur suivants : la taille de la structure complète est notée H, tandis que la taille d'un motif périodique est notéeh. Comme notre modèle décrit une grande variété d'hétérogénéités, il est dicile de donner une dénition générale de ces paramètres, mais en pratique, H est la plus petite dimension de la structure complète, tandis que h est la plus grande dimension d'un motif d'hétérogénéité, c'est-à-dire le maximum de ℓ, ||a|| et ||b||. Dans toute la suite, le rapport entre ces deux échelles est notéη=h/H, qui est donc un petit paramètre sans dimension.

Un point clé dans la séparation d'échelle est de séparer proprement la description de la microstructure de celle de la structure complète. Cette séparation peut être introduite de la façon suivante. Le volumeΩpeut être séparé en deux parties : le domaine extérieur homogène, éloigné de la surfaceΓ, et le domaine intérieur, au voisinage de la surfaceΓ. Le domaine extérieur (qui sera au nal identié à Ω\Γ) est homogène, et peut donc être décrit classiquement par un unique système de coordonnées macroscopique. Inver- sement, le domaine intérieur hétérogène doit être décrit par un système de coordonnées à deux échelles, pour pouvoir décrire les hétérogénéités. Dans cette région, comme la microstructure est périodique, la position d'un point peut être dénie par deux données indépendantes : la position du motif périodique auquel le point appartient, et sa position relative dans le motif. La première donnée est notéex_i, et décrit le centre géométrique du motif. C'est un vecteur, qui prend des valeurs discrètes, et vérie par dénitionx_i ∈Γ. On peut voir ce vecteur comme la position macroscopique du point (voir Figure2.7).

Si la position réelle du point physique est donnée par le vecteur position X, la dié- renceX−x_i est un petit vecteur, décrivant la position relative du point à l'intérieur du motif périodique. En introduisant le rapport d'échelles η, on dénit la position du point dans le motif périodique par :

y= 1

η(X −x_i) (2.2)

Par dénition,y∈R×Y, avecYla section transverse du motif périodique. Ce volume est appelé la cellule périodique, et sera notéeYpar la suite. Notons que la cellule périodique

1₁

12

Figure 2.7 Séparation des coordonnées dites macroscopiques et microscopiques. Les coordonnées macroscopiquesx_idécrivent le centre du motif périodique, et les coordonnées microscopiques ηy décrivent la position relative du point dans la cellule périodique.

n'est pas bornée dans la direction transverse. Le vecteury∈Yprend des valeurs conti- nues, et détermine la position relative du point dans la cellule élémentaire. Comme la microstructure est périodique, cette position relative est dénie modulo les deux vecteurs a/η etb/η, et nous avons :

y+ 1

η(na+mb)≡y ∀(n, m)∈Z²

Cette relation signie que les champs physiques doivent êtrea/η- etb/η-périodiques par rapport à la variabley. Les champs respectant cette propriété de périodicité seront dits y^′-périodiques dans la suite.

La position réelle X d'un point à proximité de l'interface est donnée par le couple (xi,y) ∈ Γ×Y, x_i prenant des valeurs discrètes et y prenant des valeurs continues périodiques. Notons quex_i etysont tous les deux de l'ordre deH, ce qui simpliera les développements par la suite. Lorsqueηtend vers zéro, la microstructure devient très ne, et les valeurs prises par x_i deviennent dense dans l'ensemble continuΓ. Ceci justie que l'on considèrex_icomme un paramètre continu, notéx^′dans la suite des développements.

Avec cette approximation, la position d'un point est dénie par deux paramètres continus indépendants, ce qui peut s'écrire :

X(x^′,y) =x^′+ηy (2.3)

Notons que, lorsque la microstructure n'est pas périodique, il est bien plus dicile de dénir rigoureusement les échelles microscopiques et macroscopiques. Pourtant, on ne voit pas ce qui empêcherait de dénir un comportement eectif aux grandes échelles.

Il s'agit là d'un point dicile de la théorie de l'homogénéisation, qui a été étudié par plusieurs auteurs [42,45].

Par la suite, nous utiliserons les deux systèmes de coordonnées, suivant le domaine auquel on s'intéresse :

Ω\Γ Γ

y1

y2

y3

Y

Figure 2.8 Le problème original est séparé en un problème microscopique et un pro- blème macroscopique. À l'échelle macroscopique, les hétérogénéités se réduisent à une simple interface, tandis qu'à l'échelle microscopique, les hétérogénéités forment un ré- seau inni périodique. La cellule périodique Y est bornée dans les directions y₂ et y₃, mais innie dans la direction y1.

1. À l'échelle macroscopique, un point du domaine extérieur Ω\Γ est déni par les coordonnées macroscopiques cartésiennes x = (x₁, x₂, x₃), avec la base orthonor- male associée (e₁,e₂,e₃). La coordonnéex₁ décrit la distance (signée) d'un point au planΓ, tandis que les deux autres coordonnées décrivent le plan tangent. Notons quee₂ ete₃ ne sont pas nécessairement alignés avecaetb. Un point(0, x₂, x₃) de Γsera identié à x^′ = (x₂, x₃).

2. À l'échelle microscopique, un point du domaine intérieur Γ×Yest caractérisé par les coordonnées macroscopiques x^′ = (x₂, x₃) et les coordonnées microscopiques y= (y₁, y₂, y₃), qui sont déduites des coordonnées macroscopiques à proximité de l'interface via la relation (2.2). Les coordonnées périodiques y^′ = (y₂, y₃)décrivent la position relative d'un point dans le plan tangent, tandis quey₁décrit la distance d'un point au plan moyenΓ.

2.2.3 La décomposition des champs