Proposition d'un modèle simplié

recherche suggèrent qu'il est possible de modéliser de façon relativement simple le débit de fuite d'une structure en béton. Dans la suite de ce chapitre, nous présenterons deux modélisations tridimensionnelles similaires pour des structures en béton précontraint.

Notons que des travaux de recherche assez proches ont été réalisés dans le domaine des géomatériaux, pour simuler le phénomène de fracturation hydraulique des roches.

Ce phénomène désigne la propagation d'une ssure sous l'eet d'une forte pression de uide injecté dans la ssure. Ce phénomène peut être intéressant, lorsqu'on souhaite par exemple augmenter le rendement d'un puit de forage, ou très néfaste, lorsqu'il aboutit à la déstabilisation d'un barrage hydraulique. On peut citer dans ce domaine les travaux de Boone et Ingraea [90], Ng et Small [97], Selvadurai et Nguyen [103], Alfano et al.

[89], et Segura et Carol [101,102].

4.1.2 Proposition d'un modèle simplié

estimer le nombre de Reynolds de la façon suivante : Re= Dm

µ ℓ_f

En utilisant cette relation, la condition Re≤1000s'écrit : ℓ_f ≥ D_m

1000µ

La viscosité de l'air à température ambiante est de l'ordre de 2.10⁻⁵ Pa.s. Si l'on fait l'hypothèse que le débit massiqueD_mest égal au débit maximum admissible de l'enceinte, on obtient ℓ_f ≥3 m. On peut penser que cette inégalité est vériée en pratique, car les fuites d'une enceinte sont dues à de nombreuses ssures réparties dans plusieurs zones.

On fera donc l'hypothèse dans la suite des développements que l'écoulement d'air dans les ssures est laminaire.

On cherche à présent à estimer le nombre de Mach de cet écoulement. D'après le modèle de Poiseuille, la vitesse du uide au centre de la ssure s'écrit :

V(0) = 3D_m

2ρ ℓ_fw (4.2)

Cette vitesse est maximale lorsque la densité du uide est minimale, c'est-à-dire lorsque ρ = ρext au débouché de la ssure. Pour estimer cette vitesse, il nous faut estimer l'ouverture de la ssure. On réécrit donc la relation (4.1) sous la forme suivante :

w= ³

s D_mL α ℓ_f(p²_int−p²_ext)

On suppose toujours que le débit D_m est maximal, et on fait l'hypothèse que ℓ_f est de l'ordre de 10 mètres. On obtient alors w ≈ 120µm. En réintroduisant dans la relation (4.2), on obtient :

V ≤80 m/s

Comme la vitesse des ondes sonores à la pression atmosphérique est de l'ordre de 330 m/s, le nombre de Mach de cet écoulement est inférieur à 0,25. L'écoulement d'air dans les ssures reste donc subsonique.

Un modèle de Poiseuille compressible

On se propose de développer un outil de calcul de débit de fuite relativement simple, en se basant sur les ordres de grandeur décrits précédemment. On se donne une ssure, assimilée à une surface régulièreΓ⊂R³. Les points de cette surface sont notésx^′∈Γ, et l'ouverture de la ssure est notée w(x^′). On suppose que cette ouverture est très petite devant les dimensions de la surfaceΓ. Le bord de la surface est partitionné en trois parties

∂_intΓ,∂_extΓ et∂₀Γ (voir Figure4.5).∂_intΓdésigne le bord de la ssure qui débouche sur l'intérieur de l'enceinte, ∂_extΓ celui qui débouche sur l'extérieur de l'enceinte, et∂₀Γ le

11

1

Figure 4.4 Représentation d'une ssure de largeurℓ_f, traversant le mur d'une enceinte de connement d'épaisseurL.

1_{1 2 3}2 2 1₄₅₃2

1₁2

112

Figure 4.5 La ssure modélisée est assimilée à une surface Γ. Les débouchés de la ssure sur les faces interne et externe sont notés∂_intΓet ∂_extΓ, et le front de ssure est noté∂0Γ.

front de ssure. On noteq_m(x^′)le ux de masse dans la ssure, exprimé enkg.m⁻¹.s⁻¹, etp(x^′) la pression de l'écoulement en tout point de la ssure.

On fait l'hypothèse que l'écoulement de uide dans la ssure est isotherme, ce qui est justié tant que la capacité thermique de l'air est négligeable devant celle du béton.

Sous cette hypothèse, l'écoulement de uide est gouverné par trois équations, que sont l'équation de conservation de la masse, l'équation d'état qui relie la densité du uide à sa pression, et une loi de perte de charge qui relie le gradient de pression au débit massique de uide. L'équation de conservation de la masse s'écrit simplement :

div_Γ(q_m) = 0

Dans cette relation, l'opérateur div_Γ désigne la divergence du ux sur la surface Γ. On suppose également que le uide se comporte comme un gaz parfait. Il obéit donc à l'équation d'état suivante :

p= ρRT

M (4.3)

Enn, on fait l'hypothèse que l'écoulement dans les ssures est de type Hagen-Poiseuille, c'est-à-dire parabolique dans l'épaisseur de la ssure (voir Figure 4.6). On néglige donc dans un premier temps la rugosité des lèvres de la ssure. La relation entre le ux de masse et la pression s'écrit alors :

q_m=−ρ w³

12µgrad_Γ(p)

Le termegrad_Γdésigne le gradient de la pression le long de la surfaceΓ. En introduisant la relation d'état (4.3) dans la relation précédente, on obtient

q_m =−α w³grad_Γ(p²),

où le coecient α est une constante caractéristique de l'écoulement, dénie par

α= M

24µ T R.

Pour compléter le système d'équations, il reste à dénir les conditions limite de l'écou- lement. On suppose qu'il n'existe pas de perte de charge localisée aux débouchés de la ssure. La pression est donc xée respectivement à p_int et p_ext sur les faces interne et externe de l'enceinte. Par ailleurs, au niveau du front de ssure, le débit de masse doit être tangent au front. Cette condition s'écritq_m·n= 0.

L'écoulement de uide dans la ssure obéit donc au système d'équations suivant :

















q_m=−α w³grad_Γ(p²) sur Γ div_Γ(q_m) = 0 sur Γ

p=p_int sur ∂_intΓ p=pext sur ∂extΓ q_m·n= 0 sur ∂₀Γ

(4.4)

Figure 4.6 Prol de vitesse pour un écoulement laminaire de Hagen-Poiseuille.

On reconnaît dans ce système une équation de Poisson classique sur la variablep², avec des conditions aux limites mixtes de Neumann et Dirichlet.

Ce modèle est un modèle très simplié, qui néglige la rugosité des lèvres de la ssure, ainsi que d'éventuels phénomènes de turbulence. La non-planéité des lèvres de la ssure se traduit par une augmentation du chemin parcouru par le uide, ainsi que par une diminution de l'ouverture eective. Elle tend donc à réduire le débit de fuite de la ssure.

De même, les phénomènes de turbulence induisent une source de dissipation supplémen- taire, qui augmente les pertes de charge. Ils diminuent donc également le débit de fuite.

On peut ainsi s'attendre à ce que le modèle proposé soit conservatif.

Dans la littérature, il est proposé d'introduire dans la formule de Poiseuille un co- ecient de tortuosité, qui traduit un chemin supplémentaire parcouru par le uide en raison de la tortuosité de la ssure. La loi d'écoulement s'écrit alors :

q_m =−α κ w³grad_Γ(p²) Le paramètre κest un paramètre dit de tortuosité, qui vérie :

0< κ≤1

Ce paramètre est généralement ajusté empiriquement pour reproduire le débit de fuite mesuré expérimentalement. D'après Niklasch et Herrmann [98], ce paramètre varie géné- ralement entre 0,05 et 0,4. En d'autres termes, on peut s'attendre à ce que le modèle de Hagen-Poiseuille, déni par le système (4.4), surestime le débit de fuite d'un facteur 2 à 20.