Réseaux d'armatures

Pour en revenir au sujet qui nous intéresse, on peut s'intéresser au comportement eectif de barres d'armature dans une structure en béton. Étudions donc le comportement d'un réseau de barres unidirectionnelles dans un volume homogène (voir Figure2.12). Ces barres sont des cylindres, de rayonrhet d'axe e₂. Elles sont périodiquement distribuées dans la direction e₃, avec un espacement h. On suppose que ces barres sont disjointes, ce qui s'écrit 0 ≤ r < 1/2. Les vecteurs périodiques à l'échelle macroscopique sont donc a = αe₂ et b = he₃, avec α une constante arbitraire. À l'échelle microscopique, les champs physiques sont donc indépendants de y₂, et la cellule périodique peut être réduite au domaine Y = R×(−H/2, H/2) dans le plan (e₁,e₃). L'armature est située dans le domaineD={(y₁, y₃) | ||y||< rH}, de sorte que :

λ(y₁, y₃), µ(y₁, y₃)

=

((λ^m, µ^m) si y∈ D/ (λⁱ, µⁱ) si y∈ D

Encore une fois, les plans (e₁,e₂) et(e₁,e₃) sont des plans de symétrie de la cellule élémentaire. Comme dans les exemples précédents, on en déduit que le tenseur L est diagonal, que les seules composantes non nulles du tenseur M sont M₁₂₂ et M₁₃₃, et que les composantes non nulles du tenseur N sont N₂₂₂₂, N₂₂₃₃, N₂₃₂₃, N₃₃₃₃ et leurs composantes symétriques. En revanche, la cellule périodique ne présente ici pas d'autres invariances. Les tenseursL,M etNpeuvent donc se mettre sous la forme :

L= s_i

E^me_i⊗e_i M=cα e₁⊗(eα⊗e_α)

N=E^mR_αβ (e_α⊗e_α)⊗(e_β⊗e_β) + 4E^mG(e₂⊗se₃)⊗(e₂⊗se₃)

Précisons ici que les indices répétés trois fois sont implicitement sommés, les indices grecs variant de 1 à 2 et les indices latins de 1 à 3. La souplesse du comportement d'interface

élastique est caractérisée par les trois paramètres(s1, s2, s3), le couplage entre le saut de déplacement et les déformations membranaires est caractérisé par les deux paramètres (c₂, c₃), et le comportement de membrane de l'interface est caractérisé par le tenseur symétrique du second ordreR, ainsi que par le scalaireG. Ce dernier caractérise la rigidité de cisaillement du comportement de membrane, tandis que le tenseur R caractérise les rigidités uniaxiales dans les directions e₂ et e₃, ainsi qu'un couplage entre ces deux directions. Le comportement homogénéisé du réseau de barres est donc caractérisé par neuf coecients indépendants. Précisons ici que tous ces paramètres sont sans dimension, et dépendent du rayon relatif des barres d'armaturer, du rapport de rigiditéθ=E^m/Eⁱ, ainsi que des coecients de Poissonν^m etνⁱ.

Ces coecients sont calculés numériquement, on considérant que la matrice est un béton courant, et que les barres sont constituées d'un acier standard. On se place donc dans la situation oùr= 1/20,E^m= 30 GPa,ν^m = 0,22,Eⁱ= 200 GPaetνⁱ= 0,3. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau suivant.

Paramètre s₁ s₂ s₃ c₂ c₃

Valeur −0,0085 −0,028 −0,022 −0,0013 −0,00052

R₂₂ R₃₃ R₂₃ G

0,045 0,010 0,0032 0,0047

D'après le signe de ces coecients, on constate que le tenseurLest déni négatif, tandis que le tenseur N est déni positif. Ceci est cohérent avec les résultats que nous avons obtenu dans le cas d'une couche homogène : lorsque les inclusions sont plus rigides que la matrice, le comportement d'interface élastique tend à être instable, tandis que le comportement de membrane est stable. On observe également que ces coecients varient en valeur absolue de 1 % à 5 %, et sont donc toujours petits devant 1. Ceci signie que, dans un régime linéaire, les armatures en acier ont peu d'inuence sur le comportement des structures en béton armé. Ceci s'explique de la façon suivante : bien que les armatures soient plus rigides que le béton, leur proportion volumique est également très faible. Leur inuence sur le comportement de la structure est donc limitée.

Réseau d'armatures orthogonales

En pratique, les armatures forment rarement un réseau de barres unidirectionnelles.

Dans les structures en béton armé, les armatures sont généralement disposées selon un motif orthogonal, et forment ainsi un treillis de barres. On se propose donc d'étudier le comportement mécanique eectif de ce second motif de ferraillage. Les barres d'arma- tures sont toujours des cylindres, de rayonrh. On distingue les barres horizontales, d'axe e₂, et les barres verticales, d'axee₃. Les barres verticales et horizontales sont distribuées périodiquement suivant les directionse₂ ete₃, avec un même espacementh. Sur chantier, les barres de ferraillage horizontales et verticales peuvent être soudées, ligaturées, ou sim- plement mises en contact. Pour simplier notre étude, on suppose ici que les barres d'ar- matures sont légèrement décalées d'une distance ±phdans la direction e₁, de sorte que les barres d'armature verticales et horizontales ne rentrent pas en contact. On évite ainsi

1

1

1

2

34123

32

1

1

1

3

423

Figure 2.13 Réseau de barres cylindriques organisées selon un motif orthogonal.

l'apparition de singularités de contraintes localement. Pour que les armatures ne rentrent pas en contact, on doit avoir0≤r < petr <1/2. Les vecteurs de périodicité à l'échelle macroscopique sont simplementhe₂ ethe₃, et on peut choisir comme volume élémentaire périodique le volumeY=R×(−H/2, H/2)² (voir Figure 2.13). Les armatures horizon- tales et verticales sont situées dans les domaines Dh =

y

(y₁+pH)²+y₃²< r²H² et Dv =

y

(y₁−pH)²+y²₂ < r²H² . Le comportement du matériau dans le volume élémentaire périodique s'écrit donc :

λ(y), µ(y)

=

((λ^m, µ^m) si y∈ D/ h∪ Dv

(λⁱ, µⁱ) si y∈ Dh∪ Dv

Comme dans l'exemple précédent, le motif périodique est laissé invariant par les symétries par rapport aux plans(e₁,e₂) et(e₁,e₃). Les tenseurL,M etNpeuvent donc se mettre sous la forme :

L= s^′_i

E^me_i⊗e_i M=c^′_α e₁⊗(e_α⊗e_α)

N=E^mR^′_αβ (e_α⊗e_α)⊗(e_β⊗e_β) + 4E^mG^′ (e₂⊗se₃)⊗(e₂⊗se₃)

En plus de ces symétries, la cellule périodique est laissée invariante par une transfor- mation un peu particulière, qui compose symétrie plane par rapport au plan(e2,e₃), et rotation deπ/2 par rapport à l'axe e₁. Les tenseurs L, M etNdoivent donc être laissés invariants par cette transformation. On en déduits^′₂ =s^′₃,c^′₂ =c^′₃ etR^′₂₂=R^′₃₃. Le com- portement eectif du réseau d'armatures orthogonales est donc caractérisé par seulement six coecients indépendants, que sonts^′₁,s^′_α,c^′_α,R^′_αα,R^′₂₃etG^′. Ces six coecients sont sans dimension, et dépendent du rayon relatif r des armatures, de l'excentrementp, du rapport de rigiditésθ=E^m/Eⁱ et des coecients de Poissonν^m etνⁱ.

Ces coecients sont calculés numériquement, on considérant que l'acier et le béton ont des comportements standards, soit pour le bétonE^m= 30 GPaetν^m= 0,22, et pour l'acier Eⁱ = 200 GPa et νⁱ = 0,3. Les paramètres géométriques choisis sont r = 0,05 et p = 0,06. Les valeurs obtenues pour les coecients sont présentées dans le tableau suivant.

Paramètre s^′₁ s^′_α c^′_α R^′_αα R^′₂₃ G^′ Valeur −0,017 −0,050 −0,0018 0,056 0,0064 0,0094

On retrouve un comportement très semblable à l'exemple précédent. On constate que les tenseursLetNsont respectivement négatif et positif, ce qui se traduit par un comporte- ment d'interface élastique instable. On observe également que les valeurs des coecients restent petites devant1, ce qui traduit une inuence des armatures sur le comportement de la structure relativement faible. En comparant les valeurs des coecients calculées pour cet exemple et le précédent, on observe également un phénomène intéressant. On constate numériquement que :

s^′₁≈2s1 s^′_α≈s2+s3 c^′_α≈c2+c3

R^′_αα≈R₂₂+R₃₃ R^′₂₃≈2R₂₃ G^′ ≈2G

En d'autres termes, le comportement du réseau d'armatures orthogonales est quasiment identique à la superposition du comportement de deux réseaux rectilignes perpendicu- laires. Ceci signie que l'interaction entre les réseaux d'armatures verticales et horizon- tales est négligeable dans le comportement eectif de la nappe d'armature. Ce résultat n'était pas vraiment attendu, dans la mesure où les armatures verticales et horizontales sont presque en contact.

Modèle simplié de membrane

On peut chercher à quantier plus précisément l'inuence d'une nappe d'armature sur le comportement d'une structure en béton armé. Intéressons-nous tout d'abord au comportement d'interface élastique de la nappe d'armatures. Si l'on néglige le tenseur de couplage M, le saut de déplacement dans le problème eectif (2.62) est alors donné par :

[[U]] =hL·(Σ·e₁)

Si l'on considère l'exemple d'une nappe d'armatures orthogonales, la plus grande compo- sante du tenseurLen valeur absolue ests^′_α/E^m. La souplesse de l'interface peut donc être estimée à hs^′_α/E^m. Pour xer les idées, on suppose que la nappe d'armatures présente un espacement h de 20 cmentre les barres d'acier. On en déduit que la nappe d'arma- ture présente une souplesse du même ordre qu'une couche de béton d'une épaisseur de hs^′_α, soit1 cm. À l'échelle d'une enceinte de connement de 1,20 mètres d'épaisseur, ce comportement d'interface élastique semble donc assez négligeable. De la mêm façon, on peut quantier l'inuence du comportement de membrane de la nappe d'armature. En négligeant toujours le terme de couplage, ainsi que le poids propre des armatures, le saut de contrainte dans le problème eectif (2.62) s'écrit :

[[Σ]]·e₁+div_Γ hN:ε_Γ(U)

=0

Dans cette relation, le tenseurhNs'interprète comme une rigidité de membrane. La plus grande composante du tenseur N est E^mR_αα. La rigidité de membrane des armatures est donc de l'ordre dehE^mR_αα, ce qui correspond approximativement à la rigidité d'une

couche de béton d'une épaisseur de hRαα, soit 1 cm. Si l'on rapporte cette grandeur à l'épaisseur d'une enceinte de connement, on peut de toute évidence négliger le compor- tement des barres d'armature.

Dans une première approche, on pourrait donc se contenter de négliger l'inuence des barres d'armature sur le comportement de la structure. Ceci revient à considérer que les tenseurs L, M et N sont nuls dans la formulation du problème eectif (2.62), qui devient alors identique au problème mécanique d'ordre 0 dans le domaine extérieur (2.17). Cependant, en pratique, les armatures jouent un grand rôle dans le comportement d'une telle structure, en limitant l'ouverture des ssures qui peuvent apparaître dans le béton. Pour modéliser ce type d'eets, c'est le comportement de membrane qui est le plus pertinent. On peut donc choisir de simplier notre problème eectif, en identiant les tenseursLetMà zéro, et en ne conservant que le tenseurN. On choisit également de négliger le poids propre des armatures. Les conditions de transmission dans le problème eectif (2.62) s'écrivent alors :

[[U]] =0 [[Σ]]·e₁+div_Γ(hN:ε_Γ(U)) =0

Le saut de déplacement devient donc continu au travers de la nappe d'armature, tandis que le saut de contrainte reste discontinu. Ce saut de contrainte est dû à la rigidité de membrane de la nappe d'armatures. Ce comportement de membrane est caractérisé par le tenseur de rigiditéhN, dont les composantes ont été calculées précédemment. Les champs de déplacement cinématiquement admissibles (2.63) pour ce problème sont donc les suivants :

C=n

w= (w₁, w₂, w₃)

w∈H¹(Ω)³, (w₂, w₃)∈H¹(Γ)², w=u^d sur ∂_uΩo L'énergie potentielle eective (2.64) de ce problème devient par conséquent :

Peff(w) = 1 2

Z

Ω\Γ

ε(w) :A^m:ε(w) dx− Z

∂^FΩ

F·wdS− Z

Ω

ρ^∗g·wdx +h

2 Z

Γ

ε_Γ(w) :N:ε_Γ(w) dx^′

Cette formulation présente de multiples avantages. Tout d'abord, comme le tenseur N est déni positif, la fonctionnelle Peff est strictement convexe. Le point stationnaire de cette fonctionnelle sur l'ensembleC des champs de déplacement cinématiquement admis- sibles est donc unique, et constitue le minimum global de Peff surC. Par ailleurs, cette formulation s'appuie sur des éléments de membrane, qui sont simples à implanter, et relativements courants dans les codes de calcul éléments nis. Notons cependant que le comportement de la membrane est anisotrope, ce qui complique légèrement la formulation du comportement.