O Apprenti Géomètre 2

O Apprenti Géomètre é um software de geometria desenvolvido pelo “Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (CREM)62_{” para atender à proposta do} Ministro da Educação Básica da comunidade francófona na Bélgica, de fornecer um software de matemática para crianças e adolescentes que lhes permitissem realizar atividades de geometria em um ambiente dinâmico diferente do contexto tradicional em que a geometria é explorada: de forma estática e apenas por meio de papel e lápis (SILVA, 2016).

Esse software oferece alguns menus em sua tela inicial – A, B, C, AB e AC – que encapsulam conjuntos de ferramentas diferentes a depender do nível de escolaridade que se deseja atender. Esses menus restringem algumas funcionalidades e, por vezes, agrupam-nas, como no caso dos menus AB e AC. Nessa janela de abertura do AG 2, ainda é preciso, para ter acesso à interface desse software, que o usuário se identifique como “professor” ou “aluno”, escolha o idioma e clique em “Ok”. Para fazer o login, o aluno deve se identificar escrevendo o seu nome, de forma que o professor poderá depois ter acesso a seu histórico de atividades desenvolvido (SILVA, 2016, p. 264). Já sobre o acesso do professor a esse sistema, Silva (2016, p. 267) traz que:

O professor pode traçar atividades iniciais, definir menus para deixar acessível ao aluno e decidir as ferramentas que estarão disponíveis à atividade que será proposta, ou seja, um menu de controle no qual os alunos só poderão utilizar as ferramentas que serão compatíveis com o planejamento do professor. Esse software encontra-se disponível em <http://www.crem.be >é livre e gratutito e pode ser instalado em computadores com o sistema operacional Windows, Mac OSX, Mac 0S9 e Linux. No 61 _{Apresentamos uma análise mais detalhada desse software por ser o mais conhecido pelo autor desta pesquisa.} Ele foi utilizado como um dos recursos para investigar o tratamento dado por estudantes do 6º ano do ensino fundamental a um conjunto de tarefas sobre área de figuras planas em nossa dissertação de mestrado (SILVA, 2016). É dele que vem a inspiração para o desenvolvimento de um novo micromundo a partir de suas potencialidades e limitações para o ensino e aprendizagem dos conceitos de área e perímetro.

62_{Centre de Recherche sur l’Enseignement dês Mathématiques (CREM) é um grupo de pesquisa responsável} pelo projeto de elaboração do Apprenti Géomètre nas versões 1 e 2. A elaboração do projeto desse software contou com a participação dos seguintes integrantes: Michel Ballieu, Marie-France Guissard, Guy Noël, Nicolas Roucheet Marie-François e Van Troeye. Este Centro está localizado na 5 rue Émile Vandervelde, B-1400 Nivelles, Belgique.

referido site encontramos ainda tarefas predefinidas63 _{com o uso do Apprenti} Géomètre 2 e utilizadas nas pesquisas desenvolvidas pelo CREM. Há também um manual de utilização e publicações referente ao impacto do Apprenti Géomètre 2 na aprendizagem de áreas de figuras planas.

Atualmente, o AG 2 encontra-se na versão 2.5.7, na qual é possível ter acesso ao menu em “português” que fora traduzido em nossa dissertação (SILVA, 2016) para ser utilizado em nosso dispositivo experimental com alunos do 6º ano de uma escola pública municipal, uma vez que só existiam versões em inglês e francês. A versão utilizada em nossos estudos (SILVA, 2016) foi a 2.4. Os desenvolvedores detectam as falhas e bugs ocorridos que são enviados automaticamente pelo software quando em situação de uso, de forma que há sempre atualizações, em que alguns ajustes são realizados para melhorar seu desempenho.

A figura a seguir ilustra a janela inicial do AG2:

Fonte: da pesquisa

As opções de menus presentes na figura acima oferecem ferramentas diferentes para o usuário, como explicitamos anteriormente. O menu “A” foi programado para crianças da comunidade francófona da Bélgica com idade de 8 a 12 anos. De acordo com Silva (2016), nesse menu, denominado de Figuras Padrão, o aluno tem acesso a um conjunto de figuras 63 _{Essas atividades foram desenvolvidas pela CREM com o objetivo de fazer um estudo com alunos da} comunidade francófona na Bélgica por meio do Apprenti Géomètre 2.

geométricas predefinidas, organizadas, segundo Rouche e Skilbecq (2003), em “famílias”: a do quadrado, do triângulo equilátero e a do pentágono regular.

A título de ilustração, vamos detalhar a “família” do quadrado. Seus membros são os polígonos mostrados na Figura 22, a saber: um quadrado; um triângulo retângulo isósceles, obtido por meio da decomposição do quadrado pela diagonal; um paralelogramo, obtido pela junção de dois triângulos retângulos isósceles, a partir de decomposição do quadrado pela diagonal; um octógono regular com um lado do mesmo comprimento que o quadrado; um triângulo isósceles, obtido cortando o octógono em oito triângulos. Como vimos, nós vamos de alguns deles para outros, por simples operações de decomposição e recomposição, justaposição e fusão (ROUCHE; SKILBECQ, 2003)64.

Fonte: (ROUCHE; SKILBECQ, 2003)65_.

No Brasil, traduzimos por “Jogo de Base”, pois não utilizamos o termo “famílias de figuras” da mesma forma que na Bélgica, pelos desenvolvedores do AG 2. No texto citado, o círculo não está contido nessas “famílias”, mas no próprio software o círculo faz parte da “família” do quadrado, do triângulo e do pentágono regular. Muitas dessas figuras podem ser utilizadas como unidades de medidas de áreas não convencionais em tarefas de medida de área e mudança de unidade, as quais permitem a passagem da grandeza ao número por meio da escolha de uma unidade. Nesse caso, o resultado esperado é um número seguido de uma unidade (BELLEMAIN; LIMA, 2002). Essas unidades também podem ser usadas na construção de diferentes mosaicos.

As figuras do menu Figuras Padrão podem ser substituídas por novos “Jogos de Base”. No menu Preferências, localizado na barra de ferramentas superior do AG 2, há uma opção também denominada de Figuras Padrão, na qual o usuário pode escolher um novo conjunto de

64 _{Mais detalhes sobre famílias de figura podem ser encontrados em Rouch e Skilbecq (2003a), no Apprenti}

Géomètre: un nouveau logiciel -Première partie: le kit standard, que está em nossas referências.

65_{O leitor pode encontrar as decomposições dessas figuras no manual do Apprenti Géomètre 2 disponível em} <http://www.crem.be > . Acesso em 24 de agosto de 2019.

figuras geométricas, tais como o jogo Tangram e os conjuntos de peças de poliminós (monominó, dominó, triminó, tetraminó e pentaminó), entre outros.

A ilustração abaixo apresenta alguns desses conjuntos de figuras:

Fonte: da pesquisa

Santana (2006) afirma que o tangram e os poliminós podem favorecer as questões da mudança de unidade e do uso de diferentes superfícies unitárias associadas a uma mesma unidade, contribuindo para estabelecer a articulação entre o quadro numérico e o quadro das grandezas e da distinção entre figura e área, como explicitado na seção recursos.

Com relação a esta questão, Douady e Perrin-Glorian (1989) explicam que, atribuindo a uma determinada figura as medidas por ladrilhamento e utilizando diferentes formas de ladrilhos, contribui-se para a construção da noção de área como grandeza autônoma. Para essas autoras, esse tipo de situação ajuda os alunos a distinguirem a área do número, controlando a correspondência entre figuras e números, na qual a uma mesma figura poderão corresponder números diferentes segundo uma unidade escolhida, mas a área não muda (SILVA, 2016, p. 83). Esse tipo de tarefa é importante na superação das concepções numéricas de área.

Diferente do menu Figura Padrão, que traz um conjunto de figuras geométricas predefinidas, sendo preciso apenas um clique sobre a figura com o mouse e depois na interface do software para que as figuras sejam criadas, o menu Figuras à mão livre permite a construção da figura por meio de alguns cliques, exigindo do aluno um conhecimento mais elaborado para construir diferentes figuras (SILVA, 2016).

No menu Figura Padrão, por exemplo, se o usuário selecionar um triângulo equilátero, clicando em qualquer ponto da tela, mostra um triângulo equilátero do

qual ele não escolhe nem grandeza nem orientação. No entanto, o usuário que selecionar o triângulo equilátero do menu “Figuras a mão livre” deve primeiro clicar em um ponto A de sua escolha, então um segundo ponto B, e o software então mostra um triângulo equilátero de que AB é um dos lados. O usuário não tem escolha do lado AB, onde o triângulo é construído, uma vez que o último ponto é desenhado no sentido trigonométrico (ROUCHE; SKILBECQ, 2003b, p.1- Tradução nossa)66_.

Como ilustração a essa situação de construção, esses autores apresentam os seguintes triângulos, como se estivem sendo construídos no AG2:

Fonte: (ROUCHE; SKILBECQ, 2003b, p.1)

Então, para construir um triângulo equilátero, dois cliques devem ser dados definindo dois pontos. O software determina a terceira direção para formar o triângulo no sentido anti- horário positivo. O menu “Figuras a mão livre” permite trazer para a tela do AG 2 uma maior variedade de figuras em relação ao Figuras Padrão. Para explicitarmos a ideia de construção dessas figuras contida nesse menu, as quais diferem de outros software de GD, trazemos um outro exemplo de como construir um paralelogramo não retângulo e não quadrado.

O usuário (professor ou aluno) precisa determinar dois pontos A e B, o que dará um primeiro lado da figura; em seguida, deve clicar em um terceiro ponto C, de modo que BC é um segundo lado do paralelogramo. Esse, sendo determinado pelos dois lados adjacentes, então aparece na tela do AG 2.

66_{Pour plus de clarté, repartons du kit standard. Celui-ci amène à l’écran des figures prédéterminées. Par} exemple, si l’utilisateur sélectionne triangle équilatéral, alors par un clic en un point quelconque de l’écran, il fait apparaître un triangle équilatéral dont il ne choisit ni la grandeur, ni l’orientation. Par contre, l’utilisateur qui a sélectionné triangle équilatéral dans le kit libre doit d’abord cliquer en un point A de son choix, puis en un deuxième point B, et le logiciel fait apparaître alors un triangle équilatéral dont AB est un des côtés. L’utilisateur n’a pas le choix du côté de AB où se construit le triangle, puisque ce dernier se dessine dans le sens trigonométrique (ROUCHE; SKILBECQ, 2003b, p.1).

A Figura a seguir mostra três exemplos.

Fonte: (ROUCHE; SKILBECQ, 2003b, p.1)

De acordo com Rouche e Skilbecq (2003b, p. 2), em síntese cada figura é determinada por sua definição e por elementos (vértices, lados etc.) que são suficientes para a sua construção. Este método de construção induz perguntas pedagogicamente interessantes, como por exemplo: por que o paralelogramo é determinado por dois lados adjacentes?

Ainda para esses autores, uma vez que uma figura é desenhada, ela pode ser modificada "com o mouse", após ter sido acionada a ferramenta “Modificar” sem deixar de cumprir sua definição. Por exemplo, do paralelogramo ABC, desenhando no ponto C, gera os demais paralelogramos como mostrado na figura 25. Ele também pode deformar a figura puxando em A, B ou C, mas não no quarto ponto.

Este tipo de deformação contínua também induz perguntas interessantes: como é que, distorcendo um paralelogramo, podemos obter um retângulo, um quadrado, um losango?67

67 _{Mais explicações sobre as ideias que estão por trás do objetivo das construções que são realizadas por meio da} escolha de figuras deste menu podem ser encontradas no manual do AG 2 e em diferentes volumes das pesquisas realizadas pelo CREM que estão disponíveis em <http://www.crem.be > na aba Nos recherches e Publications, todas disponíveis para download.

Figura 26- Paralelogramos criados com o uso do menu “modificar”

Fonte: (ROUCHE; SKILBECQ, 2003b, p.1)

Em suma, as figuras disponíveis no menu “Figuras a mão livre” são todas as variedades clássicas de triângulos e quadriláteros, polígonos regulares de 5 a 12 lados, e polígono qualquer de 5 a 10 lados, segmento, segmento paralelo e perpendicular, ponto, circunferência e arco.

Entendemos ser pertinente ao professor esse tipo de menu que permite a criação de figuras, pois por meio deles podem ser construídas tarefas em que, dada uma figura, pede-se que se construa outras de área menor, maior ou de mesma área. Segundo Silva (2016), esse tipo de situação, em que a ênfase é dada na produção de superfícies, permite ora a articulação entre o quadro geométrico e o das grandezas, nos procedimentos em que o aspecto numérico é bloqueado, ora a articulação entre os quadros numérico e geométrico. A produção de superfície pode conduzir o aluno na dissociação entre área e figura, assim como área e número, levando-o a entender área como uma grandeza autônoma.

No menu “Ferramentas”, pode ser encontrada a opção “malhas” em que é possível trazer diretamente para a tela do software a malha pontilhada quadriculada ou a isométrica (pontilhada triângular). Ambas as opções possuem um magnetismo que fixa os vértices de uma figura qualquer construída na tela do AG 2 no pontilhado. Não há como construir uma figura fora dos pontos da malha. As figuras criadas podem ser movidas, decompostas, duplicadas ou divididas. Além disso, diversas ações podem ser realizadas, entretanto, é importante ressaltar, na malha quadrada não é possível construir um triângulo por meio do menu “Figuras à mão livre”, nem tampouco um quadrado desse mesmo menu na malha isométrica.

Pelo fato de o software não oferecer a opção da malha quadriculada, tivemos que construir uma malha utilizando a ligação de quadradinhos do menu Figuras Padrão, para desenvolver a atividade 4 da nossa pesquisa (SILVA, 2016). Construir uma malha da maneira como foi produzida no software requer tempo e torna-se custoso. Para elaborar tarefas de área por meio de uma malha quadriculada, o professor precisaria conhecer o AG 2 em um nível

mais profundo de familiarização, porém, nesse software, é possível utilizar o menu malhas pontilhadas quadradas e isométricas implementadas no mesmo, mas qual seria o porquê da necessidade de uma malha quadriculada? Santana (2006, p. 93) coloca que

as malhas podem aparecer articulando-se com o conceito de área na exploração de unidades não padronizadas, possibilitando a composição de figuras com os lados podendo coincidir, ou não, com as linhas das malhas no procedimento de representação de figuras em malhas quadriculadas. Alguns de seus contornos, que não coincidem com as linhas dessas malhas, permitem realizar a compensação das unidades (quadradinhos) que cabem na figura.

Ainda para Santana (2006, p. 95), as malhas podem servir, também, como um facilitador, para a obtenção da fórmula algébrica da área de algumas figuras, como, por exemplo, na figura do retângulo, representada em uma malha quadriculada, em que a contagem das unidades, organizadas em linhas e em colunas, pode vir a colaborar com a observação do cálculo da área pelo produto das medidas dos lados.

De acordo com Pessoa (2010), dos três recursos investigados por Santana (2006), a malha é o mais utilizado pelos professores e aparece com certa frequência nos livros didáticos. Isso nos motivou a realizar a tarefa em uma malha quadriculada e não nas pontilhadas que estão presentes no AG 2.

Um dos primeiros conhecimentos que os estudantes podem utilizar para comparar duas grandezas geométricas sem medir é a sobreposição, em particular no caso da área. O Apprenti Géomètre 2 valoriza a geometria das transformações e inclui um comando para cada uma das transformações isométricas que permitem o movimento das figuras, mantendo-as congruentes: translação, rotação e reflexão.

Franchi et al. (1992, p. 38) relata que a análise desses movimentos é importante em vários aspectos. Um deles é favorecer a percepção e a capacidade de análise de movimentos, tais como translação e rotação em torno de um ponto, rotação em torno de um eixo. Defende também que essas atividades fazem parte da experiência diária de todos, além de propiciar o desenvolvimento de habilidades de visualização.

Essas habilidades permitem visualizar uma figura em diferentes posições e prever elementos geométricos das figuras, criando hipóteses como “essa montagem superpõe-se a esta por meio de translação” ou “este lado é congruente a este”. Para esses autores, tais habilidades devem ser desenvolvidas de modo gradativo pelos alunos, a fim de que, em seguida, possam realizar tarefas mais complexas. Esses tipos de movimentos na figura permitem ao aluno perceber que as transformações isométricas do plano conservam a área, ou seja, que a área é invariante por isometrias.

Para Silva (2016), além de o Apprenti Géomètre 2 trazer em seus menus uma geometria voltada para crianças dos anos iniciais do ensino fundamental, é importante destacar um diferencial em relação aos demais software de geometria que são explorados nesta subseção: a implementação da ferramenta “Decomposição” do menu “Operações”. Por meio dela é possível decompor uma figura, pela diagonal, pela vertical ou horizontal, ou de diferentes formas com a criação e ligação de pontos (menu Figuras à mão livre) sobre a figura. Entretanto, para que essa decomposição aconteça, é preciso conectar esses pontos criados na figura com dois dos vértices da mesma, não há possibilidade de criar pontos internos na figura, ligá-los e recortar o meio da figura, por exemplo.

Essa ferramenta é pertinente em atividades de comparação de áreas, pois quando comparamos duas superfícies de formas diferentes, uma das maneiras de saber se elas possuem ou não mesma área é adotar o procedimento de decompor uma delas e recompor uma nova possível de comparar por sobreposição. Caso as duas coincidam após tal procedimento, pode-se afirmar que terão as mesmas áreas.

Outro fato a ser destacado é que, ao decompor uma figura no software, por trás dela, fica algo denominado pelo CREM (2017) de “formulários” (a mesma figura sem ser decomposta). Para os autores supracitados, isso é importante para os alunos perceberem a origem das peças decompostas, relembrando o formato original da figura. Mas as experiências vivenciadas por nós em oficinas com professores (BARROS; SILVA, 2016; SANTANA; SILVA; BARROS, 2016), assim como na resolução das tarefas sobre área da nossa pesquisa (SILVA, 2016), a pergunta que sempre surge é: qual o porquê da figura continuar por trás se ela foi decomposta? Esses professores expõem ainda que isso pode atrapalhar a reflexão dos alunos na ação de decompor e poluir a interface do software com muitas figuras.

Bug68 _{com o uso dessa ferramenta foram detectados por um estudante de Pós-} Graduação69 _{que tinha como objetivo construir algumas atividades para sua pesquisa de} mestrado e para isso precisou usar a ferramenta “decompor” em algumas figuras, mas ao salvar e abrir o arquivo, a seguinte mensagem era gerada: “rotina não implementada”, e em seguida, a mensagem de erro não permitindo que o arquivo fosse aberto (APÊNDICE A).

Procuramos então entender o porquê deste bug aparecer. Construímos um quadrilátero qualquer por meio da ferramenta “Quadrilátero” do menu “Figura a mão livre” e, em seguida criamos alguns pontos dentro da figura. Após esses procedimentos, acionamos a ferramenta

68_{Defeito, falha ou erro no código de um programa que provoca seu mau funcionamento.}

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Esse software vem sendo utilizado em outras pesquisas no EDUMATEC-UFPE, assim como temos utilizado o AG 2 em nossos estudos, várias dúvidas são nos enviadas sobre esse software.

decompor, e seguimos os passos para a decomposição do quadrilátero construído. A imagem abaixo apresenta a decomposição realizada e a mensagem de erro que é gerada após abrirmos o arquivo salvo:

Fonte: da pesquisa

Após realizarmos esse procedimento, concordamos então com a estudante que a ferramenta decomposição precisa ser ajustada e o erro corrigido, pois pode atrapalhar a construção de atividades em que seu uso seja necessário.

Embora essa ferramenta tenha se mostrado pertinente para que os alunos resolvessem diferentes tarefas sobre área em nossa pesquisa (SILVA, 2016) ajudando-os na superação das concepções geométricas, foi preciso um tempo longo de familiarização para que eles compreendessem as diferentes formas de decompor figuras. Esse fato nos permitiu perceber que a maneira com que o AG 2 lida com a decomposição não se mostra tão econômica.

A ferramenta de decomposição pode ser utilizada ainda para destacar como unidade de medida de comprimento um lado de qualquer polígono do menu Figuras Padrão. Para isso, o usuário precisa selecionar a ferramenta “Decompor”, deve clicar em um dos vértices da figura e arrastar até o outro sem ser pela diagonal, ou seja, ligar os dois vértices que delimitam o segmento que compõe um dos lados da figura, assim teremos a cópia daquele segmento.

Outra característica presente no AG 2 que pode contribuir para o desenvolvimento de situações para o ensino de área são as ferramentas duplicar e fundir. A primeira permite a reprodução de cópias idênticas da figura desenhada e qualquer alteração na figura original, por meio da ferramenta Modificar, afeta as outras que surgiram a partir dela. A segunda faz uma espécie de fusão entre duas figuras colocadas por justaposição dos lados. Para esse