Diferentes recursos no ensino e aprendizagem de área e perímetro

Pesquisas em educação matemática realizadas no Brasil já há algum tempo têm se debruçado sobre as potencialidades do uso de diferentes recursos informáticos51 e não informáticos, como forma de aprimorar o ensino e a aprendizagem de área e perímetro de figuras planas, outras usam recursos para diagnosticar as dificuldades dos alunos com relação a esses conceitos (DUARTE, 2002; FACCO, 2003; PESSOA, 2010). Há ainda o estudo de Santana (2006), que mostra a insuficiência de recursos em livros didáticos como um fator negativo ao trabalho do professor para o ensino de área e perímetro.

Dos recursos encontrados nesses estudos, temos o Tangram (DUARTE, 2002; FACCO, 2003; SANTANA, 2006), as malhas quadriculadas (FACCO, 2003; SANTANA, 2006; PESSOA, 2010) e os poliminós (SANTANA, 2006). Essas pesquisas utilizaram a abordagem de área como grandeza, explicitada no capítulo anterior, e serão apresentadas a seguir.

50_{As pesquisas analisadas nesta subseção foram escolhidas pelo fato dos autores terem utilizado em seus estudos} a abordagem de área como grandeza.

51 _{Na dimensão informática realizamos um estudo da arte sobre o uso de recursos digitais, por exemplo, software} de geometria dinâmica e suas potencialidades e limitações para o ensino e aprendizagem de área e/ou perímetro.

Duarte (2002) realizou uma investigação exploratória, a partir de um estudo de caso com um grupo de 73 alunos da 5ª série do ensino fundamental anos finais (atualmente, 6º ano), de uma escola da rede pública estadual. Desses alunos, foram selecionadas quatro duplas. Tendo como aporte teórico a Teoria dos Campos Conceituais, o autor elencou como objetivo diagnosticar noções, procedimentos, invariantes operatórios (teoremas em ação e conceitos em ação) que seriam mobilizados por esses sujeitos na resolução de um conjunto de atividades relacionadas às situações que dão sentido a áreas desenvolvidas por Baltar (1996), a saber: comparação de área, medida de área e produção de superfície.

Nessas situações pesquisadas, o autor explorou dois tipos de abordagem: a primeira, centrada em atividades abordando objetos dos quadros geométricos e das grandezas, sem numerização e a segunda, apresentando atividades envolvendo objetos dos quadros numérico, geométrico e das grandezas com unidade de medidas não convencionais. Para responder as atividades propostas, o pesquisador entregou alguns materiais para os alunos, dentre eles, “malhas quadriculadas e triangulares” e o “tangram”.

Na atividade 04 da 2º seção, intitulada “trabalhando com o tangram”, o objetivo foi investigar a ação do aluno em uma situação em que deveria perceber a comparação das áreas por sobreposição, decomposição/recomposição, pela mudança de unidade de área e as relações entre as áreas e das peças causadas por essa mudança. Foi observado que os alunos não tiveram dificuldades pelo fato de poderem manusear diferentes peças desse quebra-cabeça de forma dinâmica, mostrando compreender que figuras com formas diferentes podem ter a mesma área e que uma mesma figura pode possuir medidas diferentes a depender da unidade de medida utilizada, mas que a área permanece invariável.

Com relação ao uso das malhas, ora é possível observar que as figuras construídas sobre elas são pintadas (em que não é possível verificar de forma direta os quadradinhos que a compõem), ora as figuras são desenhadas e os quadrados que a compõem destacam-se na malha. Sobre essas duas variáveis controladas pelo autor, pode-se observar que, particularmente, o contexto de papel quadriculado ou triangular parece ser um ambiente que favorece a resolução de problemas envolvendo medida, uma vez queos procedimentos adotados nas atividades em papel quadriculado ou triangulado foi quase sempre o esperado, ou seja, a contagem de unidades para em seguida estabelecer as áreas.

Assim como Duarte (2002), que utilizou o tangram e as malhas como meio para diagnosticar dificuldades na aprendizagem de área, Facco (2003) também utilizou esses recursos em seu estudo e a abordagem de área como uma grandeza. Como suporte teórico, essa autora utilizou a dialética ferramenta-objeto e mudanças de quadro Régine Douady

(1986) e a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1993). Tendo como objetivo os estudos dos fenômenos que interferem no processo de ensino aprendizagem do conceito de área no ensino fundamental, apresentou uma proposta para o ensino do conceito de área por meio de uma sequência didática envolvendo a decomposição e recomposição de figuras planas. Os sujeitos de sua pesquisa foram alunos e professores do ensino fundamental. Em uma das atividades dessa sequência, a autora utilizou tanto malhas quadriculadas como triangulares. Segundo essa autora, a mudança de malha é uma escolha didática que intenciona a identificação de diferentes unidades de medida de área. E, quando essas unidades estão destacadas na malha, os alunos tendem a contar os quadradinhos ou triângulos que expressarão a medida da área das figuras. Na atividade das malhas, diferente de Duarte (2002) que utiliza apenas figuras poligonais no estudo das áreas, Facco (2003) traz figuras não poligonais como apresentamos na ilustração abaixo:

Fonte: Facco (2003, p. 65)

Ela ainda coloca que essa atividade na malha quadriculada poderia ajudar os alunos a responderem, utilizando a técnica de compensação (composição e decomposição) ou a contagem para justificarem que existem figuras com mesma área, mas com formas diferentes. Como previsto, 87,5% dos alunos responderam utilizando o método da compensação (decomposição e recomposição) e 22,5% dos alunos contaram a quantidade de quadradinhos para responderem essa atividade.

Com relação ao uso do tangram, Facco (2003) realizou atividades que permitiram aos alunos em sua pesquisa construírem (montarem) diferentes figuras em posições diversas com as peças desse jogo. Essa possibilidade ofereceu condições para os alunos perceberem a invariância da área por isometrias, que os formatos das figuras podem mudar e a área se manter invariável, como também a composição de diferentes figuras com as mesmas peças do tangram unidas pela justaposição de seus lados podem ter o perímetro reduzido ou aumentado.

Outro resultado que pode ser identificado nessa atividade diz respeito à composição de duas figuras, ou seja, a medida da área da figura montada é a soma das medidas das áreas

das duas figuras que a compõem (peças do tangram) e que o perímetro é a soma das medidas dos lados da figura final. Facco (2003), concluindo sua pesquisa, coloca que a proposta para o ensino e aprendizagem de área desenvolvida em seu estudo é satisfatória e pode ser confirmada por meio da aplicação da sequência de atividades realizadas com o uso de diferentes recursos, como os que foram apresentados.

Pessoa (2010), por sua vez, utilizou em sua pesquisa apenas as malhas quadriculadas, realizando, por meio delas, um estudo diagnóstico com 100 alunos do 6º ano do ensino fundamental. Assim como em Duarte (2002), duas variáveis são levadas em conta nas atividades de sua pesquisa: ora as figuras são dispostas nas malhas e não é possível visualizar os quadradinhos que a compõem, ora é possível identificá-los. O foco do seu estudo é com figuras poligonais na malha, mas assim como Facco (2003), algumas delas possuem superfícies arredondadas e, por vezes, não se encontram com seus lados apoiados nos lados dos quadradinhos que compõem a malha.

Pessoa (2010) queria identificar se o uso da malha quadriculada favorecia o procedimento de contar quadradinhos no cálculo das áreas e se esse procedimento prevaleceria no cálculo das áreas de triângulos, e de uma figura não poligonal, assim como se a malha fosse ou não visível. Como resultados, essa autora coloca que o uso da malha propiciou a operação de medida da área por meio da contagem de quadradinhos, ou seja, medir a área neste contexto corresponde a determinar quantas vezes o quadradinho cabe dentro da figura. Ainda para ela, neste processo realizam-se duas operações distintas, uma geométrica e outra numérica. “No caso do cálculo da área na malha quadriculada, a operação geométrica corresponde a ladrilhar a figura e a numérica a contar a quantidade de quadradinhos” (PESSOA, 2010, p. 106). Ao tratar da contribuição das malhas em sua pesquisa, ela destaca que:

• a possibilidade de aceitar que a medida da área pode ser um valor fracionário. Isso significa ampliar o conjunto imagem da função-medida, dos naturais para os racionais positivos;

• possibilita a compreensão da área enquanto grandeza através do procedimento de decomposição e composição, evidencia a invariância da área por equidecomponibilidade (se duas superfícies podem ser decompostas em um número finito de partes, duas a duas congruentes, estas superfícies possuem a mesma área);

• a escolha de uma superfície unitária (área do quadradinho), a partir da qual a medição da área limita-se a verificar quantas vezes a superfície unitária cabe na figura; (ideia de área unidimensional, ou seja, a medida da área da superfície é obtida pela quantidade de quadradinhos que podem ser obtidos (formados) a partir da superfície da figura dada);

• a contagem de quadradinhos ajuda na interpretação e ideia da dedução de fórmulas; possibilita o cálculo de figuras sem necessidade de dados numéricos; (PESSOA, 2010, p. 109-110).

Essa autora conclui seu estudo afirmando que o uso da malha quadriculada pode contribuir com o ensino do cálculo de área de figuras planas.

Diferente das pesquisas anteriores, Santana (2006) realizou um estudo em livros didáticos sobre o uso de recursos no qual indica contribuições possíveis da utilização do tangram, das malhas e dos poliminós na construção do conceito de área como grandeza geométrica, mas também mostra que esses recursos são pouco explorados nos livros didáticos pesquisados.

Com relação ao uso da malha, essa autora ressalta que:

Na comparação de áreas, através da medida de área, as malhas são recursos didáticos que facilitam a articulação entre o quadro numérico e o quadro das grandezas; ao se escolher a superfície unitária, favorece a contagem de ladrilhos que compõem a figura plana representada. A mudança de unidade de área provoca a mudança de medida de área, mas há invariância de área (SANTANA, 2006, p. 37).

Santana (2006) afirma ainda que o tangram e os poliminós podem favorecer as questões da mudança de unidade e do uso de diferentes superfícies unitárias associadas a uma mesma unidade, contribuindo para estabelecer a articulação entre o quadro numérico e o quadro das grandezas e da distinção entre figura e área:

Destacamos, como um importante papel do tangram e poliminós, a manipulação das peças na construção de diferentes figuras planas, servindo de suporte para auxiliar na dissociação entre área e figura. Nas representações de figuras planas nas malhas quadrada, triangular ou retangular, justamente ao se conservar a figura, vê-se esse recurso como um auxiliar à compreensão das quantidades de quadrados, triângulos ou retângulos, que essa figura plana possui. Não é a manipulação dos objetos nem a construção de figuras em malhas que podem garantir a aprendizagem, mas, essas representações, possivelmente, contribuem para facilitar a reflexão e a compreensão sobre os aspectos geométricos e numéricos de área, ou seja, a construção de área como grandeza geométrica (SANTANA, 2006, p. 61).

Santana (2006) enfatiza em seu estudo que a exploração de recursos nos livros didáticos é incipiente e há uma necessidade do trabalho acentuado com o uso de trangram, malhas quadriculadas e poliminós, por exemplo. Entretanto, apenas as malhas quadriculadas aparecem com frequência nas atividades propostas nos livros didáticos analisados por essa autora.

Nas pesquisas apresentadas, o recurso é tido como um meio para diagnosticar e por vezes intervir no ensino aprendizagem de área e perímetro. O estudo do recurso em si, na sua totalidade não foi encontrado em nenhuma delas, mas são apresentados de forma que pudemos identificar sua potencialidade para o ensino e aprendizagem de área de figuras planas.

Entendemos então que as malhas quadriculadas e triangulares, o tangram e os poliminós produzidos e utilizados em papel, borracha, plástico, madeira (ambientes não digitais) mostraram-se pertinentes para o ensino de área e perímetro de figuras planas. Pretendemos, então, implementar tais recursos em um micromundo e verificar suas possíveis potencialidades para o estudo desses conceitos.