Comparação

De acordo com Bellemain (2000), na classificação das situações de comparação, consideramos algumas variáveis didáticas, cujos valores diferentes possíveis no contexto do ensino fundamental conduzem a favorecer ou bloquear procedimentos de resolução, correspondendo a propriedades distintas do conceito e, portanto, a invariantes operatórios distintos.

Com relação às situações estáticas e dinâmicas do quadro 1, essa autora coloca que “as primeiras são aquelas em que, dadas duas ou mais superfícies, pede-se apenas para compará- las, neste caso, as superfícies não sofrem efeitos de movimento. As situações dinâmicas de comparação dizem respeito à conservação ou variação da área relacionada ao estudo dos efeitos de deformações e transformações geométricas” (BELLEMAIN, 2000, p.8).

Complementarmente, a autora revela uma segunda distinção fundamental que diz respeito a problemas de seriação e de comparação: “nos problemas de seriação (ordenar mais de duas superfícies do ponto de vista de suas áreas), a transitividade da relação de ordem é necessária, o que não ocorre na comparação de duas superfícies. A tarefa de seriação é, portanto, mais complexa que a comparação das áreas de duas superfícies”. (BELLEMAIN, 2000, p. 8).

Ainda para essa autora, outras variáveis importantes são a natureza das superfícies a comparar (superfícies quaisquer, figuras geométricas usuais, retângulos, paralelogramos, ...) e o suporte ou tipo de papel sobre o qual são desenhadas as superfícies (papel branco, quadriculado, pontilhado, ...). As estratégias de comparação são significativamente diferentes segundo os diversos valores de cada uma destas variáveis, como veremos através da explicitação dos procedimentos de resolução possíveis para essa situação (BELLEMAIN, 2000, p. 9).

Com relação aos procedimentos de resolução, Bellemain (2000) chama-nos a atenção para a distinção a ser feita entre os processos numéricos e não numéricos, uma vez que nos procedimentos numéricos há uma situação de medida implícita: o aluno mede as áreas para comparar as medidas obtidas e deduz a ordem das áreas da ordem dos números. Nos procedimentos de comparação numérica estão implícitos os invariantes: “dada uma unidade de área, a superfície cuja medida é maior tem maior área”, “a medida menor é a de menor área” e “duas superfícies de mesma medida têm mesma área”. A atividade a seguir ilustra esse tipo de situação.

Fonte: da pesquisa

Para Bellemain (2000, p. 9), a utilização de procedimentos deste tipo pode favorecer a concepção segundo a qual a área é um número, seja ele o número de quadradinhos necessários para cobrir a superfície, ou o número obtido usando uma fórmula. Mas ela pode também contribuir na passagem de concepções geométricas à construção da área enquanto grandeza, na medida em que superfícies de mesma medida podem ter mesma área, mesmo tendo formas distintas.

Os procedimentos não numéricos estão relacionados à área enquanto grandeza unidimensional quando as áreas de duas superfícies podem ser comparadas sem a intervenção de outras grandezas, como por exemplo, a grandeza comprimento (FERREIRA, 2010) em que não estão nítidos os procedimentos de resolução que recaem diretamente ao aspecto numérico, como explicitado na atividade apresentada na figura 16. Com relação a essa situação, colocamos em evidência algumas classes de procedimentos de resolução:

Inclusão e sobreposição: Sobrepondo-se uma superfície S1 por deslocamento em S2 essa por sua vez, estando contida totalmente no interior de S2, se dirá que a área de S1 é menor que a área de S2. Se as áreas de S1 e S2 coincidirem por sobreposição, após a aplicação de transformações isométricas do plano, diremos que as duas superfícies têm mesma área.

Equidecomposição: este procedimento consiste na decomposição das superfícies e

comparação dos pedaços obtidos.

Decomposição e recomposição (corte e colagem): esse procedimento consiste em

decompor uma determinada superfície S em duas superfícies distintas S1 e S2, e montar uma figura S’ por meio da recomposição de S1 e S2 sem perda nem

sobreposição. Nesse caso, S’ terá mesma área que S. Essa questão também se estende à decomposição de S em um número finito de partes (SILVA, 2016, p. 35)

Os teoremas em ação subjacentes à inclusão e sobreposição correspondem à invariância da área por isometrias e à aditividade das áreas. Quanto à equidecomposição, temos que “superfícies equidecompostas têm mesma área” e decomposição e recomposição “o corte-colagem sem sobreposição e sem perda conserva a área”. De acordo com Bellemain (2000), esse tipo de procedimento tem um papel central na construção da área enquanto grandeza, pois não é necessária a intervenção dos números para comparar por corte e colagem. Além disso, superfícies de formas diferentes podem ter mesma área.

Ferreira (2010), em sua dissertação de mestrado, apresenta uma ampliação na classe de situações dinâmicas de comparação relacionadas a variações de área e de perímetro em que é possível identificar duas subclasses: “as situações que estão relacionadas com o estudo das variações de área e do perímetro ao longo de deformações e de transformações geométricas, e as que estão relacionadas com a otimização de área dentro de algumas limitações, como por exemplo, a invariância do perímetro” (FERREIRA, 2010, p. 31). Para essa autora, com relação às deformações, temos o seguinte:

envolvem atividades sobre a área e o perímetro de um paralelogramo, situação central nas construções dos invariantes, que permitem conservar a área e o perímetro das superfícies usuais, e em particular, contribuem para a aquisição das fórmulas e a apropriação da dissociação das variações das áreas e dos perímetros, no caso particular dos paralelogramos. A otimização da área em que são dadas as condições, envolve todos os problemas do tipo “achar a maior área para um perímetro fixo”, por exemplo, dentro de um conjunto de superfícies (FERREIRA, 2010, p. 31).

Em nosso estudo, não damos ênfase ao emprego das fórmulas das áreas das figuras, pois a ideia é que o professor, por meio de diversos recursos que serão oferecidos no micromundo, possa criar situações que proporcionem ao aluno construir o conceito de área como uma grandeza e não simplesmente decorar as fórmulas para o cálculo da área das figuras planas que pode conduzir, se muito antecipada, a uma concepção numérica da área.