Requisitos Referentes a Dimensão Epistemológica

4.1.1 Equivalência de área Euclides - quadratura de figuras

Dizemos que figuras planas são equivalentes quando possuem mesma área98. Para permitir trabalhar a ideia de equivalência de área em Euclides e alguns passos para a quadratura de polígonos mais usuais (triângulo - paralelogramo - retângulo - quadrado), o software deverá levar em conta os seguintes elementos:

1- Todo paralelogramo é equivalente a um retângulo de base e altura respectivamente congruentes às do paralelogramo. (Proposição 36 do livro 1);

2- Todo triângulo é equivalente a um paralelogramo de base congruente à do tri- ângulo e metade da altura do triângulo. (Proposição 42 do livro 1);

3- Construir um quadrado igual a um retilíneo dado (retângulo). (Proposição 14 do livro 2).

Para isso, o software oferecerá a possibilidade do usuário construir os seguintes polígonos: • Triângulos: bastará definir o tipo por meio da escolha de três pontos não colineares; • Paralelogramos: determina-se com três cliques do mouse ambos os lados adjacentes e

o software completa a construção;

• Retângulo: para desenhar o retângulo, o procedimento é o mesmo do paralelogramo, o software deverá impor restrições quanto ao ângulo e o comprimento dos lados. 4.1.1.1 A quadratura do triângulo99

Para fazer a quadratura do triângulo, primeiramente o software deverá oferecer condições de transformá-lo em um paralelogramo equivalente. Para isso, bastará permitir construir um triângulo qualquer, selecionar um botão com a função que conduzirá a tal transformação, em seguida clicar em um dos lados do triângulo. Automaticamente, aparecerá um paralelogramo equivalente.

98 _{Mas duas figuras de mesma área não necessariamente são equivalenetes.}

99 _{A quadratura do paralelogramo e do retângulo estão contidas na explicação referente a do triângulo. Queremos} ressaltar que a quadratura diz respeito a obter um quadrado de mesma área que uma figura dada, mas nessa passagem há muita coisa que não está relacionada a quadratura, ou seja, quando se passa de um triângulo para o paralelogramo, não estamos fazendo uma quadratura, e sim, uma equidecomposição.

O segundo passo será análogo ao anterior, para transformar o paralelogramo em retângulo, o software deverá oferecer uma ferramenta que, ao ser acionada e em seguida clicado em um dos lados do paralelogramo possa surgir um retângulo equivalente. Por último, uma ferramenta que permita transformar automaticamente o retângulo em um quadrado equivalente, seguindo os passos descritos anteriormente. Assim, o MS, além de oferecer condições de construir separadamente os polígonos supracitados, deverá conter três ferramentas: triângulo para paralelogramo, paralelogramo para retângulo e retângulo

para quadrado, finalizando com a soma de quadrados (Pitágoras), como apresentamos a

seguir.

4.1.1.2 Ferramenta para tratar o teorema de Pitágoras

“Fizemos a comparação de figuras geométricas através da equivalência e, para isso, reduzimos cada figura dada a uma figura mais simples: “o quadrado- por meio da quadratura” (SANTANA, R., 2015). Agora, detalharemos o comportamento de uma ferramenta que permita somar áreas de quadrados pelo Teorema de Pitágoras, proposição 47 dos elementos de Euclides, Livro I: Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.

4.1.1.2.1 Comportamento da ferramenta

Para somar as áreas de dois quadrados quaisquer, o Magnitude deverá oferecer: uma ferramenta que possibilite ao usuário construir quadrados predefinidos, determinando com dois cliques um de seus lados, sendo que o software terminará a construção respeitando o sentido anti-horário em curso. Em seguida, a possibilidade de justapor esses quadrados por um de seus lados. Por fim, um botão com a função que permita, após ter sido acionado, clicar em um dos quadrados e prontamente no outro, gerando, automaticamente, um novo quadrado com a soma da área dos outros dois.

Fonte: (SANTANA, R., 2015, p. 34) Figura 78- Soma de Quadrados

Não necessariamente as partes decompostas precisam ficar destacadas no novo quadrado gerado.

4.1.1.3 Decomposição e recomposição

Decomposição e recomposição de figuras: (método da partição) iniciado pelos

egípcios e mesopotâmicose estudado de forma mais aprofundada por Euclides, David Hilbert, entre outros: consiste em para calcular a área, tenta-se dividir uma figura em um número finito de partes, de tal modo que essas partes possam compor uma figura de área a qual conhecemos (BOLTIANSKI, 1981).

4.1.1.3.1 Decomposição

As figuras criadas no MS poderão ser decompostas pela diagonal, vertical, horizontal ou de diferentes formas por meio da ligação de pontos sobre a figura. Para realizar a decomposição da figura pela diagonal, alguns passos devem ser levados em conta. Tendo sido acionada a ferramenta “Decomposição”, deve-se escolher um dos seus vértices, selecioná-lo e arrastá-lo até o outro, clicando-o ao final com o botão esquerdo do mouse.

Quanto às decomposições pela vertical e horizontal, poderá ser livre, apenas pela ligação de pontos. Todavia, caso o usuário deseje dividir em partes congruentes, será preciso primeiro, com o botão de decomposição ativado, clicar duas vezes em um dos segmentos da figura. Então, uma janela com os números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 surgirá na tela e o usuário poderá escolher um desses números. Automaticamente, o software dividirá o segmento proporcionalmente em até 10 partes. O usuário deverá realizar o mesmo procedimento no segmento paralelo e, em seguida, ligar os pontos para que as figuras sejam decompostas. Ainda na opção decomposição, aparecerão as seguintes opções: “ponto central e corte livre”.

Fonte: da pesquisa

A opção ponto central permitirá criar, no centro da figura, um ponto que passa a lhe pertencer. Após a criação desse ponto central, será preciso apenas selecionar a ferramenta “Decompor”, escolher um dos vértices da figura, ligar ao ponto central com o botão esquerdo do mouse e concluir, arrastando até o outro vértice da figura, para assim ser realizado mais um processo de decomposição como apresentado na figura anterior.

Ainda oferecerá outra forma de decompor por meio do “Corte livre”. Ao escolher essa ferramenta, deve-se clicar sobre a figura para selecioná-la. Em seguida, devem-se construir diferentes pontos livres em seu interior, clicar sobre um deles e ir arrastando até os outros. A decomposição ocorrerá quando, no último ponto que fecha a figura, for dado um clique duplo. Como ilustramos a seguir:

Fonte: da pesquisa

Assim que for realizada a união dos pontos, a parte decomposta se destacará da figura como apresentado na ilustração acima.

4.1.1.3.2 Recomposição

Para realizar a recomposição da figura, devem-se justapor as partes decompostas, clicar na opção recomposição, em seguida na primeira parte da figura e logo após na segunda. O software deverá então fazer a junção das duas partes em uma única figura (SILVA, 2016).

4.1.2 Ferramenta para explorar a equidecomposição (Hilbert).

Equidecomposição: De acordo com Pressiat (2008, p. 468) “Duas figuras P e P' são equivalentes, se for possível escrever cada uma delas na forma de reuniões de triângulos que não se sobrepõem”: [ P = T1 U T2 U ... U Tn e P’ = T’1 U T’2 U ... U T’n ] de modo que, para

cada i, os triângulos Ti e T’i são congruentes. Para esse tipo de decomposição, precisaremos de ferramentas que permitam a construção de diferentes quadriláteros e uma que decomponha-os em triângulos. Acreditamos que a triangularização nos permite trabalhar com a equidecomposição de figuras a partir das ideias de David Hilbert presentes na dimensão epistemológica.