Comparação de área

Ao clicarmos em “aprender”, a seguinte tela aparecerá:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

A ideia nesta tela é que o usuário reflita sobre qual dos dois personagens tem a folha maior. Não há uma opção para ser inserida a resposta, trata-se de uma situação apenas para a reflexão. Após clicar em avançar, a personagem Hytapia coloca que a folha dela é a mais extensa, automaticamente no aplicativo a folha de Tobias se sobrepõe à de Hypatia, como forma de justificar o porquê de ele ter a folha menor, como ilustra a imagem a seguir:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

Como aportes, pudemos identificar que é explorada, por meio deste episódio, a relação entre o quadro geométrico e das grandezas, sem a intervenção do quadro numérico. Segundo Douady e Perrin-Glorian (1989), a construção da noção de ter mesma área deve anteceder o ensino da medida de área, para que os alunos construam a noção de área como uma grandeza e não como número, e, desta maneira, os alunos compreendam gradativamente a área como um atributo da figura.

Ferreira (2010) ainda coloca que esse tipo de situação não aparece com frequência em livros didáticos, havendo uma predominância de tarefas que tratam de forma enfática a medida da área. Silva (2016) relata que a antecipação desse tipo de situação pode conduzir os alunos à compreensão de área como um número, isto é, à concepção exclusivamente numérica da área.

O episódio 2 também trata da comparação das áreas de duas figuras de forma implícita, acrescendo-se a possibilidade do usuário arrastar as figuras e sobrepô-las. Ou seja, é possível, antes de assinalar a resposta, sobrepor as folhas para identificar qual personagem tem a menor folha, como ilustra a imagem a seguir:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

Observamos nitidamente neste caso que a área da folha de Hipólito é menor que a da folha de Clara. Podemos verificar, nesta situação, um teorema em ação verdadeiro, que justifica essa ação do usuário nos dois episódios, ou mesmo a ideia que está por trás desse procedimento: se uma superfície S1 pode, por deslocamento, estar totalmente contida no interior de uma superfície S2, se dirá que a área de S1 é menor que a área de S2 (BALTAR, 1996).

Outra forma de comparação de área de duas figuras é dada nos episódio 3 e 4, nos quais é trabalhada a ideia de decomposição e sobreposição de figuras para comparar a área e na noção de equivalência (ter mesma área), como ilustramos a seguir:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

Vale salientar que o usuário só poderá arrastar as figuras e sobrepô-las para verificar se possuem ou não mesma área. Não há, portanto, a possibilidade de decompor: essa ação é realizada automaticamente no aplicativo, assim que é avançada a próxima tela. Ao final, após decompor e sobrepor o retângulo amarelo ao azul, é dada uma explicação de que figuras igualmente extensas são equivalentes e, quando duas figuras são equivalentes, diz-se que têm mesma área – como apresentado no passo 6 na imagem acima, por um personagem que representa um professor.

No próximo episódio, é perguntado ao usuário (aluno) se a folha verde é equivalente à azul. Assim como o anterior, é possível comparar por sobreposição, mas a decomposição é realizada pelo aplicativo. Como as figuras não coincidem por sobreposição, diz-se que não são equivalentes e que, nesta situação, não possuem a mesma área, conforme percebemos na figura a seguir.

Fonte: do aplicativo Áreas 1

De acordo com Bellemain (2000, p. 7), quando comparamos duas superfícies somos conduzidos a decidir se elas pertencem ou não a uma mesma classe de equivalência. No episódio acima, pudemos observar que a figura verde não se sobrepõe totalmente à figura azul e por isso ela tem área menor.

A possibilidade de oferecer condições para que o usuário arraste as figuras nos traz uma reflexão pertinente ao estudo de área, em termos de teorema em ação verdadeiro, segundo o qual área de uma figura é invariante por isometria. Da mesma forma, podemos perceber, ainda de forma automática, a decomposição e recomposição ocorrem sem perda nem sobreposição, isto é, conserva a área. Mesmo que esse aplicativo não tenha sido fundamentado na TCC (Teoria dos Campos Conceituais), notamos que, por meio das condições oferecidas pelo aplicativo, ele pode contribuir para que o usuário perceba a invariância da área nestes casos.

Assim, nos episódios 1, 2, 3 e 4, temos um exemplo claro de situação de comparação de áreas sem dados numéricos. Esse tipo de situação contribui para a construção do conceito de área como uma grandeza autônoma, pois, além de evidenciar que figuras diferentes podem ter mesma área ou não, favorece a utilização de procedimentos para compará-las, tais como sobreposição, decomposição e recomposição, diminuindo a força do campo numérico que geralmente é privilegiado no ensino desse conteúdo.

Por outro lado, precisamos destacar que é preciso ter certo cuidado com relação ao vocabulário. As expressões “mais extensa” ou “menos extensa” podem gerar confusões em que uma superfície visualmente e mais espalhada que outra tem mesma área ou ainda que a mais espalhada tenha área menor que a mais compacta. Essa situação pode ser identificada em

nossa pesquisa (SILVA, 2016, p. 168 e 189), em que nas tarefas 1 e 2 os alunos deveriam, respectivamente: indicar se um paralelogramo não retângulo “E” teria a mesma área de um paralelogramo retângulo “A”; e indicar se um paralelogramo não retângulo “E” teria mesma área que um quadrado “A”.

Em ambas as tarefas, as figuras tinham áreas iguais, porém alguns alunos responderam que os paralelogramos não quadrado e não retângulo tinham áreas diferentes, porque eram mais “compridos”. Interpretamos a partir disso que, para eles, as figuras mais esticadas não poderiam ter mesma área que figuras compactas. Voltando ao caso dos episódios analisados: é preciso levar em consideração até que ponto esse vocabulário é válido.

Em uma tela anterior ao episódio 3 há algumas atividades voltadas a ordenar um conjunto de figuras, da menos extensa para a mais extensa. O usuário tem a opção de aplicar rotações nas figuras, sobrepô-las e arrastá-las por toda a tela, para então colocar na ordem que é solicitada. Nestas atividades, temos a presença de figuras poligonais e não poligonais para realizar essa ordenação, como apresentamos a seguir:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

Após ter colocado na ordem solicitada, o usuário pode clicar no bonequinho que apresenta um sinal de correto. Se a ordem estiver correta, ele ficará verde, e, se não, vermelho com um (x). Em qualquer lugar da tela podem ser ordenadas as figuras, porém, para passar para a próxima atividade, o usuário precisa clicar nas duas setinhas que ficam localizadas no

canto superior direito da tela. Nas telas posteriores, continua a ser trabalhada a ideia de figuras equivalentes, por meio de diferentes atividades: com o uso do tangram (telas 25 a 27) e com recomposição de figuras (telas 28). Inclusive, um pdf embutido na tela 19 traz a ideia de que figuras equivalentes têm mesma área.

A palavra área ainda não aparece na situação ilustrada na figura acima, só a partir do episódio 4, após o trabalho com “equivalência de figuras”. Essa atividade é retomada na tela “28”, em que é solicitado que o usuário coloque as figuras, por ordem crescente de suas áreas.

Fonte: do aplicativo Áreas 1

É possível arrastar as figuras na tela do aplicativo para colocá-las em ordem crescente de área, e em seguida, ao avançar, temos uma atividade de reflexão, a qual trabalha com aditividade das áreas. É dado o feedback em uma frase que aparece abaixo da figura, dizendo que a área do triângulo é menor que a do quadrado e que essa, por sua vez, é menor que a da figura azul, como ilustra a imagem seguinte:

Fonte: do aplicativo Áreas 1

Automaticamente, na próxima tela o aplicativo sobrepõe o triângulo e o quadrado à figura azul, mostrando que a (área do triângulo + a área do quadrado = a área da figura azul). Nas figuras 1, 2 e no início da atividade apresentada na figura 3, temos, para ordenação em relação à área, a comparação de três superfícies, o que é denominado por Baltar (1996) de “seriação”, uma situação na qual é necessário colocar em prática a transitividade da relação de ordem. Isso não havia ocorrido até agora nas atividades anteriores, pois só era preciso comparar as áreas de duas superfícies.

Destacamos que, ao oferecer condições para que o usuário arraste as figuras, o aplicativo permite que sejam mobilizados dois tipos de procedimentos de comparação por sobreposição, que permitem ao usuário perceber que, por inclusão, a área do triângulo é menor que a do quadrado e que a figura azul, assim como a área do quadrado verde, é menor que a da figura azul. Nesse caso, temos a comparação das áreas sem recorrer ao aspecto numérico, contribuindo para que o usuário avance no conhecimento, superando também concepções geométricas de área.

A segunda parte da atividade solicita que seja completada a frase: se a área do triângulo (=, +, -) a área do quadrado = a área da figura azul. Esse procedimento, segundo Ferreira (2010), trata-se da adição e subtração de áreas: uma superfície S é decomposta em

duas superfícies S1 e S2, ou em um número finito de partes S1, S2, ...; Sn disjuntos dois a dois (S = S1 U S2 e S1 ∩S2 = ). Com relação a esse tipo de procedimento, temos o seguinte teorema em ação: Se S e S’ são superfícies disjuntas, A (S U S’) = A (S) + A (S’) (BALTAR, 1996).

As noções de dobro, metade e triplo da área de uma dada figura, bem como a possibilidade de continuar exercitando o que foi explorado em relação à adição das áreas em telas anteriores são elementos trabalhados no avançar das atividades.