O Cabri Géomètre

O Cabri Géométre 2 é um software de Geometria Dinâmica desenvolvido por Jean- Marie Laborde e Franck Bellemain no Institut d’Informatique et Mathématique Appliquées de Grenoble (IMAG) (Instituto de Informática e de Matemática Aplicada), da Université Joseph Fourier em Grenoble, França. Sua primeira versão é de 1985 (BALDIN; VILLAGRA, 2002). É um software pago, mas uma versão “demo” pode ser baixada por meio do seguinte endereço <http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/software/soft_geometria.php>.

Ele permite que sejam construídas todas as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos geométricos (PORTAL DA TARGETWARE, 2018).

Ainda nesse site, é possível encontrar a seguinte descrição: O Cabri permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, ele é assim caracterizado como um software aberto podendo ser utilizado desde os anos iniciais do ensino fundamental até a Universidade nas mais diferentes disciplinas Matemática, Física e Geometria Gráfica, por exemplo.

De acordo com Hoffman (2000), esse software oferece um conjunto de ferramentas para a construção de objetos geométricos a partir de propriedades que os definem:

[...] com esta ferramenta, os desenhos dos objetos geométricos são feitos a partir das propriedades geométricas que os definem. Mas não é só isto a riqueza que “software” oferece para o ensino e aprendizagem da geometria, e é aqui que está o seu grande potencial – registrado no seu próprio nome “Cahier de Brouillon Interactive” (Caderno Interativo de Rascunho): por meio de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto temos associada uma coleção de “desenhos em movimento” e os invariantes que aí aparecem correspondem às propriedades geométricas do objeto (HOFFMAN, 2000, p. 2).

Ela coloca ainda que já nos primeiros contatos com o software, ele surpreende, pois “mesmo já sabendo que os recursos do programa dão estabilidade às construções, os alunos produzem essencialmente desenhos do tipo “a mão-livre”, sem a preocupação de preservar as relações geométricas existentes no objeto geométrico” (HOFFMAN, 2000, p. 2). Essa autora se refere aos resultados de sua experiência com uma turma de licenciatura em matemática, na qual era monitora, e expõe que a disciplina de Geometria I tinha como foco para o estudo de conteúdos geométricos o uso do software Cabri Géomètre.

Nesse ponto, ele difere-se do Apprenti Géomètre 2, em que para se construir um quadrado é preciso apenas selecionar a opção quadrado do Menu quadriláteros/Figuras à mão livre, e em seguida definir dois pontos AB (em um dos lados do quadrado) e o software fixa a representação desse quadrado. Ao clicarmos no menu “Modificar” e escolhermos um dos vértices da figura, se o arrastarmos, ele fixa um ponto (um dos vértices) e podemos então observar que as propriedades da figura são preservadas (comprimentos dos lados de mesma medida, ângulos internos iguais a 90º). Assim, o Apprenti Géometre 2 traz mais uma noção intuitiva, a qual, implicitamente a essa ação, corresponde a quadrados construídos baseados nas propriedades de lados congruentes e ângulos retos.

De acordo com Hoffman (2000), os sujeitos de sua pesquisa, ao iniciarem o estudo com o Cabri, tentavam construir um quadrado por meio de segmentos de mesma medida, fazendo um traçado cuidadoso e usando o recurso de medida para conferir se de fato é um quadrado. Mas, ao mover os vértices do suposto quadrado, eles percebiam que este perdia suas propriedades porque, de fato, não foi explicitado ao “software” as propriedades que caracterizam o quadrado, como ilustramos a seguir na figura vermelha.

Fonte: Hoffman (2000)

Para Gravina (2001, p. 99), “a estabilidade sob a ação de movimento resulta das relações geométricas impostas à construção e que encerram as propriedades características do quadrado enquanto objeto geométrico”.

Para se construir um quadrado no Cabri, temos a seguinte possibilidade: primeiro, construir um segmento AB e, em seguida, uma circunferência com centro em A; depois, traçar uma perpendicular a AB passando por A e um ponto de interseção entre essa reta e a circunferência; logo após, traçar outra perpendicular a AB, passando por B, e uma reta paralela ao segmento AB, passando pelo ponto de interseção anterior; por fim, deve-se colocar um ponto de interseção entre a paralela e a perpendicular que passa por B.

Fonte: da pesquisa

Pode-se ainda construir de outras formas, como por exemplo:

Traçar um segmento AB; retas perpendiculares ao segmento passando pelos extremos; círculo de centro A passando por B e interceptando uma das retas em D; círculo de centro B passando por A e interceptando a outra reta em C; segmento AD, DC e CB. Este quadrado será instável sob a ação de movimentos. E mais, a congruência do segmento DC aos demais lados, bem como a perpendicularidade nos vértices D e C são fatos não declarados na construção e ali “estão”- são fatos estáveis implícitos, então passíveis de demonstração (GRAVINA, 2001, p. 99).

De uma forma geral, as construções que são realizadas nos software que implementam a geometria dinâmica, em que as ferramentas de régua e compassos virtuais estão presentes, oferecem recursos de estabilidade sob a ação de movimento, ou seja, assim que uma construção é feita, a partir de deslocamentos que são aplicados aos elementos iniciais que determinam o objeto geométrico, “o desenho na tela do computador ‘instância de representação do componente figural’ transforma-se mas preserva, nas novas instâncias, as relações geométricas impostas inicialmente à construção, bem como as relações dela decorrentes” (GRAVINA, 2001, p 98).

Mas é possível, ainda, construir um quadrado sem necessariamente recorrer a tais construções, por meio da ferramenta polígono regular, que permite além do quadrado que as propriedades das figuras construídas por meio dela sejam preservadas, ao deslocarmos os vértices das figuras. Ou seja, no Cabri Géomètre 2, por meio da ferramenta polígono regular, pode se construir um polígono regular convexo ou em estrela, definido por um centro de “n lados (30 ou menos)”. Um polígono regular consiste de lados congruentes e de ângulos congruentes.

Do ponto de vista da construção conceitual de área, as questões supracitadas são relevante, para o desenvolvimento das diferentes situações que dão sentido à área (FERREIRA, 2010), como as de produção de superfície, por exemplo.

Outro fator de destaque para o trabalho com área e perímetro é a presença da malha pontilhada quadrada e de ferramentas, por meio das quais podemos expressar a área da figura (em cm2), o perímetro e o comprimento (em cm) dos lados das figuras geométricas planas construídas em sua interface. Permite, também, visualizar a variação da área ao deslocarmos os vértices da figura, assim como o perímetro, mas é possível também, ao fixarmos a altura do triângulo, por exemplo, observar a invariância da área e variação do perímetro. As ilustrações a seguir apresentam essas duas situações.

Fonte: da pesquisa

Na imagem acima, temos um triângulo qualquer (passo 1). Para determinarmos a área, selecionamos a ferramenta “área” e em seguida clicamos na figura, assim como o

Figura 31- Ferramentas no Cabri

perímetro e o comprimento (distância entre dois pontos). Logo em seguida, é apresentado o par número mais unidade de medida de área (15,00 cm2). É possível, assim como a área, escolher outra unidade de medida, no caso do perímetro ou do comprimento.

No passo 2, pegamos um dos vértices do triângulo e o arrastamos. O software rapidamente mostra a variação da área, do perímetro e do comprimento dos lados da figura, nessa situação. Na próxima figura, pode ser observado que um triângulo foi construído entre duas retas paralelas. Neste caso, a área e o perímetro não necessariamente variam no mesmo sentido, um aspecto relevante ao estudarmos área, pois permite a dissociação entre a área e o perímetro.

Fonte: da pesquisa

Alguns programas de geometria dinâmica, como o Cabri, possibilitam a mudança de elementos de interface por meio de ferramentas denominadas de “macroconstrução”, podendo-se restringir funcionalidades com fins didáticos específicos. De acordo com Sangiacomo et al. (1999):

Uma característica importante do Cabri-géomètre é a possibilidade de ampliar as opções do menu CONSTRUÇÃO, ou seja, a possibilidade de acrescentar novas construções. Quando uma determinada construção já foi suficientemente explorada e compreendida, a mesma pode ser incorporada ao menu para ser utilizada como instrumento nas próximas etapas, ou seja, a construção muda do status de objeto Figura 32- Exemplo que área e perímetro não variam no mesmo sentido

para o de ferramenta. Ou ainda no caso em que o objetivo do professor é explorar os invariantes de uma figura sem que os alunos tenham a necessidade de construí-la. Outra aplicação se refere a situações-problema que exigem várias repetições de uma certa construção. Para otimizar esse processo, podemos disponibilizar tal construção no menu (SANGIACOMO et al., 1999, p. 7).

Diante desse contexto, entendemos que por meio de “macroconstrução” é possível encapsular diversas etapas de uma construção em um único comando no software, facilitando o processo de outras construções mais complexas e, por conseguinte, enriquecendo a lista de ferramentas que ficam disponíveis aos usuários.

A presença da malha pontilhada neste software permite que sejam trabalhadas diferentes situações de comparação de área, medida de área, mudança de unidade e produção de superfície.

No Cabri, ainda é possível aplicar as transformações isométricas do plano (rotação, translação e reflexão) nas figuras construídas em sua tela. Contudo, a maneira como ele lida com as transformações diferem dos procedimentos utilizados no AG 2. Nesse, basta escolher uma das ferramentas do menu movimento (Mover, Rotação ou Reflexão), clicar com o botão esquerdo do mouse em um dos vértices da figura, ou mesmo em seu centro, no caso da rotação, e realizar esse movimento diretamente na figura.

No Cabri, esse tipo de isometria é aplicado da seguinte forma: escolhe-se a ferramenta rotação, na caixa de ferramenta transformar, seleciona-se o objeto para girar, o ponto de rotação e o valor angular de rotação, ferramenta que rotaciona um objeto de um valor angular específico em relação a um ponto70_.

Com relação aos aspectos técnicos, o Cabri é de fácil instalação e, ao menos na versão analisada, 1.0 MS Windows, pode ser encontrado nos idiomas inglês, português, alemão, francês, espanhol e italiano (CREM, 2007a). Os menus são autoexplicativos, mas notamos que a interface não é tão atrativa e os menus e ferramentas ficam muito reduzidos. Quanto à navegabilidade entre as ferramentas, é preciso clicar com o botão esquerdo e, com o direito, escolher as ferramentas. Esse sistema difere de outros software, podendo não ser tão intuitivo, uma vez que, no geral, selecionamos com o botão direito e os demais menus aparecem em seguida. No menu ajuda não há um tutorial do software, mas é possível verificar em uma caixa na barra inferior algumas explicações sobre suas ferramentas.

70 _{Ver as outras formas em}