Atividade 18.4

As expectativas de aprendizagens que contemplam a atividade 18.4 (Figura 5) tratam da comparação de partes do inteiro, no caso de partes de três pizzas de mesmo formato e tamanho divididas em número de partes diferentes e de igual tamanho; a representação fracionária das partes em que foram divididas cada uma das pizzas; sua leitura; o reconhecimento no contexto diário de metades e terças partes e a resolução de situações-problema envolvendo o significado parte-todo.

Figura 5: Unidade 5 – Sequência 18 – Atividade 18.4

Fonte: EMAI (2014)

Primeira Etapa: Planejamento da aula

O planejamento da atividade 18.4 durou cerca de 45 minutos com a presença de cinco professoras. Destacamos que até aquele momento as professoras (P1), (P3) e (P5) estavam desenvolvendo as mesmas sequências, pois como mencionamos anteriormente, diante da realidade de cada turma e de cada escola nem todas estavam desenvolvendo as propostas do volume 2, mas as demais professoras implementariam as atividades e relatariam no momento da reflexão.

O Grupo iniciou pela leitura dos três itens do Material do Professor relativos à atividade 18.4: Conversa Inicial, Problematização e Observação/Intervenção.

No tópico Conversa Inicial há uma orientação sobre o material manipulável a ser utilizado (2 círculos de papel de mesmo tamanho), sobre a gestão da turma indicando a formação de duplas de alunos, o material indicado para cada dupla e sobre o procedimento a ser usado com o material. Ainda nesse tópico há indicações de questões que permitem identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre representações numéricas de partes do círculo.

Durante a leitura e discussão percebemos que as professoras conheciam seus alunos. Se não fosse possível organizar a sala em duplas, devido o número de alunos presentes no dia da atividade, elas iriam adequar as turmas de tal maneira que os alunos sentassem em pequenos grupos, o que remete aos conhecimentos dos alunos da turma e da prática educativa de acordo com Ponte (2012).

O item Problematização do Material do Professor do EMAI apresenta alguns indicativos das atividades propostas com dois relatos de amigos sobre como foi o consumo de pizzas em suas casas e como representariam numericamente as partes em que foram divididas as pizzas.

O item Observação/Intervenção apresenta informações teóricas sobre o significado parte-todo; sobre a importância de fazer a divisão dos círculos em partes iguais; sobre o significado do denominador e do numerador na representação fracionária, chamando atenção para o professor explorar a parte pintada e não pintada dos círculos.

O material indica ainda a leitura das representações fracionárias. Aponta para a importância de o professor ficar atento às hipóteses de seus alunos. Termina discutindo algumas possibilidades de comparação de “frações”.

A leitura desse item permitiu apropriação por parte das professoras de partes do conhecimento matemático e que serviria de base para o desenvolvimento das atividades.

O Grupo discutiu uma parte muito importante do trabalho com os números racionais positivos, relacionando-os com os números naturais, ou seja, os obstáculos epistemológicos e didáticos que emergem no trabalho com este tema.

Estudos como o de Pires (2012) discutem que o trabalho com os números racionais não se baseia só em contagem e nas grandezas discretas como se esse conjunto numérico fosse igual ao dos naturais. A autora destaca que a presença do sucessor no conjunto dos números naturais é um dificultador para o conjunto dos números racionais, visto que não há sucessor de um número nesse conjunto numérico.

Na discussão inicial sobre as expectativas de aprendizagem, percebemos que as professoras não estavam acostumadas a identificar as expectativas de cada atividade e manifestaram interesse em aprender.

Professoras: Nós estamos aprendendo juntas, pois não estamos acostumadas a fazer isso quando planejamos as aulas (diário de bordo da formadora/pesquisadora).

Os instrumentos preenchidos pelas professoras e discutidos no capítulo anterior apresentavam indicativos de que elas tinham familiaridade com o material do EMAI, com as concepções e orientações para o professor, porém até aquele momento de formação, os dados revelaram que esse conhecimento era genérico, pois elas não identificavam nas atividades as expectativas de aprendizagem presentes no início de cada unidade, o que pode revelar indícios de ausência do conhecimento do currículo, retratado por Ponte (2012).

A professora (P3) relatou para o Grupo que já havia iniciado algumas discussões com seus alunos sobre os números racionais positivos, como

porcentagem e “divisão com vírgula”, usando a lousa e desenhos no caderno, mas não da forma proposta no material do EMAI, com uso de material manipulativo.

(P3): Eu trabalho muito com a lousa. [...] Depois peço para eles desenharem no caderno.

Durante a resolução das atividades, as professoras dão indícios do conhecimento especializado do conteúdo ao responderem corretamente as atividades envolvendo dois círculos de pizza de mesmo tamanho, divididas em número de partes diferentes.

Professoras: 4 partes e 1

4; 8 partes e 1 8

.

Elas perceberam que podiam avançar na prática educativa ao conduzirem as situações de aprendizagem usando os círculos de papel porque estavam acostumadas fazer as comparações das representações fracionárias usando representações pictóricas apresentadas em materiais didáticos ou na lousa.

A professora (P3) sugeriu ao Grupo que três círculos de papéis de mesmo tamanho fossem providenciados para cada aluno e não dois para cada dupla como estava sugerido no material. Assim, os alunos continuariam trabalhando em duplas, porém vivenciariam as dobras de todos os discos de pizza da atividade, contribuindo para o trabalho com as comparações das representações fracionárias, a leitura dos números e suas escritas. Todas as professoras gostaram da ideia e a professora (P3) ajudou o Grupo a fazer as dobras nos círculos de papéis construídos no encontro.

Percebemos que nesta parte do planejamento houve uma adaptação/modificação em relação ao EMAI, o que pode revelar indícios do conhecimento da prática educativa e o conhecimento dos processos de aprendizagem de seus alunos, valorizando a capacidade deles quando aprendendo e interagindo entre si.

O objetivo era fazer com que cada aluno pudesse recorrer aos três círculos, comparando os tamanhos das partes obtidas pelas dobraduras e se necessário

sobrepondo as partes para perceberem que ¹

8 é menor que ¹

6, que por sua vez é menor que ¹

4 , realizando a atividade experimentalmente.

A professora (P3) descreve como faria a comparação de ¹ 4 e ¹

8 com os discos de pizza:

Vejam o tamanho do pedaço da pizza que está dividida em 4 partes e o tamanho do pedaço de cada pizza que foi dividida em 8 partes. Pelo tamanho de cada pedaço de cada pizza vocês percebem qual é maior e qual é menor.

Assim, foi discutido no Grupo, após a fala da professora (P3), a importância da experimentação, antes da visualização em representações pictóricas. Nessa faixa etária, foi considerado que não tem significado para os alunos o uso de regras para comparação de “frações”.

Pires (2012) destaca a importância de utilizar materiais manipulativos no trabalho com os números racionais e, que além do uso desse tipo de material é muito importante usar também representações pictóricas que exigem um raciocínio mental por parte dos alunos diferente de quando eles utilizam materiais manipulativos.

Outro ponto significativo e que foi discutido no planejamento da aula foi a gestão do tempo. As professoras concordaram e fizeram uma previsão para realizar a atividade 18.4 em duas aulas de 50 minutos cada, argumentando que a experimentação demanda tempo e intervenções constantes.

Consideramos que o tempo destinado para esse encontro de formação poderia ter sido maior, pois as discussões não incorporaram aprofundamentos teóricos sobre o tema, a não ser o apresentado no item Observação/Intervenção do material.

Sobre o planejamento destacamos os apontamentos de García e Sánchez (2002). Segundo as autoras, é interessante que o professor planeje com um grupo de colegas uma sequência didática a desenvolvê-la em uma determinada turma, pela qual ele é responsável. Essa situação tem elementos explícitos (o professor e o

conteúdo) mas é claro que há outros elementos (alunos, interações em sala de aula, relações dos alunos com o conteúdo) que estão presentes de maneira implícita.

Essas autoras consideram que o planejamento de sequências de ensino deve estar presente em programas de formação de professores.

Segunda Etapa: Implementação da aula

Para o desenvolvimento da atividade 18.4 foi necessária uma aula na turma da professora (P3). Percebemos que a professora ao iniciar o trabalho com seus alunos não seguiu o planejamento realizado no Grupo, preferindo a realização coletiva da atividade, e distribuindo menor quantidade de círculos do que o combinado. Ela precisou improvisar, cortando os papéis no momento da aula, pois havia esquecido o material confeccionado em casa.

Distribuiu um círculo para cada aluno, mas ia fazendo a atividade na lousa para os alunos acompanharem. Eles não usaram o material manipulativo como o previsto no planejamento. Ela desenhou um círculo na lousa, depois outro e comparou o que representava o inteiro e a metade. Fez perguntas para a turma e os alunos responderam em conjunto:

(P3): Como eu vou representar o inteiro e o outro círculo que está dobrado no meio?

Alguns alunos: Cem por cento.

Alunos: Um inteiro.

Alguns alunos: Um sobre um.

Percebe-se que a professora poderia ter aproveitado o momento e discutir as indicações de “inteiro” dadas por seus alunos, mas ela continuou a aula.

(P3): E aqui? (mostrando o círculo dobrado ao meio).

Alguns alunos: Um sobre dois.

Alguns alunos: 50 por cento.

Novamente não foi feita intervenção que poderia relacionar metade com 50%

ou mesmo indicar a leitura 1 sobre 2 como um meio. A professora (P3) continuou a aula.

(P3): E se o colega dobrar mais uma vez?

Alguns alunos: Um sobre quatro.

(P3): Como eu represento? (chamou um aluno para ir até a lousa).

Aluno

:

¹

4

.

A intervenção da professora permitiu relacionar a representação verbal com a escrita numérica, mas poderia ter chamado a atenção sobre a leitura de “1 sobre 4”.

Cabe destacar que estudos teóricos como o de Streeftland (1991) e Quaresma (2010) e documentos curriculares como as Orientações Didáticas do Currículo da Cidade - Matemática (2018) apontam para a importância da representação verbal no trabalho com os números racionais na forma fracionária nomeando-as conforme as divisões do inteiro: metade, terça parte, quarta parte etc.

Consideramos que a linguagem matemática deve ser compreendida pela criança ao longo do trabalho com os números racionais positivos.

Um aluno se manifestou dizendo que a representação no círculo de papel que a professora usava era igual à representação pictórica usada no material do EMAI, relacionando os dois tipos de representações (material manipulativo e desenho).

Aluno: É igual ao da pizza (referindo-se à representação pictórica do EMAI).

Ao realizar a atividade percebemos que alguns alunos usaram porcentagem, pois estudaram esse conteúdo recentemente, embora não estivesse nas propostas do EMAI anteriores à atividade 18.4, o que revela que esta professora adaptou a organização curricular, introduzindo noções de porcentagem antes do trabalho com os significados dos números racionais positivos.

Percebemos que alguns alunos reconheceram que 100% representa o círculo inteiro, que 50% representa a metade do círculo e que 25% representa um quarto do mesmo círculo, dando indícios de que 25 cabe 4 vezes em 100 e de quantas vezes 50 cabe em 100, mas a professora (P3) perdeu a chance de socializar e institucionalizar esse conhecimento com seus alunos.

A aula continuou com a pergunta da professora (P3):

(P3): E se eu dobrar mais uma vez? (mostrando o círculo dividido em 4 partes).

Alunos: Seis partes (após o traço que a professora fez no último círculo desenhado na lousa).

Alguns alunos: Um sexto.

(P3): Espera um pouco. Vou arrumar os traços do desenho, ainda não está bom.

Um aluno logo percebeu o equívoco:

Aluno: Eu fiz a dobra, mas não ficou com seis partes, ficou com oito partes.

Um oitavo.

Imediatamente a professora começou a fazer a próxima dobra no círculo de papel que estava dividido em 4 partes iguais. Ela percebeu que não deu 6 partes e sim 8 partes.

A professora partiu da última dobra do círculo dividido em 4 partes que não estava dando certo, depois teve dificuldade de relacionar com os desenhos da lousa e com o círculo de papel. Devido à confusão conceitual que surgiu no momento da aula, ou seja, antes dela desenhar a divisão do círculo em seis partes, ela não percebeu que a partir de ¹

4, a próxima dobra resultaria ¹

8. Quando dobrou o círculo constatou o ocorrido.

Os dados revelam a ausência do conhecimento comum do conteúdo no momento da aula e que foi provocado pelo conhecimento do aluno quando se reportou à professora.

Essa situação pode ser explicada com estudos de Blanco e Contreras (2002) que afirmam que quando os professores têm pouco conhecimento do conteúdo, evidenciam dificuldades para realizar procedimentos didáticos; mostram insegurança em relação às colocações dos alunos; reforçam erros conceituais e dependem mais da memorização.

Mas a professora teve uma atitude positiva. Ela parou, pensou e retomou a aula:

P3): Espera aí! Mas esta figura que eu fiz na lousa condiz com a dobradura?

Alunos: Não.

Alunos: Ali tem seis e ali tem oito.

Somente neste momento surge a preocupação da professora com relação a leitura das representações fracionárias.

(P3): Então, como eu leio aqui?

Alunos: Um sexto e um oitavo.

Depois procurou chamar atenção dos alunos para a escrita numérica de cada representação fracionária, mas não explorou o significado do numerador e do denominador.

(P3): Vem aqui representar (pediu para um aluno). Como eu represento cada parte deste aqui?

Aluno: 1 6

.

A professora tentou discutir porque ao invés de ¹

6 ela obteve ¹

8 com as dobras no círculo.

(P3): Aqui deu 6 partes porque eu coloquei mais um risco e quando eu dobrei deu 8 partes porque foi dobrado ao meio.

Aluno: Porque você dobrou mais uma vez.

Até esse momento parece que não havia ficado claro o motivo de as 4 partes se transformarem em 8 partes e a professora focou novamente na leitura e na representação.

(P3): Como eu leio?

Alunos: Um oitavo.

(P3): Vem aqui representar (pediu para um aluno).

Aluno: Ehhh, eu vou sim, professora. 1

8 (escreveu na lousa). Posso escrever as palavras também?

O diálogo entre a professora e seus alunos revela a complexidade da profissão docente. Ao mesmo tempo em que ela não consegue explicar o motivo de ter encontrado 8 partes do círculo ao invés de 6, após as dobras, ela muda o foco para a leitura e para a representação pictórica das representações fracionárias e os

alunos interagem positivamente.

Isso corrobora estudos de Curi (2005) que cita algumas necessidades dos professores generalistas para ensinar, como o domínio dos conteúdos matemáticos que precisa ensinar, a percepção da compreensão de seus alunos e dos seus interesses, a antecipação de possíveis dificuldades e a gestão da sala de aula.

Essa interação e as respostas positivas dos alunos lhe encorajaram a retomar as dobras do círculo.

Em seguida, a professora retomou o diálogo sobre as dobras do círculo e um aluno mostrou compreender o procedimento.

(P3): Você dobrou mais uma vez. Quanto deu?

Aluno: 16 partes. Se dobrar mais uma vez vai dar 32. Porque o dobro de 16 é 32, o dobro de 32 é 64 e o dobro de 64 é 128.

A intervenção da professora permitiu melhor compreensão do tema.

(P3): Daria para a gente dividir em seis partes com esta dobradura que nós começamos? Dá para fazer com este círculo as 6 partes?

Alunos: Não.

A saída para contornar a situação que a professora encontrou foi comparar o tamanho das partes nas representações pictóricas da lousa (seis partes e oito partes). Depois pediu para os alunos compararem as imagens do EMAI.

Com relação à comparação das representações fracionárias da atividade, a professora usou as representações pictóricas da lousa e perguntou:

(P3): Qual parte daqui é a maior?

Os diálogos e as interações entre os alunos mostram divergências.

Alguns alunos: Um quarto.

Alguns alunos: Não, não. É um meio. Olha o tamanho de cada parte.

A professora interage com os alunos e faz uma intervenção, mas em seguida os alunos explicam com mais clareza como estavam pensando.

(P3): Um meio é maior porque o círculo está dividido em duas partes.

Alunos: Porque a parte é maior. Só foi dividido em duas partes. O tamanho de cada parte é maior.

A professora retoma a questão pedindo para compararem um quarto e um sexto, mas sem fazer a leitura das representações fracionárias.

(P3): E seu eu for comparar estes dois?

Alunos: Um quarto.

(P3): Por que um quarto?

Com a intervenção da professora os alunos justificaram sua resposta argumentando corretamente.

Alunos: Porque o tamanho daquele é menor. A parte de um quarto é maior.

Lá no um quarto foi dividido em menos partes.

Destacamos que alguns alunos conseguiram relacionar o tamanho de cada parte do círculo com as imagens do EMAI e outros além dessa comparação, conseguiram ordenar as três representações fracionárias e responder corretamente as questões propostas.

Percebemos que se a professora tivesse seguido o planejamento e tivesse dado três círculos para cada aluno ou mesmo para cada dupla e usado as dobraduras, ela teria conduzido a aula de forma mais adequada, pois eles teriam chance de explorar o material manipulável, fazer experimentações, tirar conclusões, argumentar, sendo os protagonistas da atividade e não os observadores, como ocorrido da forma que a aula foi conduzida.

Consideramos que a improvisação pode fazer parte no momento da aula, muitas vezes necessárias, porém neste caso a falta do material manipulável para os alunos e a condução da aula no primeiro momento fez com que a descoberta por meio das dobras não acontecesse porque quem as fez foi a professora.

Assim, a maioria dos alunos repetiu o que ela havia feito. Além disso, percebemos que alguns alunos pareciam não concordar com os procedimentos usados pela professora para dividir o círculo desenhado na lousa em 6 partes e quando um aluno discordou, a professora sentiu necessidade da experimentação e em seguida, da validação ou não do que havia sido descoberto.

No trabalho com os números racionais a condução do professor é fundamental, pois, se as crianças explorarem a sobreposição das figuras e observarem o “tamanho” das partes, descobrem que ¹

4 é maior que ¹

6 e maior que ¹ 8

.

Terceira Etapa: Reflexão da aula

A professora (P3) comentou no Grupo no início da reflexão da atividade 18.4 que a mesma durou cerca de 45 minutos; como conduziu a aula; quais facilidades;

dificuldades e imprevistos enfrentou, além de suas percepções sobre as

Formadora/pesquisadora: Professora, primeiramente você desenhou o círculo inteiro, depois outro círculo dividido na metade e outro círculo dividido em seis partes. Quando você fez as dobras partindo do inteiro, o que aconteceu?

(P3): Da metade foi para um quarto e depois de mais uma dobra o círculo ficou dividido em 8 partes iguais. Eu deveria ter desenhado o círculo dividido em 8 partes e não em 6 partes.

Formadora/pesquisadora: E a cada dobra as partes que apareceram são a metade do tamanho das partes anteriores. Por exemplo, metade é a metade de um inteiro, um quarto é metade da metade, um oitavo é a metade de um quarto.

(P3): Eu deveria ter entregado três círculos para cada dupla de alunos. Um círculo era para eles fazerem as dobras e encontrarem um meio, um quarto e um oitavo. O outro círculo para encontrarem três partes e seis partes iguais, como eu fiz no planejamento da aula. Eu me confundi “todinha”.

Depois, com os três círculos divididos eles iriam comparar os três números da última parte da atividade.

É possível perceber que a vídeo filmagem e o diálogo contribuíram para a reflexão sobre a prática da professora que reconheceu a importância do planejamento para o desenvolvimento da aula.

Curi (2005) destaca entre os conhecimentos do professor, o conhecimento do processo instrutivo que envolve o planejamento do ensino, das rotinas e recursos

instrucionais das tarefas e de sequências de ensino, das interações durante a aula, dos conceitos, proposições, procedimentos e representações matemáticas.

Esses aspectos do conhecimento do professor têm sido discutidos nas etapas de Planejamento e de Reflexão do Estudo de Aula.

Na discussão durante o encontro de Reflexão, as professoras explicaram que não foi fácil os alunos perceberem o tamanho dos pedaços da pizza que estavam faltando no desenho apresentado no EMAI, como revela a professora (P7):

Eu tive que numerar os pedaços das pizzas para eles perceberem que na pizza dividida em 6 pedaços estavam faltando 2 pedaços.

A professora (P5) retrata a dificuldade da transição estabelecida entre a representação pictórica para a representação numérica, justificando que isso não é tão simples para os alunos de 4º ano.

A professora (P7) concordou com a professora (P5) sobre a escrita numérica e coloca:

(P7): Para eles entenderem o que é representar numericamente não é fácil.

Eu tive que explicar várias vezes e lembrar que é para escrever uma

“fração”. Como eles tiveram problemas logo de início para escrever numericamente depois do trabalho com os círculos, eu pedi para as duplas irem até à lousa para escrever em forma de “fração” e corrigirmos juntos.

O documento Orientações Didáticas do Currículo da Cidade - Matemática

O documento Orientações Didáticas do Currículo da Cidade - Matemática

No documento UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO (páginas 96-111)