Representações dos números racionais positivos

Dando continuidade passamos aos estudos sobre as representações dos números racionais. Quaresma (2010) baseada em Goldin (2003) retrata que as

representações “desempenham um papel fundamental no trabalho com números racionais. Uma representação é uma configuração de sinais, caracteres, ícones ou objetos que podem de alguma forma, designar ou substituir alguma coisa” (p. 216).

Para a mesma pesquisadora (2010, p. 216) “representar um número significa atribuir-lhe uma designação, sendo de notar que um número pode ter várias designações”.

Um número racional apresenta diferentes representações: decimal, fracionária, porcentagem, pictórica, verbal e geométrica (na reta numérica).

Nossa justificativa para iniciar com o conceito de representação decimal está pautada na realidade brasileira; por ser mais próxima das vivências dos alunos;

estar apresentada nas indicações curriculares e em estudos sobre os números racionais.

No Brasil, os números racionais aparecem mais na representação decimal do que na representação fracionária, por exemplo, no sistema monetário, nos sistemas de medidas de massa, comprimento e capacidade e uma divisão na calculadora, se teclarmos 1: 2 (PIRES, 2012).

A aprendizagem das representações decimais usadas no sistema monetário e nos sistemas de medida não pode estar centralizada apenas na mudança de vírgula

“de um lado para o outro”. O uso de materiais como balança, régua, fita métrica, termômetro, ferramentas para medir, jornais, revistas, folhetos de supermercados, receitas de culinária, rótulos de produtos, bulas de remédio etc., contribuem para essa aprendizagem (STRUIK, 1989; SÃO PAULO, 2018).

Pires (2012, p. 307) destaca que antes de estudarem as representações decimais na escola, as crianças demonstram conhecimento de que “R$ 1,50 mais R$ 0,50 são R$ 2,00 e que R$ 1,99 é menos que R$ 2,00 e levantam hipóteses sobre escritas em que aparecem números com vírgulas indicando comprimentos, massas e capacidades”.

Nesse aspecto Perfeito (2015) alerta que embora haja vantagens em introduzir o sistema monetário como a representação decimal, há aspectos que precisam ser tratados cuidadosamente, pois a forma como se usa os “decimais” em

forma de centavos pode não ajudar na compreensão da leitura das representações decimais.

Para Pires (2012) a calculadora pode ser uma estratégia de aprendizagem das representações decimais. Os alunos ao dividir 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, 1 por 5, 1 por 6, 1 por 7, 1 por 8, 1 por 9, 1 por 10 etc., podem levantar hipóteses sobre as escritas que aparecem no visor da calculadora. Essas hipóteses contribuem para as comparações das representações decimais levando “a ideia de que 0,5 é maior que 0,3333333, que é maior que 0,25, que é maior que 0,2 etc., ou seja, quanto maior é o número de partes em que o “todo é dividido, menor é cada parte” (p. 308).

Neste sentido, de acordo com Centurión (1994) e Ávila (2008) como o nosso sistema de numeração é posicional e tem base dez as representações fracionárias podem ser representadas na notação decimal. Para isso é possível estender o quadro de ordens e classes, acrescentando novas ordens à direita da unidade (parte inteira) – a dos décimos, a dos centésimos e a dos milésimos (parte decimal) e, que podem ser acrescentadas outras, infinitamente.

Assim, conforme os mesmos autores, uma posição à direita de outra equivale a décima parte desta outra. Se dividirmos uma unidade em 10 partes iguais, cada uma destas partes será um décimo: 0,1 ou ¹

10 da unidade. Um décimo dividido por 10 será igual a um centésimo (0,01) ou ¹

100 da unidade, um centésimo dividido por 10 será igual a um milésimo (0,001) ou ¹

1000 da unidade e assim por diante. .

Algumas dificuldades são demonstradas pelos alunos quando estão aprendendo os números racionais na representação decimal. Monteiro e Pinto (2007, p. 11) elencam algumas delas: “confusão entre décimos e centésimos.

Exemplo: 2,5 com 2,05; confundir o número de algarismos com a quantidade.

Exemplo: 1,456 é maior que 1,5 e acharem que entre 0,1 e 0,2 não existem números racionais”.

São Paulo (2018) prioriza a realização da leitura quando o número racional está representado na forma decimal, como um dos fatores que colaboram na compreensão da magnitude desse número.

Normalmente, as crianças compreendem o que significa metade de uma folha de papel, de quantia em dinheiro, de um sanduíche, mas não necessariamente vão lidar com tranquilidade com as representações dessas ideias.

Segundo Pires (2012), apesar da representação decimal ser mais familiar para as crianças, a representação fracionária também é importante pelo seu potencial no campo da área e dependendo da situação, a representação ¹

3 pode ser mais fácil de ser compreendida do que 0,333 ...

Cabe destacar que na nossa realidade, a representação fracionária é menos frequente na vida cotidiana, pois o uso de frações limita-se a metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que das representações (BRASIL, 1997).

A construção do caminho com as crianças para que elas compreendam que os números racionais podem ser representados de formas diferentes não é simples, mas a intenção é que elas reconheçam tanto a representação decimal quanto a representação fracionária no cotidiano de suas atividades.

Um outro tipo de representação é em porcentagem, ou seja, 10% representa a décima parte do inteiro. A representação percentual e o contexto em que ela é utilizada remete ao significado parte-todo, ou seja, se comprei um objeto por R$

50,00 e obtive um desconto de 10%, significa que o valor do objeto foi dividido em 10 partes iguais e uma dessas partes refere-se ao desconto (10%).

Pires (2012) refere que o cálculo de 10% é uma estratégia considerada como uma primeira aproximação com a noção de porcentagem nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Para a pesquisadora, as crianças sabendo calcular 10% fica mais simples calcular outras porcentagens como: 20%, 30%, 5%, 15% e assim por diante.

Para a mesma autora nesse tipo de estratégia as crianças podem aprender a realizar estimativas, que são muito utilizadas no caso do cálculo de porcentagens e

o uso da calculadora deve fazer parte das atividades propostas pelo professor a cada um de seus alunos.

Em seus estudos Quaresma (2010) ressalta que a representação em porcentagem faz a ligação entre situações do “mundo real” e os conceitos matemáticos ligados às estruturas multiplicativas.

Falamos anteriormente nas representações pictóricas, apoiando-nos em Quaresma (2010), Perfeito (2015) e Cox (1999). Para este último pesquisador as representações pictóricas são instrumentos que contribuem para o raciocínio, pois podem representar a informação de um problema e facilitar a mudança de estratégias de resolução.

Ponte e Velez (2011) apresentam um artigo que analisou o modo como duas crianças de 7 anos lidam com representações por meio de 3 tarefas (duas de sequências pictóricas – figuras geométricas e sequência crescente de quadrados e outra tarefa com combinações de roupas). No caso da tarefa envolvendo a sequência repetitiva, os dados apresentam as facilidades e as dificuldades dos alunos de estabelecer por exemplo, uma relação entre duas representações, a pictórica e a numérica.

Os resultados apresentados pelos pesquisadores mostram que é preciso uma atenção cuidadosa dos professores quando acompanham e analisam as representações dos alunos.

Desta forma, mesmo sem apresentar uma resposta correta, as representações pictóricas demonstram como os alunos elaboraram as imagens mentais, diante de suas interpretações, conforme as situações propostas, ou seja, uma forma de estratégia. A nosso ver, essas representações dão indicativos para os professores de como proceder para os alunos avançarem.

Destacamos a seguir duas representações pictóricas que contribuem no trabalho junto aos alunos em relação aos conceitos dos significados parte-todo e quociente. Em ambas as situações as respostas equivalem à ²

5.

Situação 1 (parte-todo): Eduardo dividiu uma folha de papel retangular em partes iguais e coloriu essas partes. Observe e indique à representação fracionária correspondente as partes que foram coloridas da mesma cor em relação à folha toda.

Situação 2 (quociente): Andréa dividiu duas folhas de papel retangulares em tiras iguais e as distribuiu entre cinco pessoas. Indique quanto cada pessoa recebeu.

Vejamos então, que na primeira situação o inteiro foi dividido em 5 partes iguais e “tomadas” 2 dessas partes que representam ²

5 . Na segunda situação cada folha de papel foi dividida em 5 partes, cada parte foi colorida de uma cor para representar ¹

5 de cada folha para cada pessoa, totalizando ² 5.

A representação verbal segundo Streefland (1991) apresentada por Quaresma (2010), traz a importância no trabalho com as representações fracionárias

2 5

1 5 1

5

diante da nomeação de cada uma delas (metade, terça parte, quarta parte, quinta parte etc.) que converge com São Paulo (2018).

Dessa forma esse tipo de representação valoriza a linguagem matemática que precisa ser estabelecida e compreendida pela criança ao longo do trabalho com os números racionais.

Perfeito (2015) traz a reta numérica como a representação geométrica baseada na literatura de Bright, Behr, Post e Wachsmuth (1988). Assim o comprimento representa a unidade e subdivisões simultâneas de todas as unidades juntas, como uma régua.

Esses autores mencionam que, esse recurso, apesar de potente, os alunos apresentam dificuldades, quando fazem marcações das representações fracionárias, ou seja, se o “número de partições da reta é diferente do denominador das frações ou quando o número de partes é um múltiplo ou submúltiplo do denominador, sugerindo uma noção imprecisa e inflexível da fração” (PERFEITO, 2015, p. 26).

As mesmas dificuldades surgem na representação decimal de um número racional na reta numérica.