Os três modos de pensamento visual-espacial, PVP, PVMM/PVR e PVE, podem por vezes, sucederem-se no sentido que ao modo PVP se pode seguir o modo designado por PVMM/PVR, e depois a este sucede o modo PVE. No esquema da figura 4.2, representam-se estas diferentes ligações e os números de 1 a 6 designam ligações ou sequências entre os diferentes modos. Vamos dar significado e exemplificar algumas conjecturas sobre ligações entre os diferentes modos do pensamento visual-espacial:
Fig. 4.2. Modos do pensamento visual-espacial e suas ligações.
A ligação 1 quer significar que imagens previamente percepcionadas podem ser imediatamente comunicadas por gestos, diagramas ou descrições verbais. A ligação 2 designa o caso em que o pensamento visual-espacial resultante da exteriorização do pensamento pode anteceder o resultante da percepção. Vejamos alguns exemplos onde parece notória a existência desta ligação: quando construímos uma planta ou maquete, ou usamos material multibásico ou utilizamos um ambiente computacional, e com acções sobre essas representações resultantes da exteriorização do pensamento a percepção de um dado conceito ou estrutura é facilitada; no raciocínio subjacente ao esquema imagético operativo (Dörfler, 1991) (quando se associa operações específicas – divisibilidade ilimitada e em partes iguais – com um segmento de recta desenhado, estamos a adquirir, graças à execução destas operações um certo conceito por percepção, a figura de um segmento de recta como um contínuo).
Na ligação 3 ao modo PVP segue-se o PVMM/PVR. Por exemplo, a alunos de 10-11 anos foi-lhes proposta a seguinte situação geométrica (Sesay, 1993, p. 23): “começa-se-lhes por mostrar os dois diagramas que a seguir expomos (figura 4.3.) e depois convidam-se as crianças a fechar os olhos e a actuar mentalmente sobre o círculo encolhendo-o ou alargando- o de forma a notarem o que vai acontecer”. As crianças, após terem percepcionado as figuras dadas, usam os seus poderes mentais para operar sobre imagens de pontos, linhas, círculos, quadrados. Estas transformações mentais são características do modo PVMM/PVR.
PVP PVMM/PVR PVE 3 6 2 1 5 4
Fig. 4.3. Diagramas apresentados às crianças.
A ligação 4 ocorre quando, após a manipulação mental das suas imagens, as crianças na tarefa anterior, descrevem essa mesma dinâmica, isto é, as crianças foram capazes de: discutir as imagens do círculo e do quadrado de acordo o crescimento ou encolhimento do círculo; apontar direcções sobre as quais os pontos se moveram e para cada caso dizerem o que estava a acontecer tanto ao círculo como ao quadrado.
Pode ser pois identificado o par de ligações (3, 4) na execução de toda a tarefa anteriormente proposta, o qual quer designar que ao modo PVP sucede-se o modo PVMM/PVR e seguidamente o PVE. É o caso da situação em que interpretamos a linguagem duma figura geométrica, manipulamos as imagens mentais aí usadas, associamos com experiências anteriores, e traduzimos o resultado em informação verbal.
A ligação 5 traduz acções sobre representações externas, as quais fazem emergir, por exemplo, transformações mentais de imagens, relações entre imagens mentais, características próprias do modo PVMM/PVR. Com gráficos de computador interactivos, a facilidade de manipulação de objectos sujeitos a deformações, especialmente em posições quase críticas, ou investigação visual directa de objectos no espaço a quatro dimensões, muitas vezes conduzem a novos conjecturas e a novos métodos (Banchoff e Schwartz, 1988).
Uma ligação do tipo 6 significa que ao modo PVMM/PVR se segue um pensamento visual-espacial resultante da percepção, modo. Essa ligação está presente quando por exemplo, a um aluno é primeiro pedido para transformar mentalmente imagens (modo PVMM) e depois exige-se-lhe que compare os resultados daquelas transformações com outras figuras dadas. Para esta segunda parte o aluno tem que evidenciar capacidades tais como percepção das relações espaciais, percepção da figura fundo, constância perceptual, as quais sustentam um pensamento visual-espacial resultante da percepção.
O par de ligações (4,5) parece estar patente quando por exemplo um aluno vai construir um padrão, onde lhe é exigido a rotação mental de uma imagem construída, determinar antecipadamente a possibilidade de um deslocamento, a conceptualização e imaginação de um padrão regular e a produção desse padrão. Haverá então uma interacção entre o padrão e a imaginação no sentido que o todo é a combinação tanto do interno como do externo (Scrivener, 1995). Está ainda presente quando estudantes usam um ambiente
computacional onde podem examinar as propriedades de um grande número de curvas e de famílias de curvas, para ver relações ou padrões que de outro modo seria difícil, a sequência de ligações (4,5) está então presente (Banchoff e Schwartz, 1988). Os estudantes podem então gerar conjecturas na base destas observações, tentar técnicas analíticas para provar algumas dessa conjecturas, e partilhar todas as suas interpretações com a turma.
O par de ligações (2,3) é identificado por exemplo, no raciocínio subjacente aos esquemas imagéticos relacionais identificados por Dörfler (1991). Nestes esquemas, o conteúdo essencial consiste de relações construídas no portador concreto. Estas relações não são imediatamente percebidas, mas precisam de ser mediadas e construídas cognitivamente. Esta mediação é muitas vezes fornecida por certas transformações ou operações (mentais) com o portador concreto.
Estas ligações não ocorrem apenas em pares. Por exemplo, a sequência de ligações (2,3,4) podem encontrar-se quando representações visuais gráficas de objectos e relações matemáticas são possíveis no écrã do computador e por acções visuais directas sobre esses objectos e por observação de mudanças subsequentes tem-se acesso a ver outros aspectos de informação, alguma dela que não podia ser descrita por palavras. Por exemplo é possível ter a compreensão da forma como os vectores velocidade e aceleração se relacionam com as funções curvatura e torsão de uma curva (Banchoff e Schwartz, 1988). Ainda, consideremos a solução do seguinte problema, apresentado por Guzmán:
”No seu livro De Bello judaico, Hegesipo conta que quando os romanos capturaram a cidade de Jotapat, Josephus e outros 40 judeus refugiaram-se numa gruta. Aí os 41 judeus decidiram suicidar-se em vez de se entregarem. A Josephus e outro amigo, tal ideia não os pôs nada felizes. Foi proposto que o suicídio se fizesse por uma determinada ordem. Colocar-se-iam em círculo e suicidavam-se na sua vez, contando três a partir dum entusiasta que a todo o custo queria ser o primeiro. Em que lugares se deveriam colocar José e o amigo para serem os dois últimos, e depois em maioria absoluta, decidirem que não estavam de acordo com o automassacre? ”(Guzmán 1996, pp. 20-21).
Uma solução simples seria: colocam-se 41 pedras em círculos com um número 1, 2, 3, …, 41 e vão-se simulando os suicídios até se verificar quem são os dois últimos. A manipulação concreta de objectos permite-nos resolver este problema concreto e perceber uma estrutura de solução do problema (ligação 2) que ajudará a averiguar a solução para casos mais abstractos - o que irá suceder com m homens que contam de n em n2? O modo de pensar visual-espacial usado para achar a solução deste novo problema tem a ver com o terno de
2Guzman (1996) chama a este processo, visualização isomórfica, pois os objectos têm uma correlação
ligações (2, 3, 4), onde as acções resultantes da exteriorização do pensamento pode facilitar a aquisição de uma estrutura, após a identificação dessa estrutura segue-se a manipulação mental de imagens e a descrição da dinâmica mental usada para resolver o dito problema.
A sequência de ligações (3,6,1) parece estar presente na investigação científica. Por exemplo, na teoria do átomo de Rutherford que propõe que o modelo planetário para o átomo de hidrogénio é uma analogia pictorial da representação do sistema solar, as experiências de observação e conhecimento de Rutherford sobre o sistema solar permitiu-lhe fazer conjecturas, construir, transferir e prever relações, desenvolver uma analogia imagética desse domínio para o domínio do átomo do hidrogénio (ligação 3). Estruturas relevantes podem ser extraídas ou melhor percepcionadas de um domínio de experiência bem conhecido, o sistema solar, para o domínio do átomo do hidrogénio (ligação 6). Essas compreensões foram finalmente experimentadas ou descritas ou representadas por Rutherford (ligação 1) (Issing, 1990).