PROVA DE MATEMÁTICA ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2020/2021 ENUNCIADOS (PROVA A)

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2020/2021 ENUNCIADOS (PROVA A)

1) Fevereiro de 2020 destacou-se por uma quantidade expressiva de chuva em quase todo território nacional. Entre os dias 08 e 14, foram registradas significativas concentrações de chuvas na região Sudeste do Brasil. A atuação da Zona de Convergência do Atlântico Sul (ZCAS), do Vértice Ciclônico de Altos Níveis (VCAN), da Zona de Convergência Intertropical (ZCIT), combinadas com a termodinâmica, proporcionaram áreas de instabilidades, favorecendo acumulados de chuvas significativos.

No gráfico a seguir, estão destacadas algumas cidades do Sudeste e a quantidade acumulada de chuva no período acima mencionado.

Para uma melhor visualização e comparação dos dados acima, foi construído um gráfico de setores.

Considere x o ângulo central correspondente à cidade de Barueri no gráfico de setores.

Em relação a x é correto afirmar que a) 2

sen sen x

3

 b) cos x cos

6

 

c) 3

sen x sen sen

4 4

 

  d) 3

cos x sen cos

4 4

 

 

(2)

2) Em uma aula de topografia, o professor queria mediar a largura de um rio. Para tal, ele tomou dois pontos A e B em uma margem do rio e outro ponto C na margem oposta de modo que o segmento CA ficasse perpendicular ao segmento AB, como indicado na figura a seguir.

Considere que:

• a distância entre os pontos A e B é de 30 m;

• os ângulos agudos  e  podem ser obtidos através da equação

sen² x² 9 sen cos  ⁵cos 0,

    2   na qual x2 é uma de suas raízes;

• 2 1,4 e 3 1, 7.

A largura aproximada do rio, em m, é igual a

a) 15 b) 17 c) 21 d) 51

3) Para construir um viaduto, a prefeitura de uma cidade precisará desapropriar alguns locais de uma determinada quadra da cidade.

Para identificar o que precisará ser desapropriado, fez-se um esboço da planta dessa quadra no qual os locais foram representados em um plano cartesiano e nomeados de

A até 1 A , conforme figura a seguir. ₁₀

Esboço da Planta:

(3)

O viaduto estará representado pela região compreendida entre as retas de equações r : 1x y 8 0

2    e s : x 2y 10 0.

Um local será inteiramente desapropriado se o viaduto passar por qualquer trecho de seu território.

Se cada unidade do plano no esboço da planta equivale a 10 m na situação real, então a área total dos locais dessa quadra que precisará ser desapropriada, em m ,² é igual a

a) 5950 b) 6450 c) 6950 d) 7450

4) No gráfico, MN2 e a curva representa a função   ₁

3

f x  2 log x.

No polígono ABCD, a soma AB BC CD DA,   em unidade de medida, é igual a a) 12 2  10 2

b) 12 10 2 c) 2 6 2 10   2 d) 10 102 2

5) Seja D o conjunto domínio mais amplo da função real     ² 

2

x 4 x 25 f x

x 5x 4

 

    e S o conjunto solução da inequação _{x 6}_{ }_{x x 6 .} _  O conjunto DS é

a) ^{  }^{, 6}  ^{1, 5} ^^{ }⁴

b) ^{  }^{, 5}    ^{1, 4} ^ ^{4, 5}

c) ^{  }^{, 6}    ^{1, 4} ^ ^5,^

d)    ^{1, 4} ^ ^5,^

6) Considere a função real f definida por f x     c x c , com c . Dos gráficos apresentados nas alternativas a seguir, o único que NÃO pode representar a função f é

(4)

7) Considere no plano de Argand-Gauss os números complexos z x yi, em que x e y são números reais e  1 i, tais que

  ² ²     ¹⁰⁹³   z i 5

Im z z z Re z Re z 2 i Im z 12

  

        



É correto afirmar que os pontos P x, y , afixos de z, podem formar um  

a) trapézio isósceles. b) trapézio retângulo.

c) pentágono regular. d) quadrado.

(5)

8) Considere no plano de Argand-Gauss os números complexos _z__{A cos} _{ }_{i sen}__e

 

wB cos i sen , conforme gráfico abaixo.

Se wz ,⁴ então B é igual a

a) 12 b) 12 3 c) 144 d) 144 3

9) O polinômio de raízes reais distintas e coeficientes reais,

  ³ ²

P x 6x mx 18xn, é divisível por _x_ e possui duas raízes simétricas. Se

  

P P  9, então P 1 é igual a  

a) 9 b) 6 c) 3 d) 0

10) Sejam as curvas : x²y² r² e : y²x² 4 tangentes em dois pontos distintos do plano cartesiano. Considere S o conjunto de pontos P x, y tais que  

2 2 2

x y r . Se for realizada uma rotação (revolução) de 90 dos pontos de S em torno de uma das assíntotas de , então o sólido formado tem uma superfície cuja área total, em unidade de área, mede

a) 16

3  b) 8 c) 12 d) 16

11) O jogo árabe chamado Quirkat ou Al-Quirg é semelhante ao jogo de damas moderno, no qual há um tabuleiro de 25 casas 5 5 . 

Esse jogo foi mencionado na obra Kitab Al-Aghani do século X. O Al-Quirg era também o nome para o jogo que atualmente é conhecido como trilha.

Certo dia, um caixeiro viajante apresentou esse jogo a um rei que ficou encantado com ele e decidiu que iria comprá-lo.

Pediu ao viajante que colocasse preço no produto.

O caixeiro disse:

“– Vossa Majestade, posso lhe vender o jogo por uma simples barganha!

Basta me dar 1 grão de milho para a 1ª casa do jogo, 2 grãos de milho para a 2ª casa do jogo, 4 grãos de milho para a 3ª casa do jogo, 8 grãos de milho para a 4ª casa do jogo e assim por diante até a 25ª casa do tabuleiro! ”

(6)

O rei, imediatamente, ordenou o pagamento para o caixeiro viajante em troca do jogo que tanto lhe agradou.

Levando em consideração que o peso médio de um grão de milho seja 0,30 g pode-se afirmar que

a) pelo pagamento referente à 13ª casa, considerando o peso médio do grão do milho, o caixeiro recebeu 1,2288 kg.

b) até a décima casa do tabuleiro, se considerado o peso médio do grão de milho, o viajante tinha recebido um total de 307,2 g.

c) a quantidade de grãos recebidos pelo caixeiro viajante é um número terminado em 7.

d) a quantidade de grãos recebidos pelo caixeiro viajante é um número múltiplo de 2.

12) Sequências têm relevância para estudos em matemática, mas também habitam o imaginário das pessoas na observação de possíveis coincidências.

Um exemplo foi a data de 02 de fevereiro deste ano de 2020. Esse foi o 33° dia do ano e estava a 333 dias do fim de 2020. Além disso, 02/02/2020 é uma capicuia, ou seja, uma sequência de números que tanto pode ser lida da direita para a esquerda como da esquerda para a direita sem alteração do significado.

Considere todas as combinações numéricas capicuias no formato DD/MM/AAAA, em que DD é dia com dois algarismos, MM é mês com dois algarismos e AAAA é ano com quatro algarismos.

A diferença entre o número de capicuias possíveis de 01 de janeiro de 2000 a 31 de dezembro de 2999 e de 01 de janeiro de 3000 a 31 de dezembro de 3999, nessa ordem, é um número no intervalo

a) ^{22, 27} ^b)^{27, 32} ^c)^{32, 37} ^d)^{37, 42}

13) No início do mês de março de 2020, dias após a identificação do primeiro caso do novo Coronavírus no Brasil, ainda não se podia dizer com certeza um conjunto específico de sinais e/ou sintomas clínicos que fosse suficiente para garantir possíveis indivíduos infectados.

Fontes ligadas a órgãos governamentais de saúde destacavam os sete sinais e/ou sintomas clínicos listados a seguir:

• Febre

• Coriza

• Cefaleia

• Adinamia

• Irritabilidade

• Dor de garganta

• Batimento de asas nasais

Devido à falta de testes no Brasil, no início da pandemia, sugeria-se que a coleta de fluidos corporais para exames em laboratório fosse feita apenas em indivíduos que apresentassem um conjunto de, no mínimo, quatro desses sinais e/ou sintomas.

Nesse contexto, considere P a probabilidade de um indivíduo, que apresenta um ou mais dos sintomas listados, ter seu fluido corporal recolhido para realização de exames em laboratório.

Considere, também, que a ocorrência de cada sintoma é equiprovável.

P é um número no intervalo a) 0,¹

4

 

 

  b) ^{1 1}, 4 2

 

 

  c) ^{1 3}, 2 4

 

 

  d) ³,1 4

 

 

 

(7)

14) Considere a figura a seguir.

Desenho fora de escala

Nela está representada a inscrição de uma esfera num cubo que, por sua vez, está inscrito num cone equilátero, de tal forma que uma de suas faces está apoiada na base do cone e os vértices da face oposta estão na área lateral do cone.

A projeção ortogonal do vértice do cone à sua base contém dois pontos de tangência da esfera com o cubo.

Se R e r são, respectivamente, as medidas do raio da base do cone e do raio da esfera, em cm, então

a) ^R ^{3 2 3}

r 3

  b) ^r ^{3 2} ^{2 3}

R 2

 

c) ^R ^{2 6} ^{3 2}

r 3

  d) ^r ^{2 6} ^{3 2}

R 2

 

15) Considere as funções f : ^*  2 e _{g :} ^*_{ } ₂ definidas por

  1

f x 2

 2x e g x  x 2 e, também, a função real h definida por

  ¹  

h x f^ g x . É correto afirmar que a) a função h é par.

b) h 1 2.

c) a função h NÃO é injetora.

d)   1

h x 2 x .

    4

16) A organização de um festival de Rock’n Roll decidiu que os ingressos seriam disponibilizados para venda em quantidades sequencialmente estabelecidas.

(8)

No 1° dia, foram vendidas 30 caixas com 400 ingressos em cada uma.

No 2° dia de venda em diante, foram disponibilizadas 3 caixas a mais em cada dia, porém, em cada caixa, do total de caixas do dia, havia 10 ingressos a menos.

O quadro apresenta a sequência até o 4° dia.

Dia de venda

Quantidade de caixas

Quantidade de ingressos por caixa

1° 30 400

2° 33 390

3° 36 380

4° 39 370

A disponibilização diária de ingressos para venda seguiu a sequência acima até o 38°

dia, último dia de vendas.

Dia a dia, o total de ingressos disponibilizados era integralmente vendido a R$ 50,00, cada unidade.

Sendo assim, o maior valor apurado em um único dia de venda de ingressos foi, em reais, de

a) 924000 b) 931500 c) 937500 d) 938100

(9)

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) d (Estatística e trigonometria)

2) b (Trigonometria no triângulo retângulo) 3) c (Geometria analítica – retas)

4) a (Função logarítmica)

5) a (Função – domínio e inequação) 6) b (Função modular)

7) a (Números complexos)

8) c (Números complexos – representação gráfica) 9) b (Polinômio – relações de Girard)

10) d (Geometria analítica – cônicas e geometria espacial – esfera) 11) a (Progressão geométrica)

12) b (Análise combinatória) 13) c (Probabilidade)

14) b (Geometria espacial – inscrição e circunscrição de sólidos) 15) d (Função – composta e inversa)

16) c (Progressão aritmética e função quadrática)

(10)

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2020/2021 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Fevereiro de 2020 destacou-se por uma quantidade expressiva de chuva em quase todo território nacional. Entre os dias 08 e 14, foram registradas significativas concentrações de chuvas na região Sudeste do Brasil. A atuação da Zona de Convergência do Atlântico Sul (ZCAS), do Vértice Ciclônico de Altos Níveis (VCAN), da Zona de Convergência Intertropical (ZCIT), combinadas com a termodinâmica, proporcionaram áreas de instabilidades, favorecendo acumulados de chuvas significativos.

No gráfico a seguir, estão destacadas algumas cidades do Sudeste e a quantidade acumulada de chuva no período acima mencionado.

Para uma melhor visualização e comparação dos dados acima, foi construído um gráfico de setores.

Considere x o ângulo central correspondente à cidade de Barueri no gráfico de setores.

Em relação a x é correto afirmar que

(11)

a) 2

sen sen x

3



b) cos x cos 6

 

c) 3

sen x sen sen

4 4

 

 

d) 3

cos x sen cos

4 4

 

 

RESPOSTA: d

O total de chuvas no período foi 150 165 145 95 105    660 mm.

A quantidade de chuva na cidade de Barueri foi 165 mm.

O ângulo central correspondente a Barueri em um gráfico de setores é

165 11 15

x 2 2 rad.

660 11 60 2

 

    



Como sen x sen 1

2

  e cos x cos 0,

2

  então

3 2 2

cos x sen cos 0.

4 4 2 2

 

 

     

2) Em uma aula de topografia, o professor queria mediar a largura de um rio. Para tal, ele tomou dois pontos A e B em uma margem do rio e outro ponto C na margem oposta de modo que o segmento CA ficasse perpendicular ao segmento AB, como indicado na figura a seguir.

Considere que:

• a distância entre os pontos A e B é de 30 m;

• os ângulos agudos  e  podem ser obtidos através da equação

sen² x² 9 sen cos  ⁵cos 0,

    2   na qual x2 é uma de suas raízes;

• 2 1,4 e 31, 7.

A largura aproximada do rio, em m, é igual a

a) 15 b) 17 c) 21 d) 51

(12)

RESPOSTA: b

No triângulo ABC, temos cos sen .

Como x2 é raiz de sen² x² 9 sen cos  ⁵cos 0

    2   e substituindo

cos sen , temos

    

  

2 2

2

2 2

2

sen 2 9 sen cos 5cos 0

2

4 sen 9 sen sen 5sen 0

2

4 sen 9 sen 5sen 0

2

5 1

5sen sen 0 5sen sen 0

2 2

sen 0 (não convém) sen 1 2

       

       

      

 

         

 

     

1 3

0 90 sen tg

2 3

         

A largura do rio é CA. No triângulo retângulo ABC, temos:

CA 3 CA

tg CA 10 3 10 1, 7 17 m.

3 30

  AB     

3) Para construir um viaduto, a prefeitura de uma cidade precisará desapropriar alguns locais de uma determinada quadra da cidade.

Para identificar o que precisará ser desapropriado, fez-se um esboço da planta dessa quadra no qual os locais foram representados em um plano cartesiano e nomeados de

A até 1 A , conforme figura a seguir. ₁₀

Esboço da Planta:

(13)

O viaduto estará representado pela região compreendida entre as retas de equações r : 1x y 8 0

2    e s : x 2y 10   0.

Um local será inteiramente desapropriado se o viaduto passar por qualquer trecho de seu território.

Se cada unidade do plano no esboço da planta equivale a 10 m na situação real, então a área total dos locais dessa quadra que precisará ser desapropriada, em m ,² é igual a

a) 5950 b) 6450 c) 6950 d) 7450

RESPOSTA: c

Vamos colocar as equações das retas r e s na forma segmentária.

1 1 x y

r : x y 8 0 x y 8 1

2 2 16 8

         

Assim, a reta r passa por 16, 0 e   0,8 .

x y

s : x 2y 10 0 x 2y 10 1

10 5

         

Assim, a reta s passa por 10, 0 e   0, 5 .

Note que as retas r e s possuem coeficiente angular 1

2 e, por isso, são paralelas.

Representando as duas retas no diagrama do enunciado, obtemos:

Um local será inteiramente desapropriado se o viaduto passar por qualquer trecho de seu território. Logo, somente não serão desapropriadas as regiões A e ₁ A . ₆

Portanto, a área desapropriada no gráfico é _total ₁ ₆ 3 3

A A A 8 10 2 3 69,5

2

         unidades de área.

Se cada unidade do plano no esboço da planta equivale a 10 m na situação real, então uma unidade de área no plano do esboço equivale a 10 10 100 m  ² na situação real.

(14)

Assim, área total dos locais dessa quadra que precisará ser desapropriada é 69, 5 100 6950 m .2

4) No gráfico, MN2 e a curva representa a função   ₁

3

f x  2 log x.

No polígono ABCD, a soma AB BC CD DA,   em unidade de medida, é igual a a) 12 2  10 2 b) 12 10 2

c) 2 6 2 10   2 d) 10 102 2 RESPOSTA: a

B 1

3

a a

y f 2 log

2 2

   

     

   

   

C 1

3

y f 2a 3  2 log 2a 3

(15)

 

C B 1 1

3 3

MN y y 2 log 2a 3 2 log a 2

2

  

             

 

1 1 1

3 3 3

a 2a 3

2 log 2a 3 log 2 log 1

2 a 2

     

           

  ¹

2 2a 3 1 4a 6

3 4a 6 3a a 6

a 3 a

   

          

As coordenadas do ponto B são _B a

x 3

 2 e _B ₁    

3

y  2 log 3    2 1 2.

As coordenadas do ponto C são x_C2a 3    2 6 3 9 e y_Cy_B   2 2 2 4.

O ponto A tem coordenadas  1, 0 , pois   ₁

3

f 1  2 log 1   2 0 0.

       

 

2 2 2 2

AB BC CD DA 3 1 2 0 9 3 4 2 4 8

2 2 2 10 12 12 2 10 2

            

     

5) Seja D o conjunto domínio mais amplo da função real     ² 

2

x 4 x 25 f x

x 5x 4

 

    e S o conjunto solução da inequação _{x 6}_{ }_{x x 6 .} _  O conjunto DS é

a) ^{  }^{, 6}  ^{1, 5} ^^{ }⁴ ^b)^{  }^{, 5}    ^{1, 4} ^ ^{4, 5}

c) ^{  }^{, 6}    ^{1, 4} ^ ^5,^ ^d)   ^{1, 4} ^ ^5,^

RESPOSTA: a

        

  ^ ^^^ ^ ^ ^ ^

2

2 2

x 4 x 25 x 4 x 5 x 5 x 4 x 5 x 5

f x x 5x 4 x 5x 4 x 1 x 4

       

  

  

     

   

  

 

x 4 x 5 x 5 x 5 x 5

0 0 x 4

x 1 x 4 x 1

    

    

   

Note que sublinhamos x4 para indicar que, ao passar por ele, não há mudança de sinal. Selecionando os intervalos de valor negativo ou nulo, temos:

     

D   , 5 1, 4  4, 5 .

Vamos agora resolver _{x 6}_{ }_{x x 6 .} _ 

        

   

x 6 x x 6 x x 6 x 6 0 x 6 x 1 0

x 6 x 1 S , 6 1,

           

          

(16)

A interseção dos conjuntos D e S é

          ^{ }

D    S , 6 1, 4  4,5    , 6 1,5  4 .

6) Considere a função real f definida por f x     c x c , com c . Dos gráficos apresentados nas alternativas a seguir, o único que NÃO pode representar a função f é

RESPOSTA: b

Se c0, então f x  x  x , que corresponde ao gráfico da alternativa a).

(17)

x c, se x c x c

x c, se x c

 

    

Se xc, então     x 2c, se x 2c

f x c x c x c c x 2c .

x 2c, se x 2c

  

               

Se xc, então     x, se x 0

f x c x c x c c x .

x, se x 0

 

             

Se c0, então  

x, se x 0 x, se 0 x c

f x ,

x 2c, se c x 2c x 2c, se x 2c

 

  

    

  



que corresponde ao gráfico da

alternativa c). Note que os “bicos” estão em  ^{0, 0 ,} ^{c, c e}^{2c, 0 .}

Se c0, então   x, se x c

f x ,

x 2c, se x c

 

    que corresponde ao gráfico da alternativa d).

Note que o “bico” ocorre em c, c  e que  c 0.

Portanto, o gráfico da alternativa b) não pode corresponder à função f.

(18)

7) Considere no plano de Argand-Gauss os números complexos z x yi, em que x e y são números reais e  1 i, tais que

  ² ²     ¹⁰⁹³   z i 5

  

        



É correto afirmar que os pontos P x, y , afixos de z, podem formar um  

a) trapézio isósceles. b) trapézio retângulo.

c) pentágono regular. d) quadrado.

RESPOSTA: a

Inicialmente, vamos calcular i¹⁰⁹³.

 ²⁷³

1093 4 273 1 4 1 273

i i ^ ^  i  i 1  i i

Substituindo Re z x, Im z y e z² x²y² na 2ª igualdade, temos:

         

 

2 2 1093

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

y x yi x y x x 2iy 12

y x 2xyi y x y x 2xyi 12

y x 12 x 12 y

 

       

        

        

     

Vamos agora analisar z i 5.

    ²  ² ²

z i  5 xyi    i 5 x y 1 i  5 x  y 1 5 Substituindo x² 12y, vem:

12y  y 1 ² 2512 y y²2y 1 25y² y 12    0 y 4 y3

 

2 2

y 4 x 12 4 16 x 4

y 3 x 12 3 9 x 3

         

       

Os pontos do plano de Argand-Gauss correspondentes aos valores de z são  4, 4 ,

4, 4 ,  3, 3 e  3, 3 e formam um trapézio isósceles.

(19)

8) Considere no plano de Argand-Gauss os números complexos _z__{A cos} _{ }_{i sen}__e

 

wB cos i sen , conforme gráfico abaixo.

Se wz ,⁴ então B é igual a

a) 12 b) 12 3 c) 144 d) 144 3

RESPOSTA: c

 ²  ²

zAcis   3 3i z  3  3  9 3  12

 ⁴

4 4 4 2

wz  w  z  z  12 12 144 wBcis  B w 144

9) O polinômio de raízes reais distintas e coeficientes reais,

  ³ ²

P x 6x mx 18xn, é divisível por _x_ e possui duas raízes simétricas. Se

  

P P  9, então P 1 é igual a  

a) 9 b) 6 c) 3 d) 0 RESPOSTA: b

Pelo teorema do resto, se P x é divisível por   x , então  é uma raiz de P x .   Como  é raiz de P x , então   P   0 P P    P 0^{ } n 9.

Assumindo que  e  são as duas raízes simétricas e são diferentes de , então as três raízes do polinômio P x do 3° grau são , ,    .

Pelas relações de Girard, temos:

1  

m m 6

          6     (*)

    ² ²

2

18 3 3

            6       

  ²

3

n n 9 1

3 6 18 18 2

                

(20)

(*) 1

m 6 6 3

       2

Portanto, P 1         6 1³ 3 1² 18 1 9 6.

10) Sejam as curvas : x²y² r² e : y²x² 4 tangentes em dois pontos distintos do plano cartesiano. Considere S o conjunto de pontos P x, y tais que  

2 2 2

x y r . Se for realizada uma rotação (revolução) de 90 dos pontos de S em torno de uma das assíntotas de , então o sólido formado tem uma superfície cuja área total, em unidade de área, mede

a) 16

3  b) 8 c) 12 d) 16

RESPOSTA: d A curva

2 2

y x

: y x 4 1

2 2

      é uma hipérbole equilátera com centro O 0, 0 ,  

eixo focal vertical e semieixos real e imaginário a b 2. Assim, as assíntotas da hipérbole são a

y x x.

 b  

A curva : x²y² r² é uma circunferência de centro O 0, 0 e raio r . Para que a  

circunferência  seja tangente à hipérbole , devemos ter r 2.

A circunferência, a hipérbole e suas assíntotas estão representadas na figura a seguir:

(21)

Realizando uma revolução de 90 do círculo (disco) da figura ao redor da assíntota yx, obtemos duas cunhas esféricas simétricas em relação à assíntota. Isso está representado na figura a seguir onde o eixo vertical está sobre yx.

A área total das duas cunhas esféricas é igual à metade da área da esfera mais a área de duas circunferências de raio 2, ou seja, 1 ² ²

S 4 2 2 2 8 8 16 .

  2        