Seconde

2. ÉTUDE D’UNE COLLECTION DE MANUELS 85

II.1) L’expérimentation a pour but de permettre à l’élève d’émettre une conjecture sur le lieu de point décrit parM^′. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique facilite l’expérimentation en permettant la construction de la trace du pointM^′lorsqueM bouge sur le cercle.

Le rôle de l’expérimentation est donc la mise en évidence d’un fait.

II.2) Le rôle de l’élève est d’effectuer les manipulations demandées par le manuel : « Créer. . . », « Construire. . . », « Faire bouger. . . », . . . L’élève est donc dans une position d’observateur des manipula- tions demandées par le manuel.

II.3) Nous remarquons que le manuel demande explicitement de quitter le logiciel de géométrie durant la phase de démonstration par la phrase suivante : « On quitte le logiciel et on prend sa feuille de papier. » L’expérimental ne semble donc pas avoir sa place durant le processus de démonstration. L’expérimentale est utilisée pour contrôler la conjecture émise.

II.4) Il n’y a pas possibilité de se poser de nouvelles questions, une fois la preuve effectuer le problème est terminé.

II.5) L’élève est obligé de suivre le chemin tracé par le manuel ce qui va le conduire à la résolution du problème, il n’y a donc pas d’activité de modélisation. En plus de cela, nous pouvons signaler que la partie 3 : Vérification à l’aide du logiciel d’une conjecture faite fourni la modélisation à utiliser pour résoudre le problème.

Commentaire: Cet exercice montre l’aspect outil des transformations. Il permet aussi de manipuler un logiciel de géométrie dynamique, en particulier la fonction trace. L’hypothèse que nous émettons est que le manuel n’a pas laissé les expérimentations à la charge de l’élève, car il voulait s’assurer que le statut de point libre soit donné au point M et que la fonction trace soit activée. L’activation de la fonction trace sur le point M^′ est presque nécessaire pour pouvoir conjecturer que l’ensemble de points décrit par M^′ est un cercle.

2.1.2. Un exemple d’exercice de type B. Les exercices du type B sont les exercices dont la question est une question ouverte. La figure VI.1 présente un exercice de ce type.

Fig. VI.1. Un exercice de type B.

Cet exercice propose une question ouverte, dont le chemin de résolution n’est pas donné par le manuel. Cependant, nous pouvons trouver dans le cours (p. 200) une propriété qui permet de répondre directement à cette question : deux droites sécantes sont coplanaires. Cet exercice permet tou- tefois de mettre en place des expérimentations ou des changements de ques- tions (pour simplifier le problème nous pourrions dans un premier temps

considérer que les 4 points sont dans un même plan). Dans cet exercice, l’élève peut effectuer ses propres expérimentations.

2.1.3. Un exemple d’exercice de type C. La figure VI.2 représente un tel exercice. Nous avons décidé de prendre en compte ces exercices dans notre analyse, car cela permet de répondre à la question 5a sur les raisons qui poussent le manuel à prendre où à laisser l’expérimentation à la charge de l’élève.

Le problème de l’exercice de la figure VI.2 est la résolution d’une équa- tion du second degré. Pour résoudre ce type d’équation, la technique que le manuel demande de réaliser est de factoriser l’expression. La détermination des facteurs se fait de manière expérimentale par lecture graphique suivi d’un calcul algébrique montrant que ce qui a été déterminé graphiquement est correct. Cette technique n’est valable que lorsque la représentation gra- phique des fonctions permet d’obtenir les racines sur un multiple de l’unité de l’axe des abscisses, ce qui est bien le cas ici.

Fig. VI.2. Un exercice de type C.

Essayons maintenant de répondre aux questions précédentes concernant cet exercice :

I.1), I.2) La démarche est linéaire : observation du graphique puis preuve.

L’expérimental n’est pas utilisé dans la démarche de preuve, ni pour contrôler les conjectures, car l’exercice ne laisse pas la possi- bilité à l’élève de représenter ces courbes autrement, par exemple en effectuant un zoom.

I.3) Une question est à l’origine.

I.4) L’incertitude expérimentale est absente. En effet, nous faisons l’hy- pothèse que les élèves ne vont pas remettre en cause le fait que l’in- tersection des courbes se fait pour des abscisses entières. Cette hy- pothèse est relié à la possible règle de contrat didactique suivante : les figures données par le manuel représente « parfaitement » les objets qu’elles représentent. D’autre part, il est même nécessaire, pour pouvoir finir cet exercice de considérer que les abscisses sont entières.

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II.1), II.2) L’expérimentation apparaît ici comme un outil permettant de ré- soudre le problème, elle a pour but de mettre en évidence un fait.

L’élève est uniquement dans un rôle d’observateur.

II.3) La preuve sert, ici, à valider les observations effectuées sur la figure.

Toutefois, la preuve étant un calcul algébrique de base, elle ne nous semble pas pouvoir faire intervenir l’expérimentale, d’autant plus que les valeurs à conjecturer sur la figure sont correctes.

II.4) Le problème ne permet pas de se poser de nouvelles questions, car il est fermé.

II.5) Le problème ne permet pas à l’élève de construire sa propre mo- délisation puisque c’est le manuel qui donne la représentation gra- phique de l’équation et qui demande d’effectuer la factorisation.

2.1.4. Résultats. Nous n’avons trouvé que peu d’exercices du type A, B ou C, puisqu’au total pour ces 3 types, nous n’avons trouvé que 41 exercices alors que le livre en contient 1008.

Dans le manuel de seconde, nous n’avons trouvé que peu d’exercices proposant une question ouverte (type B), ils sont au nombre de 8 (voir an- nexe ? ? ? ? page ? ? ? ? ?). Il y a par contre un nombre important d’exercices du type A, c’est-à-dire, demandant d’effectuer une expérimentation, ils sont au nombre de 27 (voir annexe page ? ? ? ? ?). Les manipulations demandées par le manuel sont des trois types suivants :

– construction et déformation d’une figure géométrique à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou à la main ;

– calculer des « formules » à la main ;

– représenter des courbes en utilisant une calculatrice graphique.

Nous avons trouvé 6 exercices du type C dans lesquels ce n’est pas une expérimentation qui est demandée mais une observation sur une figure four- nie par le manuel.

Les exercices de type B ne proposant qu’une unique question ouverte, nous considérerons que ce sont des exercices qui permettent le travail d’une démarche expérimentale telle que nous la préconisons, à ceci près que les pro- blèmes ne sont généralement pas suffisamment « ouverts » pour permettre de se poser de nouvelles questions et qu’ils peuvent se résoudre en utilisant les théorèmes du cours ne permettant pas la construction de nouveaux outils de résolution et ainsi un travail de modélisation.

Les exercices de type A nous permettent de répondre à nos questions, car ils sont généralement découpés en sous-questions qui nous permettent d’obtenir un squelette de la démarche utilisée. Voici les réponses que nous obtenons :

I.1), I.2) La démarche utilisée est exclusivement linéaire : mise en place d’une expérimentation puis observation puis émission d’une conjecture suivi d’une vérification par la mise en place d’une nouvelle expéri- mentation (pas souvent) et pour finir la phase de preuve.

I.3) Très peu d’exercice commence par une questions.

I.4) Il n’y a pas présence d’incertitude expérimentale du fait que : – comme les expérimentations ne sont pas laissées à la charge

de l’élève mais demandées par le manuel. La règle de contrat

Fig. VI.3. Exercice du type A

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suivante : ce que me demande de faire le manuel me permet de résoudre le problème, permet d’enlever toute incertitude expérimentale. De plus, lorsqu’il y a des observations numé- riques à effectuer, le manuel s’arrange pour que cela soit sur des nombres entiers ;

– la conjecture est souvent renforcée par les questions qui vont suivre ;

– dans le t.d. 2 p. 71, le manuel demande de considérer les résultats expérimentaux comme vrais ;

– un seul exercice met en garde les élèves contre ce qui est affichée par la calculatrice (activité 3 p. 61) ;

– la démarche linéaire observation, conjecture puis preuve ne permet pas la mise en place d’une incertitude, du fait de la possible règle de contrat suivante : le manuel ne va pas nous demander de prouver un résultat qui est faux. De ce fait, s’il y a incertitude elle ne porte que sur la validité de la preuve et non du résultat. Ce qui participe à donner un aspect linéaire à la démarche.

II.1) Le principale rôle des expérimentations demandées par le manuel est de faire émettre des conjectures. La mise en évidence d’un fait semble donc être le principale rôle de l’expérimentation. Les exer- cices de recherche d’un maximum ou d’un minimum, ou encore de résolution d’une équation du second degré sont résolus à l’aide d’une technique que l’on peut qualifier d’expérimentale : nous émet- tons une conjecture sur la solution et nous montrons ensuite par un calcul algébrique que ce nombre est bien solution, c’est grâce à cette conjecture sur la solution que ces exercices sont résolvables en utilisant les éléments fournis par le cours. L’expérimentation appa- raît ainsi comme un outils dans la résolution. Cependant, ici, l’outil n’est utilisable que lorsque l’unité de l’axe des abscisses ou des or- données est un multiple de la solution, ce que nous ne pouvons pas savoir a priori. Nous ne considérons pas que ce sont des exercices mettant en jeu une démarche expérimentale, car ils ne sont que l’application d’une technique expérimentale.

II.2) L’élève est le plus souvent dans une position d’observateur. L’élève ne fait qu’effectuer les manipulations demandées par le manuel, manipulations qui permettent la résolution de l’exercice.

II.3) L’expérimental ne semble pas utiliser dans la démarche de preuve puisqu’il semble y avoir une « clôture » (comme sur la figure VI.1) entre l’expérimental qui est utilisé pour obtenir une conjecture (et parfois à la contrôler) et la phase de preuve.

Tous les exercices ne commencent pas par une question, plu- sieurs exercices commencent par demander d’effectuer des observa- tions sans que l’on sache pour quelles raisons les effectuer comme l’exercice 86 p. 34 de la figure VI.4.

Fig. VI.4. Un exercice qui commence par des observations.

La première question joue, ici, le rôle d’observation de réfé- rence, elle est indiscutable, de ce fait elle empêche toute inférence inductive autre que celle souhaitée par le manuel⁵.

II.4) Il n’y a pas possibilité de se poser de nouvelles questions, car les exercices ne sont pas posés de manière suffisamment générale pour permettre de traiter de nouvelles questions, il y a une fin à chaque exercice.

II.5) L’élève ne peut pas construire son propre modèle de la situation. En particulier, lorsqu’un changement de représentation est utile pour résoudre l’exercice, il est introduit par le manuel qui ne laisse donc pas l’élève prendre à sa charge l’activité de modélisation.

Nous faisons l’hypothèse que ces exercices sont choisis pour, dans un premier temps, mettre en place une démarche expérimentale linéarisée et en- suite permettre aux élèves de s’approprier les outils technologiques telles que les calculatrices graphiques et les logiciels de géométrie dynamique. Cette hypothèse se justifie par les titres des activités : Courbe à l’écran d’une cal- culatrice p. 61, Courbe et lecture à l’écran d’une calculatrice p. 71, utilisation d’un logiciel de géométrie pour construire une figure p. 269. . . Mais aussi par les textes comme ceux des figures VI.5 ou VI.3. Ceci est aussi confirmé par les objectifs du programme de seconde (B.O. hors série n°7, 30 août 2001) :

L’informatique, devenue aujourd’hui absolument incontour- nable, permet de rechercher et d’observer des lois expéri- mentales dans deux champs naturels d’application interne des mathématiques : les nombres et les figures du plan et de l’espace.(p. 31)

Utiliser de façon raisonnée et efficace la calculatrice pour les calculs et pour les graphiques.(p. 33)

Certains exercices du manuel ont donc deux objectifs : le travail de la démarche expérimentale et l’appropriation des outils technologiques.

D’autre part, nous faisons l’hypothèse que l’expérimentation n’est pas laissée à la charge des élèves, car le manuel veut imposer l’utilisation d’outils bien précis. Effectuer la « bonne » expérimentation, avec ces outils, nécessite

5Nous pouvons aussi remarquer que le manuel associe à la formule (a priori dépendante den) la lettreB(indépendante den), implicitement cela signifie queBest une constante, ce qui est le cas ici.

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Fig. VI.5. Comment se servir de sa calculatrice.

de posséder des connaissances (sur ces outils) que les élèves ne possèdent pas nécessairement, pour remédier à cela, le manuel est contraint à donner les manipulations à effectuer. De plus, en donnant les manipulations à effectuer, le manuel s’assure que les élèves vont conjecturer ce qu’il souhaite : c’est un moyen de contrôler ce que les élèves vont observer. Le manuel construit un scénario de démarche de découverte qu’il fait exécuter à l’élève.

Concernant les exercices de type C, notre hypothèse est que la figure est fournie pour éviter de donner les manipulations à effectuer, car le but n’est pas dans ces exercices l’appropriation de l’outil technologique mais de la mé- thode de résolution utilisant ces outils. D’ailleurs, pour les exercices du type de celui de la figure VI.2, le manuel, après deux exercices semblables dans lesquels il donnent une figure, décide de demander, dans un nouvel exercice, de résoudre des équations en utilisant la technique utilisée dans les exercices précédents sans fournir de figure. Il laisse donc la production de la figure à la charge de l’élève. Nous ne pouvons, toutefois, pas considérer que les élèves en résolvant ces nouvelles équations pratiquent une démarche expérimentale, car ils ne font qu’utiliser une technique de résolution connue⁶possédant une partie expérimentale.

2.1.5. Conclusion sur le manuel de seconde. Le manuel de seconde pré- sente la démarche expérimentale de manière linéaire à travers les exercercices qu’ils proposent : réalisation d’une expérience→observation→formulation d’une conjecture→preuve du résultat conjecturé. De plus, un grand nombre d’exercices (parmi ceux que nous avons identifiés) ne laissent pas à l’élève la possibilité de réaliser ses propres expérimentations, il n’effectue que les manipulations demandées par le manuel en utilisant les outils préconisés par celui-ci. De ce fait, il n’est pas dans le rôle d’un expérimentateur mais d’un observateur. Ceci peut s’expliquer par :

– le fait que le manuel ne fournit pas, tout le temps, la problématique, l’exercice commençant par une observation ;

– la préconisation d’outils technologiques pour réaliser ces expérimenta- tions, qui nécessitent pour être réaliser correctement des connaissances sur les outils que les élèves n’ont pas forcémment ;

– c’est une manière de contrôler les observations de l’élève et ainsi de l’empêcher de conjecturer un résultat autre que celui attendu (qui est

6La technique est utilisable, seulement, lorsque les racines sont entières.

le « bon » résultat). Les expérimentations demandées par le manuel sont, d’ailleurs, le plus souvent « pertinentes⁷» ;

L’incertitude expérimentale n’est donc pas présente, essentiellement, car le manuel ne prévoit pas la possibilité pour l’élève de conjecturer un résultat faux : il n’y a pas de dialectique entre preuve et expérimentation. L’expéri- mentation validative n’est que très peu utilisée, le rôle de l’expérimentation est réduit à la mise en évidence d’un fait.

Concernant l’activité de modélisation, elle n’est pas présente, puisque les exercices peuvent se résoudrent en utilisant les connaissances du cours.

De plus, lorsqu’il peut être utile de changer de représentants pour avancer dans la résolution, la nouvelle représentation est donnée par le manuel.

Le manuel construit une démarche de découverte linéaire et scénarisée qu’il fait jouer à l’élève, nous ne pouvons donc pas parler de démarche ex- périmentale. L’élève n’est qu’un observateur.