1. Une synthèse : le dossier de veille de l’INRP
L’institut national de recherche pédagogique a publié un dossier sur les travaux concernant la démarche expérimentale (Kuntz et al., 2007). Ce dossier comporte un bref historique de ce savoir-faire, ainsi qu’une synthèse de l’état actuel de l’enseignement de la démarche expérimentale en France et à l’étranger. Il inclut aussi des résultats d’expérimentations menées en France concernant l’apport de la démarche expérimentale sur l’apprentissage des mathématiques.
2. La démarche expérimentale et la construction de savoirs notionnels
2.1. Les travaux de Dias. Dans « La dimension expérimentale des mathématiques : un levier pour l’enseignement et l’apprentissage », Dias recherche une organisation didactique pertinente pour la construction des sa- voirs notionnels. Son hypothèse de recherche principale est « que la construc- tion des savoirs et connaissances scientifiques nécessite1un recours à l’expé- rimentation dans un environnement didactique spécifique. » (p. 25).
L’auteur s’interroge donc sur la dimension expérimentale des mathéma- tiques, qu’il caractérise comme « un va et vient constant entre théorie et expérience » (p. 25). Il questionne l’expérimentation et identifie, à l’aide d’une analyse épistémologique, différentes caractéristiques d’expérimenter.
Expérimenter c’est :
– rencontrer l’incertitude ;
– c’est construire un réel partager ;
– c’est interagir avec des objets selon un rapport dialectique ; – c’est construire du nouveau à partir du familier.
Cette analyse l’amène à conclure que « la dimension expérimentale des mathématiques est consistante sur le plan épistémologique. » (p. 43).
Il détermine alors des caractéristiques d’un milieu propice à l’expérimen- tation. Il s’appuie sur les travaux de Brousseau pour mettre en avant le fait que le va et vient entre objets sensibles et théoriques peut se faire à tra- vers les phases d’action-formulation et de validation. Il utilise les travaux de Bloch,MargolinasetBrousseaupour appuyer le fait qu’il est pertinent que le milieu laisse aux élèves la possibilité d’agir, tout en leur renvoyant des rétro-actions. D’autre part, il stipule que l’utilisation d’instruments est pertinente du fait de leur capacité à favoriser l’activité mathématiques et
1Le caractère nécessaire nous apparaît comme trop fort.
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accorde une importance particulière aux signes dans la formulation et l’inter- prétation. De plus, les objets matériels ainsi que les savoirs de base doivent être « suffisament familier pour le sujet afin que celui-ci puisse s’engager dans l’action, en dégager des conjectures et les questionner. » (p. 99).
Ces différentes caractéristiques, il les retrouve dans ce qu’il appelle « un milieu laboratoire ». Ce milieu comprend 3 dimensions :
– une dimension sémantique permettant un discours sur les objets ; – une dimension syntaxique représentant les connaissances des sujets sur
les objets ;
– une dimension pragmatique dans laquelle le sujet peut modifier ses connaissances grâce aux interactions qu’il y développe.
Une des hypothèses de recherche de l’auteur est que les milieux de type laboratoire permettent la médiation entre les objets sensibles et théoriques à travers les phases d’action, de formulation et de validation.
La situation étudiée et expérimentée dans la thèse est celle des poly- hèdres réguliers de Platon2. L’auteur a conduit des expérimentations dans l’enseignement spécialisé3 qui lui ont permis de confirmer la pertinence des milieux de type laboratoire pour la construction de connaissances scienti- fiques.
2.2. Les travaux d’Aldon. Aldon (2007) s’intéresse à la démarche expérimentale comme levier à l’apprentissage de nouvelles connaissances ma- thématiques. Il émet l’hypothèse que la faible diffusion des problèmes de recherche dans les classes est, en partie, dûe à un usage dont l’objectif prin- cipal est l’apprentissage de savoirs transversaux. Il cherche donc à mettre au point des situations de recherche qui puissent aussi être utilisées pour la transmission de savoirs mathématiques notionnels institutionnalisables et pouvant ensuite être travaillés en classe. Grâce à des observations d’élèves en situation de recherche,Aldon(ibid.) montre le rôle joué par les expériences dans la construction de nouvelles connaissances.
2.3. Un accès aux concepts élémentaires de théorie des nombres.
Sinclaire,ZazkisetLiljedahl(2003) ont utilisé un micro-monde sur les nombres entiers conçu pour permettre aux utilisateurs de rentrer dans une démarche expérimentale4afin de résoudre des problèmes mettant en jeu des concepts de théorie des nombres5. Le logiciel a été conçu pour favoriser la mise en place de raisonnements à partir d’images.
Un des résultats de l’expérimentation est que certaines conceptions assez répandues – comme « plus le nombre est grand, plus il a de facteurs »– ont été remises en question par les expériences réalisées à l’aide du logiciel.
2Elle consiste à déterminer les polyèdres convexes de l’espace qui sont réguliers.
3Les expérimentations ont été menées auprès d’élèves en CLIS et UPI TSL
4Les auteurs définissent la démarche expérimental de la manière suivante : We use the term ’experimental approach’ to describe ways of discovering that rely on empirical methods.
5L’utilisation du logiciel était optionnel, la moitié des participants ont utilisé les ordinateurs.
3. LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTALE ET L’APPRENTISSAGE DE LA PREUVE 69
2.4. L’apprentissage du concept de fonction médiée technolo- giquement. Lagrange (2005) s’intéresse aux outils technologiques (logi- ciels de calculs algébriques) comme aide à l’étude de relations fonctionnelles.
Il cherche à « transposer » les pratiques des chercheurs en mathématiques concernant la démarche expérimentale en utilisant des outils technologiques construit pour la classe. Pour cela, il développe une situation utilisant le logiciel Casyopée.
La situation construite parLagrangea pour objectif de permettre aux élèves de concilier raisonnement inductif et construction de connaissances théoriques, en opposition à ce qu’il appelle «poor induction» dans laquelle les connaissances théoriques sont fournies par l’enseignant.
L’auteur identifie un «gap» chez les élèves dans l’articulation technique- théorie. Pour y remédier, il considère la systématisation des méthodes expé- rimentales et l’instrumentation des outils comme une possible solution.
3. La démarche expérimentale et l’apprentissage de la preuve Nous avons vu précédemment que le processessus de preuve est un des éléments constitutifs d’une démarche expérimentale. Dans cette sous-section, nous nous intéresserons aux travaux qui ont étudié ce processus en lien avec la démarche expérimentale.
Même si dans la littérature nous ne trouvons que peu de trace de tra- vaux parlant de démarche expérimentale et de preuve, certains auteurs, sans mentionner le terme démarche expérimentale, soutiennent la pertinence de placer les élèves en situation de démarche scientifique pour la production de conjectures et de preuves. Dans cette section, nous allons faire une synthèse de ces travaux.
3.1. L’école italienne. Boero, Garuti et Mariotti (1996) sou- tiennent l’hypothèse que la «dynamic exploration » joue un rôle crucial dans la résolution de problème. Selon eux, elle favorise la production et la preuve de la conjecture requise pour résoudre le problème. Derrière l’expres- sion « dynamic exploration », il nous semble qu’on retrouve la volonté de placer les élèves dans une activité de démarche d’expérimentale par l’apport de matériel qu’ils peuvent utiliser pour mener leurs explorations. Ils mettent aussi en avant le fait que l’exploration du problème permet d’établir des liens logiques entre les faits (condition suffisante/nécessaire).
Dans (Boero et al., 1996), les auteurs font l’hypothèse d’un lien cog- nitif entre la production de conjectures et la construction de preuves. Ils remarquent une continuité au niveau des arguments utilisés6. En particu- lier, si une argumentation est développée pour supporter la conjecture, les expériences menées confirment que la preuve est alors plus accessible aux élèves. Cela vient renforcer l’hypothèse de l’investigation comme levier à la production de preuve. Les auteurs soulignent aussi l’importance du contrat didactique, du «field of experience» et de la gestion de la classe pour obtenir ce type de résultats.
6Des arguments utilisés pour soutenir la conjecture sont réutilisés lors de la construc- tion de la preuve
Toutefois, Pedemonte(2007) montre que même s’il y a une continuité entre l’argumentation et la preuve, il peut aussi y avoir une différence struc- turelle, qui si elle n’est pas « comblée » par les élèves va entraîner un échec au niveau de la preuve.
Certains des auteurs mentionnés précédemment se sont aussi intéressés au processus qui vont permettre de produire des propositions conditionnelles (du type « si A alors B. . . »). Dans (Boero,GarutietLemut, 1999), les auteurs identifient 4 processus à la base de propositions conditionnelles. Ces processus ne sont pas seulement basés sur l’observation mais comportent une part d’exploration à travers la génération d’exemples et de cas particuliers : ces processus sont de nature expérimentale.
D’autre part, nous pouvons remarquer que dans (ibid.), les auteurs iden- tifient des liens entre ces processus et la production de preuve, nous pouvons voir que le moment clé dans chacun des liens identifiés est la production d’un nouveau problème.
Bartolini Bussi(2009) émet l’hypothèse que lorsque la conjecture est produite trop rapidement, il se peut que la phase de production de conjec- ture ne produisent pas suffisament d’arguments pour la preuve. Pour éviter cela, l’auteur conseille d’utiliser des stratégies qui vont ralentir la phase de production de conjectures et favoriser l’exploration du problème.
3.2. Expérimentation et preuve sont complémentaires. Kor- tenkamp (2006) a aussi travailler sur l’apprentissage de la preuve à l’aide de l’expérimentation. Pour lui l’enseignement de la preuve ne comprend pas seulement le «how to prove» mais aussi le «when to prove». Dans cet ar- ticle, l’auteur s’emploit à expliquer pourquoi il considère que l’expérimenta- tion et la preuve ne sont pas opposés mais complémentaires. Les expériences sont, pour lui, une source de motivation à la preuve. D’autre part, il souligne le caractère validatif, génératif et explicatif des expériences. En particulier, il met en avant qu’expérimenter peut permettre de trouver des preuves.
3.3. Raisonnement hypothético-déductif. Nous pouvons aussi ci- ter Jahnke (2007), qui soutient l’hypothèse que la compréhension de la preuve mathématique du point de vue épistémologique est favorisée par la formulation d’hypothèse et par le «test» de leurs conséquences (à la manière d’un physicien) plutôt que par l’élaboration de chaîne de déduction.
3.4. L’intérêt des « théories locales ». GrenieretTanguay(2010) montre que l’expérimentation, couplée au contrat didactique usuel concer- nant la preuve, peut dans certains cas éloigner les élèves des raisonnements pertinents et de la preuve. En effet, l’expérimentation qu’ils ont conduite sur les polyèdres réguliers n’a pas été concluante au niveau de la preuve.
Les élèves, bien qu’ayant expérimenté et exploré le problème, n’ont pas pro- duit les arguments et raisonnements appropriés. Les auteurs expliquent cela par un contrat didactique mettant l’accent sur la formulation empiriques de conjectures et sur la prédominance de preuves de nature calculatoire.
D’autre part, ils expliquent certaines conceptions des élèves par des appels non contrôlés à leur intuition. Enfin, s’appuyant sur les travaux deJahnke, ils soutiennent l’hypothèse que les élèves ont construits leurs propositions
5. LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTALE ET LE DÉVELOPPEMENT DE COMPÉTENCES RELATIVES À LA RÉSOLUTION
sans faire appel à des «local theories », restant ainsi dans une relation de vérité et non de validité.
En conclusion, Grenieret Tanguay(ibid.) soutiennent que : [. . . ]current curricular trends, promulgating proving processes based on experimentations and conjectures, will lead to en ef- ficient learning of proof, with proof attaining its full meaning in the learner’s understanding, only if these processes are set within a genuine process of building ’small theories’[. . . ]
3.5. Formation des enseignants. Avec une perspective différente, Gandit (2008) utilisent les situations de recherche et la pratique de la dé- marche d’investigation dans une ingienierie de formation des enseignants dont l’objectif est de travavailler leur conception sur la preuve. En effet, l’enquête que l’auteur a mené montre que l’enseignement « classique » de la preuve en dénature son sens (p. 86) :
la preuve est un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours, elle s’apprend dans un contexte, où le doute est absent, où il n’y a pas d’enjeu de vérité, on suit un modèle de rédaction donné qui montre l’enchaînement de pas ternaires, construits sur le mode hypothèse/règle/conclusion.
En conclusion, il nous semble que de nombreux auteurs soutiennent l’hy- pothèse que permettre aux élèves de produire leurs propres conjectures et de leur laisser le temps de les affiner et d’en explorer les conséquences est un levier à l’apprentissage de la preuve.
4. La démarche expérimentale et la perception des mathématiques
Dans sa thèse, Godot (2005) s’intéresse (entre autres choses) à la dif- fusion de la culture mathématiques et à l’apport des situations de recherche vis-à-vis de la culture scientifique. Les enquêtes que l’auteur a mené ont mon- tré que la plupart des élèves ont une vision dans laquelle faire des mathém- tiques consiste à résoudre des problèmes numériques en faisant des calculs.
Pour changer ce rapport aux mathématiques, l’auteur propose d’utiliser des situations de recherche (p. 317) :
[. . . ] nous faisons l’hypothèse que les situations de recherche peuvent contribuer à enrichir l’image des mathématiques, quelles que soient l’institution où elles sont mises en œuvre.
Godot(ibid.) justifie ce choix par le fait que les situations de recherche
« montrent et font vivre les mathématiques sous leur aspect expérimental,
« les mathématiques en train de se faire ». ».
5. La démarche expérimentale et le développement de compétences relatives à la résolution de problème
Les expérimentations menées par Godot (ibid.) révèlent que les situa- tions de recherche mettent en jeu des notions transversales comme « l’argu- mentation, la généralisation, l’impossibilité, la modélisation, la recherche de preuve. » (p. 209) qui ne sont que rarement travaillées en classe.
Nous pouvons aussi mentionner l’article dePapadopoulosetIatridou (2010) dont l’objet est l’étude des phases expérimentales produites par des élèves en situation de résolution de problème. Pour les auteurs, l’enseigne- ment des théorèmes est paradoxal :
However, in the classroom setting a theorem that is introdu- ced to the students demanding its proof creates a paradox.
Ce paradoxe a amené les auteurs à proposer une situation, portant sur le théorème de Pick7, dans laquelle il est demandé aux élèves de déterminer la formule du théorème. Les donnent aux élèves l’information suivante :« la formule utilise le de points appartenant à l’intérieur du polygone et le nombre de points appartenant à sa frontière ». L’expérimentation de cette situation a permis aux auteurs de répondre aux questions suivantes :
(1) Quelle est l’influence de l’expérience acquise lors de la résolution de problème sur les expérimentations produites par les élèves ? (2) Quels sont les contrôles (expérimentaux) que les élèves ont déve-
loppé ?
Les élèves ayant participé à l’expérience avaient suivi des cours de «pro- blem solving » dont l’objectif était le calcul d’aire de formes irrégulières.
Ces cours ont permis aux élèves d’apprendre les prérequis nécessaires à la résolution d’un problème portant sur les aires ainsi que de développer des techniques pour calculer les valeurs de celles-ci.
Lors des expérimentations, les élèves ont réutilisé des techniques dé- veloppées lors de ces cours. Au niveau de l’expérimental, les auteurs ont remarqué que les élèves avaient identifié des variables qu’ils considéraient comme pertinentes (nombre de points internes, nombres de points sur la frontières, aires), ils ont alors conduit des expérimentations en faisant varier ces variables : une libre et les autres fixés, afin d’identifier leur rôle.
En réponse à la question 1), les auteurs ont conclu que pour que les expérimentations des élèves soient efficaces, un prérequis est de posséder les connaissances suffisantes en rapport avec le concept en jeu dans la situation, ici l’aire. Ils ont rajouté que l’absence de connaissance pouvait handicaper la partie expérimentale.
Par rapport aux contrôles, les auteurs ont remarqué que les élèves ont expérimenté en controllant la forme des polygones ainsi que les relations entre les variables.
Notre point de vue par rapport à cette situation est d’une part qu’il aurait peut être était possible que les élèves développent les techniques re- latives aux calculs d’aires en tentant de résoudre les sous-problèmes induit par le problème initial. En effet, l’expérimental à travers le problème de la validation du produit de la stratégie aurait amené les élèves à rencontrer le problème suivant : comment déterminer l’aire d’un polygone?
D’autre part, les variables « pertinentes » ne sont pas identifiées par les élèves mais données par l’énoncé. L’énoncé général quel est l’aire d’un poly- gone dont les sommets sont sur des points de la grille ? pourrait permettre
7Quelle est l’aire d’un polygone convexe dont tous les sommets sont situés sur un point de la grille ?
7. LA PRISE EN COMPTE DE LA DIMENSION EXPÉRIMENTALE DES MATHÉMATIQUES DANS LES ANALYSES DID
d’engendrer le problème du calcul d’aire d’un polygone donné (validation du produit de la stratégie) ainsi que de laisser la possibilité aux élèves d’iden- tifier les variables pertinentes du problème.
6. La démarche expérimentale et le processus de définition Ouvrier-Buffet (2003) mentionne que les exemples et les contre- exemples peuvent jouer un rôle au cours du processus de définition lors de la recherche du domaine de validité d’une conjecture. L’auteur considère, s’appuyant sur les travaux de Lakatoset deBalacheff, que « la généra- tion d’exemples et de contre-exemples et leur utilisation » est un opérateur de la conception Lakatosienne de la définition.
7. La prise en compte de la dimension expérimentale des mathématiques dans les analyses didactiques
7.0.1. Les travaux de Dahan. Dans sa thèse, « La démarche de décou- verte expérimentalement médiée par cabri-géomètre en mathématiques » (2005), Dahan (p. 10) a pour objectif de fournir une caractérisation de la démarche expérimentale « dans les activités de tentatives de résolution de problèmes mathématiques, [. . . ], médiée essentiellement par le logiciel de géométrie dynamique Cabri » (p. 10). Il s’intéresse donc, plus particulière- ment, à l’expérimentation à l’aide de figures. Les situations qu’ils proposent utilisent la notion de « boîte noire »8dûe à Bernard Capponi. L’auteur justi- fie l’intérêt des problèmes de ce type pour répondre à ses questions (p. 135) par :
– l’obligation d’investigation ; – la visibilité des investigations ; – la discrétisation de la démarche ; – la génération d’un débat.
L’hypothèse principale de l’auteur est que la démarche expérimentale se décompose en 2 phases – une phase pré-conjecture et une phase post- conjecture – chacune d’elles se décomposant en macro-étapes. Une macro- étapes et une succession de micro-étapes. Les micro-étapes sont du type exploration-interprétation.
Les macro-étapes de la phase pré-conjecture sont schématisées, page 179, ce schéma est reproduit sur la figure V.1, et celles de la phase post-conjecture page 180, reproduit sur la figure V.2.
Les ruptures marquent la fin d’une stratégie d’expérimentation et en annoncent une nouvelle :
Rupture 1 : Elle amorce la dévolution du problème ;
Rupture 2 : Elle marque l’apparition d’une première conjecture et l’entrée dans « une phase à activité de raisonnement logique ma- thématique plus dense. » (p. 181).
8Un problème de boîte noire consiste en la recherche d’une transformation géométrique sachant que l’on peut connaître (grâce à un logiciel) l’image de n’importe quel point par cette transformation.
Fig. V.1. Schéma de la phase pré-conjecture de Dahan.
Fig. V.2. Schéma de la phase post-conjecture de Dahan.
Rupture 3 : Elle arrive avec la découverte d’une conjecture solu- tionnant en partie le problème et marque l’entrée dans une phase de validation plus théorique utilisant l’environnement Cabri.
Rupture 4: Elle marque la formulation de la conjecture ultime et le passage à la Cabri-preuve (validation à l’aide du logiciel Cabri).
L’auteur a expérimenté avec différents types de publics : des lycéens, des enseignants et des chercheurs. L’une de ces hypothèses est que le niveau ma- thématiques de l’expérimentateur est corrélé avec les expériences proposées.
Il a obtenu les résultats suivants :
– les macro-étapes de la phase pré-conjecture sont apparues ;
– les macro-étapes de la phase post-conjecture ne sont apparues qu’avec les chercheurs. Une des hypothèses de l’auteur est que cela est dûe au contrat didactique : la consigne était de trouver la transformation et non pas de la prouver.
7.1. Un texte de Durand-Guerrier. Durand-Guerrier(2010) met en évidence « les enjeux épistémologiques et didactiques de la prise en compte de la dimension expérimentale dans l’apprentissage des mathéma- tiques. ». L’auteur caractérise la dimension expérimentale des mathéma- tiques de la manière suivante :
Ce qui caractérise la dimension expérimentale en mathéma- tiques, c’est le va-et-vient entre un travail avec les objets que l’on essaye de définir et délimiter et l’élaboration et/ou la mise à l’épreuve d’une théorie, le plus souvent locale, visant à rendre compte des propriétés de ces objets.
Durand-Guerrier rappel que la prise en compte de la dimension ex- périmentale des mathématiques est au cœur de la théorie des situations didactiques de Brousseau. D’autre part, elle souligne l’importance de la nature des expériences dans les phases d’actions, de formulation et de vali- dation ainsi que dans le processus de conceptualisation. Plus précisément, elle met en avant les aspects suivants :
– les expériences contribuent au processus de conceptualisation par l’éla- boration de nouveaux objets, résultats, preuves. . . ;