Rôle des exemples

2.2. exemple et raisonnement inductif : production de conjec- tures. Nous avons déjà mentionné dans la sous-sous-section 1.2.1 page 46 avec l’exemple III.2, que les exemples pouvaient servir de matériel à la pro- duction de conjecture à travers l’utilisation du raisonnement inductif. La production d’exemple pour conjecturer représente l’un des intérêts de la pratique de la démarche expérimentale.

2.2.1. Expérimentation et exemple : validation d’arguments. Nous avons dans la sous-section 5 mis en avant le fait que l’expérimental était un moyen de contrôle sur les preuves. D’après Arnold (1998), ce moyen de contrôle peut s’exercer par le contrôle des calculs intermédiaires sur des exemples.

Éclairons ceci sur un exemple :

Exemple III.4. Cet exemple porte sur le problème de la roue aux cou- leurs, nous allons, ici, étudier le cas où le cercle extérieur est multicolore strict et le cercle intérieur composé de 2 couleurs (P2,.). Nous avons consi- déré que notre conception sur le problème était peu développée. Nous dis- posons toutefois de certains types de preuves associés à des problèmes de combinatoires comme la preuve par exhaustivité des cas. C’est un problème de recherche de solution, qui consiste à déterminer l’ensemble des valeurs du cercle extérieur pour lesquels il existe une solution.

Nous commençons par effectuer une expérimentation générative pour résoudre P_2,.. La stratégie que nous utilisons est de commencer par des cercles extérieurs dont le nombre de couleur est petit puis de le faire croître.

La validation consiste à vérifier que pour un ndonné, il existe une solution à P_2,n.

Nous commençons donc par étudier le cas où le cercle extérieur est com- posé de deux couleurs. Nous prouvons qu’il n’existe pas de solution. Ceci est aussi vrai pour un cercle extérieur de 3 couleurs, nous le montrons en effectuant une preuve par exhaustivité des cas.

Passons maintenant à une roue dont le cercle extérieur est composé de 4 couleurs, alors nous pouvons trouver la solution de la figure III.20.

Fig. III.20. Une solution avec un cercle extérieur composé de 4 couleurs.

Avec un cercle extérieur composé de 5 couleurs, nous n’arrivons pas à trouver de solutions, nous faisons une preuve par exhaustivité des cas pour montrer qu’il est impossible de trouver une solution, ce qui nous amène à mettre en jeu des symétries pour simplifier la preuve. Pour un cercle extérieur composé de 6 couleurs, nous trouvons la solution de la figure III.21.

Nous observons alors que la solution de la figure III.21 et la solution de la figure III.20 sont similaires :

– les couleurs du cercle intérieur sont deux couleurs diamétralement op- posées ;

– sur le cercle extérieur, le diamètre du cercle extérieur définit deux demi-cercle sur lesquels les couleurs sont placées de manière alternées.

Cela nous permet de structurer notre stratégie de construction de confi- guration. Ce qui nous amène à étudier le domaine de validité de cette stra- tégie, que nous appelons S.

2. AUTRES APPORTS DE LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTAL 55

Fig. III.21. Une solution avec un cercle extérieur composé de 6 couleurs.

Nous essayons cette stratégie sur une roue dont le cercle extérieur est composé de 8 couleurs, cela donne la configuration de la figure III.22. Nous vérifions que cette configuration est bien solution.

Fig. III.22. Teste de la technique.

Nous formulons alors la conjecture : S construit une solution pour les roues dont le cercle extérieur est composé d’un nombre paire de couleur supérieur à 4. Nous tentons alors de prouver cette conjecture et proposons la preuve suivante :

– comme le nombre de couleur est pair, il est toujours possible de trouver 2 couleurs diamétralement opposées ;

– il suffit de vérifier qu’en plaçant le même couleur sur le cercle intérieur pour les deux couleurs diamétralement opposées puis qu’en plaçant les couleurs de manière alternées sur les 2 demi-cercles engendrés par les extrémités nous obtenons une solution.

Ceci prouve qu’il est toujours possible de construire une solution lorsque le nombre de couleur sur le cercle extérieur est multiple de 2 (supérieur à 4).

En expérimentant sur le problème des cas impairs, nous observons que S n’est pas applicable, car il n’est pas possible de trouver 2 couleurs dia- métralement opposées. Ce dernier résultat associé au fait que nous n’avons trouvé aucune solution pour les cas impairs (prouvé dans certains cas), nous amènent à conjecturer qu’il est impossible de trouver une solution lorsque le nombre de couleur sur le cercle extérieur est impair.

En tentant de prouver ce résultat, nous proposons le problème P_diam : est-ce que si une configuration est solution, les couleurs intérieures sont diamétralement opposées sur le cercle extérieur ? Une réponse positive à ce problème nous permettrait de répondre par la négative au problème des impairs.

Nous tentons de prouver que la réponse àP_diam est positive et émettons la justification suivante : appelonsx_iles couleurs du cercle extérieur de telle façon quex_i etx_i+1 soit côte à côte sur le cercle. Supposons que les couleurs du cercle intérieur soit x₀ et x_k alors à chaque itération, les couleurs exté- rieursx₀ etx_kdoivent faire face à la même couleur pour que la configuration soit une solution. Donc si la séquence de couleurαpasse devantx0, la même séquence α doit passer devant x_k. Nous illustrons ceci par la figure III.23.

Fig. III.23. x₀ etx_k doivent faire face à la même séquence de couleur.

De ce fait, il faut le même nombre de couleur entre x₀ et x_k, qui sont donc diamétralement opposés. Il est donc nécessaire d’avoir un nombre de couleur pair sur le cercle extérieur. Ce qui prouve qu’il est impossible de trouver une solution lorsque le nombre de couleur sur le cercle extérieur est impair.

Le résultat clé de la preuve d’impossibilité est le fait qu’il est nécessaire d’avoir le même nombre de couleur entrex₀ etx_k. Ce résultat explique aussi pourquoi il est possible de trouver une solution lorsque le nombre de couleur est pair. Cependant, cet argument est-il valide ? Étudier la validité de cet argument revient à étudier P_diam. Nous décidons donc d’expérimenter pour résoudreP_diam, la stratégie va donc consister à construire des configurations telles que les deux couleurs du cercle intérieur ne soit pas diamétralement opposé sur le cercle extérieur.

Lorsque le cercle extérieur est composé de 4 couleurs, nous n’arrivons pas à construire de solution, cela nous amène à prouver que la solution de la figure III.20 est l’unique solution. Pour 6, nous commençons par essayer construire une solution telle que les deux couleurs intérieures soient adja- centes sur le cercle extérieur x₀ et x₁. Pour cela, nous avons vu le résultat suivant : les couleurs x₀ etx₁ du cercle extérieur doivent toujours être face à la même couleur, ce résultat nous fournit la suite de la stratégie pour construire une solution. En particulier, s’il existe une solution telle que les deux couleurs du cercle intérieur soient adjacentes sur le cercle extérieure, elle peut être construite en utilisant cette stratégie.

Nous sommes donc, ici, dans un cas particulier, où la stratégie utilisé fournit une solution si elle existe, donc dans le cas où la stratégie produise une configuration qui n’est pas solution alors il n’existe pas de solution telle que les couleurs internes soient adjacentes sur le cercle extérieur.

Nous commençons par mettre la même couleur devant x₀ et x₁, nous obtenons la figure III.24. Ensuite, la stratégie nous impose de mettre la

2. AUTRES APPORTS DE LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTAL 57

couleur rouge (x0) devant la couleur jaune (x5) du cercle extérieur (voir figure III.25). En continuant ainsi de suite, nous n’avons pas de choix et nous obtenons la configuration de la figure III.26, qui n’utilise qu’une seule couleur sur le cercle intérieur. La stratégie produit donc une configuration qui n’est pas solution, nous pouvons alors en conclure qu’il n’existe pas de solution, avec 2 couleurs sur le cercle intérieur qui sont 2 couleurs adjacentes sur le cercle extérieur, lorsque le nombre de couleur est égal à 6 sur le cercle extérieur.

Fig.

III.24. Première étape.

Fig.

III.25. Seconde étape.

Fig. III.26. Résultat final.

Nous prenons alors comme couleur du cercle extérieur x₀ etx₂, la stra- tégie produit alors la configuration de la figure III.27 et nous vérifions que c’est effectivement une solution.

Cette figure montre qu’il existe une solution qui ne vérifie pas la condi- tion, donc l’argument que nous avons utilisé est incorrect. La preuve que nous avons faîte est donc fausse.

Remarque : Nous avons construit le contre-exemple à l’argument. La recherche d’un contre-exemple amène à rentrer dans un processus de construction d’objets mathématiques vérifiant une propriété.

Deux choix sont possibles : réparer la preuve ou revenir au problème de la conjecture. Nous décidons d’essayer de réparer la preuve. Pour cela, nous étudions les figure III.27 et III.23.

En comparant les figures III.27 et III.23, nous pouvons remarquer que notre erreur est d’avoir considérer qu’il y avait autant de couleur entre x₀ et x_k et x_k et x₀. La représentation de la figure III.23 est une représenta- tion spécifique et non générale de la condition : s’il « passe » la séquence α

Fig. III.27. Une solution où les couleurs internes ne sont pas diamétralement opposées.

devant x₀ alors il est nécessaire qu’il « passe » la séquenceα devantx_k. Par comparaison avec la figure III.27, nous pouvons maintenant penser que la représentation générale de cette condition est la figure III.28. Pour pouvoir terminer le cercle, il est donc nécessaire que l’angle associé à α divise 360.

Ceci nous permet donc de nous apercevoir que notre conjecture est fausse et nous permet de nous rendre compte que ce qui entre en jeu n’est pas la parité du nombre de couleur, mais sa primalité.

Fig. III.28. Représentation générale.

Cet exemple illustre donc le rôle que les exemples peuvent jouer dans la validation des arguments ainsi que l’apport de la comparaison et de l’étude d’exemples. Cet exemple montre aussi qu’il est, parfois, pertinent pour in- valider un argument de s’autoriser à changer les « variables » du problème⁷. 2.2.2. Exemples génériques. Les exemples peuvent aussi jouer le rôle d’exemple générique, c’est à dire d’un exemple qui représente une classe d’objet. Les « opérations » que nous effectuons sur cet objet sont alors re- productibles à tous les objets de la classe. D’une certaine manière, l’exemple n’est générique qu’en ce que toutes les « opérations » que nous effectuons sur lui, nous pouvons nous imaginer les réaliser sur n’importe quel autre élément de la classe en obtenant un résultat analogue. Ceci nécessite donc d’opérer sur des structures communes à l’ensemble des objets de la classe.

6Ici, nous n’arriverons pas à réparer la preuve car le résultat que nous voulons montrer est faux, car nous pouvons trouver une solution lorsque le nombre de couleur extérieure est égal à 9.

7Notre problème était sur les impairs, mais nous avons identifié que l’argument porté aussi sur les pairs, nous avons donc expérimenté sur les pairs, ce qui nous a permis d’in- valider l’argument.

2. AUTRES APPORTS DE LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTAL 59

Ce point de vue à le défaut de ne pas prendre en compte le problème, car la généricité de l’exemple ne s’exprime que vis à vis d’un problème.

Un point de vue qui prend ceci en considération est celui de Perrin (2007), qui voit les exemples génériques comme des exemples sur lesquel

« les comportements observés vont s’étendre au cas général. » Il propose pour trouver des exemples génériques de considérer le premier exemple non- trivial. L’exemple générique semble donc être, pour lui, l’exemple qui va prendre en compte toute la « complexité » du problème pour une classe d’objet donnée, c’est-à-dire un exemple qui ne fait « aucune concession ».

Par exemple, pour le problème de la frontière, le carré de côté 2 n’est pas un exemple générique, car l’algorithme optimal pour résoudre ce cas, qui consiste à interroger les 4 coins, ne peut pas s’étendre aux autres carrés, ce cas ne permet pas de rendre compte de la « complexité » du problème. Un exemple générique est donc un exemple qui représente la « complexité » du problème, un exemple dont la résolution permet de résoudre le problème.

Nous définisons donc un exemple générique comme un exemple pour lequel nous pensons que la généralisation du processus de sa résolution va nous permettre de résoudre le problème. La généricité de l’exemple va donc dépendre de l’expérimentateur et du problème auquel il se réfère.

2.2.3. Preuves par contre-exemples. Comme nous l’avond déjà vu, les exemples peuvent jouer le rôle de contre-exemples et être utilisés pour mon- trer que des conjectures sont fausses.

2.2.4. Exemple et processus de définition. Ouvrier-Buffet(2003) men- tionne que les exemples et les contre-exemples peuvent jouer un rôle au cours du processus de définition lors de la recherche du domaine de validité d’une conjecture. L’auteur considère, s’appuyant sur les travaux de Lakatos et de Balacheff, que « la génération d’exemples et de contre-exemples et leur uti- lisation » est un opérateur de la conception Lakatosienne de la définition.

Nous donnons dans la sous-section 2.4 p. 61 un exemple d’un tel processus, dans lequel nous mettons aussi en avant le côté expérimental du processus de définition.

2.2.5. Conclusion sur les exemples. Nous considérons que la démarche expérimentale est un processus produisant des exemples. Nous avons essayé d’illustrer dans cette sous-section l’importance des exemples pour la résolu- tion d’un problème. Nous avons identifié les utilités suivantes :

– production/affinement de conjecture ; – invalidation d’argument ;

– preuve par contre-exemple ; – preuve par exemple générique ; – processus de définition.

2.3. Validation du produit de la stratégie : production de nou- veaux outils. La validation du produit de la stratégie peut amemer à construire des outils qui peuvent être utiles lors d’une tentative de preuve.

En effet, considérons le problème du jeu de set, comme nous l’avons men- tionné, en expérimentant pour résoudre ce problème, nous rencontrons le problème de validation qui consiste à vérifier qu’un ensemble de cartes est sans set.

Pour des sets de taille 3, la stratégie de base consiste à tester tous les tri- plets de cartes d’un ensemble, or cela nécessite de choisir un ordre afin d’être sûr d’avoir tester tous les triplets de cartes. Cette technique est fonctionnelle, toutefois, elle n’est pas efficace. Nous pouvons construire une technique plus efficace grace à l’outilbloc. Dans l’exemple suivant, nous montrons comment nous pouvons utiliser cet outil pour déterminer un résultat intéressant sur le problème.

Exemple III.5. Considérons le problème du jeu de set et le jeu à 3 couleurs avec des sets de taille 3. Nous allons donner ici, un exemple d’uti- lisation de l’outil bloc, construit dans un premier temps pour valider qu’un jeu est sans set et que nous allons utilisé pour prouver le résultatRsuivant : si n≥1,

M ax(n,3,3)≤3ⁿ⁻¹×2

Cet outil, nous l’avons, à l’origine construit pour effectuer la validation du produit d’une stratégie lors d’une expérience de recherche de solution.

La validation consiste à vérifier qu’un jeu est sans set⁸. Nous commençons par expliquer sur un exemple, quel est cet outil.

Considérons le jeu à 4 lignes suivant :









1 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 2









Pour chercher à savoir s’il contient un jeu sans set, nous le réarrangeons de la manière suivante par bloc :









1 1 1 | 2 2 2 | 3 3 2 2 1 | 1 3 2 | 3 1 3 1 1 | 2 1 1 | 2 3 1 1 2 | 2 3 2 | 1 3









Un α-bloc est ainsi l’ensemble des cartes qui ont la couleur α sur la première ligne. Les blocs permettent de vérifier plus « rapidement » que le jeu est sans set, puisqu’il nous suffit de regarder si chaque bloc contient un set, puis à ensuite vérifier que tout triplet de carte dont la première ligne est multicolore stricte⁹ne contient pas de set.

Nous pouvons alors remarquer que vérifier qu’un bloc ne contient pas de set est équivalent à supprimer la première ligne du bloc et à vérifier que le jeu à 3 lignes obtenu ne contient pas de set.

Une généralisation de ce résultat est la suivante : dans un jeu à l ligne sans sets, chaque bloc est composé d’un jeu àl−1 lignes sans set. Voici un schéma illustrant ceci :

8Être capable de détermienr si un jeu est sans set est utile pour le problème lorsqu’on cherche un minorant par exhibition d’un jeu sans set. Toutefois, il est a priori possible de résoudre le jeu du set sans résoudre ce problème. Par exemple, pour montrer qu’il existe une solution de cardinal X, nous pourrions dénombrer le nombre total de jeu de carte de X cartes et dénombrer le nombre de jeu de X cartes et les comparer, ce qui nous permettrait de prouver l’existence d’un jeu deX cartes sans set sans l’avoir exhiber.

9Nous disons qu’une ligne est multicolore stricte lorsque les couleurs qui la composent sont deux à deux différentes.

2. AUTRES APPORTS DE LA DÉMARCHE EXPÉRIMENTAL 61

1 . . . 1 | 2 . . . 2 | 3 . . . 3

J₁ | J₂ | J₃

En considérant que c’est un jeu sans set àllignes alors chaqueJ_i est jeu sans set à l−1 lignes. La preuve de ce résultat est facile : si un jeu est sans set alors chaque bloc est sans set donc tout triplet de cartes d’un bloc est sans set. Comme la première ligne d’un bloc est unicolore, cela signifie que tout triplet de cartes d’un bloc ne contient pas de set, c’est à dire que pour tout triplet il existe une ligne, différente de la première ligne, qui ne soit ni multicolore stricte ni unicolore. Nous appelons ce résulatR₁.

Nous pouvons alors voir queR₁ peut être utilisé pour obtenir le résultat R. En effet, nous pouvons faire une preuve du résultatRdans laquelleR1est le pas d’induction. Il nous reste à chercher les conditions initiales de la preuve par induction, nous avons M ax(1,3,3) = 2. Remarquons que nous pouvons améliorer ce résultat en prouvant que M ax(2,3,3) = 4 ouM ax(3,3,3) = 9.

Cet exemple illustre le fait qu’un outil développé dans un premier temps pour valider des faits a pu être réutiliser pour déterminer un résultat inté- ressant sur le problème initial.

2.4. L’expérimental une aide à la recherche d’un domaine de validité. Nous allons essayé d’illustrer dans cette sous-section, le fait que l’expérimentale peut être une aide à la définition de nouveaux objets, à travers ce qu’Ouvrier-Buffet (2003) appelle problème de recherche du domaine de validité d’une conjecture.

Voici un nouvel exemple¹⁰illustrant le cas de la définition par recherche du domaine de validité :

Exemple III.6. Considérons le problème des échanges avec l’échange cycle de taille 3 avec grille quelconque et nombre de couleur égal à 2. Sup- posons que nous connaissons le théorème suivant :

Théorème III.7

soitGune grille 4-connexe¹¹,C etC^′ des colorations deGjumelles alors l’échange domino permet de passer deC à C^′.

Nous sommes face à un problème de recherche de solution, nous commen- çons par expérimenter sur une ligne de taille 2. Nous pouvons alors observer qu’il est possible de tout faire (voir figure) pour la ligne de longueur 2.

Fig. III.29. Les 3 configurations possibles pour la ligne de longueur 2.

Comme nous pouvons atteindre toutes les configurations en particulier, nous pouvons réaliser l’échange domino entre 2 cases de la ligne de longueur

10Les résultats de cet exemple ont été trouvés lors d’un MATh.en.JEANS avec le CLEPT.

11Une grille est 4-connexe si tout couple de cases est relié par un chemin de cases adjacentes. Deux cases sont adjacentes si elles ont un côte en commun.

No documento de recherche pour la classe (páginas 74-86)