Terminale scientifique

2.3.1. Des exemples d’exercices de type A. La figure VI.10 est un exer- cice de type A, le manuel demande de formuler une conjecture suite à l’étude de certains termes d’une suite récurrente. Le manuel ne dit d’ailleurs pas ce que l’on doit observer : convergence, croissance. . . L’exercice commence par une observation et non par une question. Il se trouve que la suite vaut 1 lorsque n est impair et 2 lorsquen est pair. Nous pouvons remarquer que l’exercice donne à l’élève une partie du protocole pour expérimenter en lui demandant d’utiliser la touche « ANS » de la calculatrice.

Nous avons aussi trouver, toujours concernant les suites, l’exercice de la figure VI.11. Nous pouvons remarquer que pour cet exercice, le manuel ne demande pas d’effectuer les calculs à l’aide de la calculatrice, il ne précise pas avec quels moyens l’élève doit effectuer les observations. Nous faisons

Fig. VI.8. Un exercice du type A.

2. ÉTUDE D’UNE COLLECTION DE MANUELS 95

Fig. VI.9. Un exercice du type C.

Fig. VI.10. Un exercice du type A.

l’hypothèse que dans ce cas, l’élève va effectuer les calculs « à la main ».

Nous la justifions par le fait que le manuel ne précise pas d’autres outils à utiliser et par la règle du contrat suivante : lorsqu’on nous demande d’effec- tuer des calculs sur des fractions alors nous devons donner le résultat sous forme de fraction. Cette règle est ce qui fait « marcher » l’exercice, car en effectuant des calculs approchés, il est beaucoup plus difficile d’observer que

Pn k=1

1

k(k+ 1) = n

n+ 1 et ainsi de résoudre l’exercice. Nous remarquons aussi que le manuel donne un ordre concernant le calcul des premiers termes de la suite. Nous faisons l’hypothèse que cet ordre a pour but que les élèves découvrent le pas de la récurrence.

Les exercices des figures VI.10 et VI.11 viennent confirmer le fait que les manuels choisissent les médians, ainsi que les cas particuliers avec lesques

Fig. VI.11. Un autre exercice sur de type A.

l’élève doit expérimenter en fonction de ce qu’il est pertinent d’observer pour arriver à une résolution de l’exercice. Il ne laisse pas ce travail être effectué par l’élève.

2.3.2. Un exercice de type B. Nous avons considéré que l’exercice de la figure VI.12 pouvait être un exercice de type B. Dans un premier temps, nous pouvons remarquer que l’exercice nous donne l’une des variables per- tinentes du problème à savoir α : implicitement suivant les valeurs deα la transformation ne sera pas la même.

Fig. VI.12. Un exercice de type B

Nous proposons la démarche suivante pour résoudre ce problème : nous pouvons dans un premier temps pour une valeur de α particulière (par exemple ¹₃) déterminer quelle va être l’image du carréABCD. Nous trouvons la figure VI.13 .

Nous pouvons observer que le carré ABCD est transformé en un carré de côté supérieur qui n’a pas le même centre que ABCD. Nous pouvons donc éliminer les transformations comme la rotation ou la translation. Nous nous posons alors le problème suivant : quels sont les points fixes de la transformation ? Ce problème est la clé de notre résolution.

Pour résoudre ce problème, nous adoptons une modélisation analytique des points et trouvons qu’il n’y a qu’un seul point fixe (nous aurions aussi pu reconnaître que l’ensemble des points fixes est un barycentre lorsque α 6=−1). Nous déterminons aussi les coordonnées de ce point en fonction de

2. ÉTUDE D’UNE COLLECTION DE MANUELS 97

Fig. VI.13. La transformation du carréABCD.

α et apercevons que siα=−1 alors ce point n’existe pas,α =−1 est donc un cas particulier. Pour l’instant, nous mettons de côté ce cas et plaçons le point fixe Ω sur la figure que nous avons tracée.

Fig. VI.14. Le point fixe Ω par lequel les droites se coupent.

Nous pouvons alors observer que ce point se trouve sur les droites (AA^′), (BB^′), (CC^′) et (DD^′). Nous conjecturons alors que la transformation est une homothétie de centre Ω. Pour montrer que la transformation est une homothétie de centre Ω et de rapport k, il nous suffit alors de montrer que

−−−→M M^′ = (1 +k)−−→MΩ. En utilisant la relation de Chasle, en introduisant le point Ω et en utilisant le fait que Ω est un point fixe de la transformation, nous trouvons que −−−→

M M^′ = 2(1 +α)−−→

MΩ. La transformation est donc une homothétie lorsque α 6=−1 et α6=−¹₂. Lorsque α=−¹₂ la transformation est l’application constante égale à Ω.

Il nous reste à traiter le cas où α =−1. En calculant les images de A, B, C et D, nous trouvons que leurs images correspondent à celles d’une translation de vecteur 2−−→AB. Nous conjecturons que la transformation est une translation de vecteur 2−−→AB. Il nous reste maintenant à montrer que

−−−→M M^′ = 2−−→AB. Nous avons −−−→

M M^′ =−−−→

M A+−−→

M B+−−→

M C−−−→

M D =−−−→

M A+

−−→M A+−−→

AB+−−→

M D+−−→

DC−−−→

M D =−−→

AB+−−→DC. Or dans ABCD nous avons

−−→AB =−−→DC, d’où le résultat.

Cet exercice est un exercice pour lequel nous pouvons trouver une cor- rection à la fin du manuel, la correction est présente sur la figure VI.15.

Cette correction n’explique pas pourquoi il est intéressant d’introduire le barycentre pour résoudre l’exercice, cela peut ainsi apparaître comme étant une « astuce ».

2.3.3. Un exercice de type C. L’exercice de la figure VI.16 est un exer- cice d’identification de paramètre d’une fonction connaissant une expression

Fig. VI.15. Une correction de l’exercice de la figure VI.12.

algébrique et une de ces courbes représentatives. Le manuel nous demande de faire une observation dans le but de pouvoir déterminer les paramètres inconnus. Nous pouvons remarquer que cet exercice ne peut être résolu qu’en applicant la règle du contrat précédemment mentionnée : une figure fournie une représentation « conforme » de l’observation demandée par le manuel.

Le manuel ne permet pas à l’élève de faire de nouvelles expérimentations pour valider ses observations.

2.3.4. Résultats et conclusion. Nous avons identifié 23 exercices du type A. Cela nous a permis de discerner de nouveaux types d’expérimentations demandées par le manuel concernant les suites récurrentes :

– tracer de la courbe de la fonction associée à la suite récurrente et représentation des premiers termes de la suite à l’aide de la courbe ; – calcul des premiers termes d’une suite à l’aide de la calculatrice.

Nous avons concernant les exercices A les même résultats que précédem- ment concernant la linéarité, la problématique et le rôle de l’expérimenta- tion. De même, il n’y a pas plus de possibilités de se poser de nouvelles questions et l’élève n’est que rarement en position de construire son propre modèle de la situation. Nous pouvons rajouter que comme précédemment, l’incertitude expérimentale n’est pas présente pour les même raisons. Il nous faut, toutefois, signaler que les exercices de type A du manuel de terminale scientifique sont moins « dirigistes » au niveau des expérimentations, laissant parfois l’élève choisir comment il veut effectuer l’expérimentation demandée, par exemple en lui laissant choisir les premiers termes de la suite à calculer et avec quel médian. Cependant, comme illustré par les exercices des figures

2. ÉTUDE D’UNE COLLECTION DE MANUELS 99

Fig. VI.16. Un exercice de type C

VI.10 et VI.11, le manuel peut être plus dirigiste lorsque qu’il considère qu’un médian va être plus pertinent qu’un autre. De plus, nous pouvons signaler que, lorsque le manuel précise le médian avec lequel expérimenter, c’est essentiellement la calculatrice qui est mentionnée. Nous faisons l’hypo- thèse que c’est une des raisons qui font que le manuel est moins « dirigiste », car la calculatrice est un outils que les élèves ont appris à maitriser lorsqu’ils étaient en première et en seconde (au moins). L’utilisation importante de la calculatrice est peut-être aussi due au fait qu’elle est le seul outil qui peut être autorisé lors de l’épreuve du baccalauréat de mathématiques.

Remarque : Nous avons aussi remarquer que dans beaucoup d’exercices d’étude de fonction, le manuel ne demande de tracer la courbe représentative qu’à la fin de l’exercice. Ce tracer peut servir d’expérimentation validative mais nous faisons l’hypothèse que le tracé doit être effectué grâce à l’étude de fonction qui le précéde. De plus, il peut aussi être intéressant d’effectuer des expérimentations au cours de l’étude algébrique. Ce tracer correspond au travail de la technique suivante : tracer la courbe représentative d’une fonction en connaissant son tableau de variation.

Nous avons repérés au moins 22 exercices du type B. Parmi ces exercices, nous retrouvons un nombre important d’exercices de détermination d’un lieu de points, comme l’exercice de la figure VI.12. Ces exercices peuvent être résolus à traver une démarche expérimentale mais comme ils sont souvent similaires, il est probable que seuls les premiers exercices soient porteurs d’une incertitude expérimentale.

Enfin, nous avons détecté 18 exercices du type C. Les figures don- nées par le manuel doivent, comme précédemment, être interprétées comme

« idéales » pour permettre la résolution des exercices. Nous pouvons signaler qu’un nombre important d’exercices concerne l’identification de fonction en

présence d’une courbe représentative et d’une expression algébrique com- portant des paramètres inconnus comme l’exercice de la figure VI.16 mais le manuel ne semble pas donner le statut de conjecture à ces observations.

Nous pouvons rattacher ce type d’exercice à un travail de modélisation de courbes qui peut être effectué, par exemple, en physique sauf que dans ce cas, nous émettons l’hypothèse que la courbe est produite suite à une ex- périmentation et donc issue d’une problématique se rattachant à un cadre théorique qui va donner le modèle algébrique de la courbe, l’expérimentation servant à ajuster les paramètres.