Analyse mathématique
1. Présentation du jeu
Nous allons présenter 2 versions du problèmechercher la frontière. Dans les deux versions, le jeu utilise 2 joueurs. Toutefois, dans la première version du jeu (situation 0), un seul joueur est confronté à un problème. Dans une deuxième version (situation 1), chaque joueur est confronté à un problème différent. Ces problèmes mettent en jeu les même objets : des frontières et des territoires. Nous présentons maintenant les 2 situations.
1.1. Situation 0. Comme l’intitulé du problème l’indique, les objets du problèmes sont des frontières et des territoires. Les territoires que nous considérons sont des ensembles de cases connexes1, en voici des exemples :
Fig. X.1. Exemples de territoires.
Les frontières sont des ensembles de cases qui peuvent être des seg- ments verticaux, horizontaux, diagonaux et anti-diagonaux ou l’ensemble vide (frontière vide). En voici des exemples :
Fig. X.2. Exemples de frontières.
De plus, les frontières séparent les territoires en 2 sous-territoires : un territoire rouge et un territoire bleu, comme nous pouvons le voir sur la figure X.3.
Le jeu est alors le suivant :
1Nous considèrons q’un ensemble de cases est connexe lorsque, pour tout couple de cases, il existe un chemin reliant ces cases. Un chemin est une suite de cases tel que 2 cases consécutives soient adjacentes par un côté.
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Fig. X.3. Exemples de séparation d’un territoire.
Étant donné un territoire vierge2, le joueur 2 choisit une frontière qu’il cache au joueur 1. Le joueur 1 doit trouver quelle est cette frontière. Pour cela, il a le droit de demander au jouer 2 la couleur de n’importe quelle case du territoire. L’objectif du joueur 1 est donc de déterminer la frontière en utilisant le plus petit nombre d’interrogations.
Exemple X.1 (Un exemple de partie). Le territoire celui de la figure X.4. Le joueur 2 choisit la frontière de la figure X.5.
Fig. X.4. Territoire vierge. Fig. X.5. Frontière à trouver.
Voici le déroulement de la partie :
Le joueur 1 interroge la case a. Le joueur 2 donne la couleur bleue.
Le joueur 1 interroge la case b. Le joueur 2 donne la couleur rouge.
Le joueur 1 interroge la case c. Le joueur 2 donne la couleur bleue.
2Un territoire vierge est un territoire où aucune case n’est coloriée.
1. PRÉSENTATION DU JEU 133
Le joueur 1 interroge la case d. Le joueur 2 donne la couleur noire.
Le joueur 1 interroge la case e. Le joueur 2 donne la couleur rouge.
Le joueur 1 conclut alors en 5 coups :
Dans cette version, le joueur 2 ne fait pas face à un problème puisqu’il a juste à choisir une frontière et à donner les couleurs en fonction de celle-ci.
Ce n’est pas le cas du joueur 1 qui est confronté au problème Pchercheur : comment trouver la frontière en utilisant le plus petit nombre d’interroga- tions ?
Nous présentons maintenant la seconde version du jeu, dans laquelle le joueur 2 est aussi confronté à un problème.
1.2. Situation 1. Les objets sont les mêmes que ceux de la situation 0.
La situation est identique à ceci près que le joueur 2 est autorisé à modifier la frontière au cours de la partie. Voici l’énoncé de cette situation :
Étant donné un territoire vierge, le joueur 1 doit trouver la frontière cachée par le joueur 2. Pour cela, le joueur 1 a le droit de demander au joueur 2 la couleur de n’importe quelle case du territoire. L’ob- jectif du joueur 1 est donc de déterminer la frontière en utilisant le plus petit nombre d’interrogations. L’objectif du joueur 2 est de maximiser le nombre d’interrogations utilisées par le joueur 1.
Le joueur 1 est toujours confronté au problèmePchercheur, car déterminer un algorithme qui trouve la frontière quelque soit la frontiière choisie par le joueur 2 est équivalent à déterminer un algorithme quelque soit la stratégie employée par le joueur 2.
Le joueur 2 est, quant à lui, confronté au problème Pdonneur, comment maximiser le nombre d’interrogations utilisées par le joueur 1 ?
Dans la suite, nous appeleronschercheur le joueur 1 etdonneur le joueur 2. Et Pf r le problème qui consiste à rechercher le nombre minimal d’inter- rogations permettant de trouver la frontière.
Dans la sous-section suivante, nous présentons une version mathématisée de la situation 1.
1.3. Formalisation de la situation 1. La représentation que nous utilisons, ici, met en jeu des objets de Z2 à savoir des points, des vecteurs, des droites et des demi-plans.
Considérons D4 = {(1,0),(1,1),(0,1),(−1,1)}. Nous appelons droites les ensembles suivants : {z ∈ Z2,hz, ui =a} où u ∈ D4 et a∈ Z. On dira que la droite est :
– horizontale si u= (0,1) ; – verticale si u= (1,0) ; – diagonale siu= (1,−1) ; – anti-diagonale siu= (1,1).
Une droite D sépare Z2 en trois parties P1 = {z ∈ Z2,hz, ui < a}, P2 ={z∈Z2,hz, ui> a}etD, nous dirons que les points deP1 sontrouges, ceux deP2 bleuset ceux deDsontnoirs. Nous définissons aussila frontière F issue deDd’un sous ensembleAdeZ2 par l’intersection deAetD. Nous pouvons maintenant énoncer le problème.
Enoncé :Sur une partie finieAdeZ2 vierge, 2 joueurs s’affrontent.
Le premier joueur que nous appelleronsle chercheur cherche à trou- ver une frontière de Aque le joueur 2, que nous appellerons le don- neur, cache.
Pour trouver la frontière, le chercheur a le droit de demander au joueur 2 la couleur de n’importe quel point de A. Le but pour le chercheur est de trouver la frontière en utilisant le minimum d’inter- rogations et pour le donneur de retarder le plus longtemps possible la découverte de la frontière.
Dans ce qui suit, nous allons analyser ces situations. Dans un premier temps, nous nous consacrons à la situation du côté du chercheur en met- tant en avant les différentes conceptions du problèmes qui pourraient être développées. Ensuite, nous nous consacrerons au donneur. Nous essaierons dans nos analyses de prendre en compte l’aspect expérimental en donnant une attention particulière aux problèmes rencontrés, aux cas particuliers et aux exemples.
De plus, notre analyse se limitera à des territoires vierges de formerec- tangulaire.
2. Analyse mathématique de la situation pour le chercheur