ДЕКОМПОЗИЦИЯ И АГРЕГИРОВАНИЕ (ПОСТРОЕНИЕ КЛАСТЕРОВ)

Существуют два фундаментальных подхода, в которых может быть использована идея иерархии.

Первый подход сейчас уже ясен: реальный мир следует моделировать иерархи- чески.

Второй подход, вероятно, является более фундаментальным, чем первый, и сви- детельствует о реальной силе иерархий в природе. Он заключается в расчленении рассматриваемых вещей на большие группы или кластеры, которые далее расчле- няются на меньшие кластеры и т. д. Тогда целью будет получение приоритетов всех элементов посредством группирования. Это намного более эффективный процесс, чем обработка всех элементов совместно. Следовательно, несущественно, думаем ли мы, что иерархии внутренне присущи природе, как утверждают некоторые исследо- ватели, либо мы просто используем их из-за ограниченной способности обрабаты- вать информацию. В любом случае они представляют собой очень эффективный способ исследования сложных проблем.

Полезным способом исследования большого числа элементов, попадающих на один из уровней иерархии, является группирование их в кластеры в соответствии с их относительной важностью. Таким образом, можно иметь кластер самых важных (самых подобных, или близких) элементов, другой кластер элементов умеренной важности, и третий – элементов с малой важностью. Затем сравниваются попарно относительное воздействие кластеров на соответствующий критерий из располо- женного выше уровня. Группирование в кластеры может различаться от критерия к критерию. После анализа кластеров элементы в каждом кластере попарно сравни- ваются по их относительной важности в этом кластере. Если их слишком много, то они вновь могут быть сгруппированы в кластере. Таким образом, каждый элемент принадлежит нескольким кластерам и получает несколько весов из различных кла- стеров. Не существует альтернативы этому процессу группирования и декомпози- ции, особенно, когда нужно сохранить высокую согласованность. Принимая это за факт, не следует пугаться размерности задачи, поскольку уже известно, как можно справиться с этой проблемой. Мы весьма успешно применяли этот процесс во многих примерах. Легко показать математически, что группировкой в кластеры можно по- лучить те же самые результаты, что и при общем подходе.

Иерархия оценки расстояния

Теперь построим иерархическую структуру для примера оценки расстояний меж- ду городами. Если сгруппировать города в кластеры согласно критерию расположе- ния на почти одинаковых расстояниях от Филадельфии, то будем иметь три класса, которые сравниваются в следующей матрице.

Филадельфия Чикаго Монреаль

Лондон Сан-Франциско

Каир Токио

Собственный вектор Чикаго

Монреаль 1 1/7 1/9 0,056

Лондон

Сан-Франциско 7 1 1/4 0,26

Каир

Токио 9 4 1 0,68

max

3,15

λ =

; ИС = 0,08; ОС = 0,14

Если теперь сравнить города в каждом кластере отдельно в соответствии с их от- носительным расстоянием от Филадельфии, то при использовании для случая

2 2 ×

шкалы

1 + ε

получим:

Филадельфия Чикаго Монреаль Собственныйвектор

Чикаго 1 2 0,67

Монреаль 1/2 1 0,33

max

2

λ =

; ИС = 0; ОС = 0

Филадельфия Каир Токио Собственныйвектор

Каир 1 1/1,5 0,4

Токио 1,5 1 0,6

max

2

λ =

; ИС = 0; ОС = 0

Филадельфия Сан-Франциско Лондон Собственныйвектор

Сан-Франциско 1 1/1,3 0,43

Лондон 1,3 1 0,57

max

2

λ =

; ИС = 0; ОС = 0

Теперь, чтобы получить общий вектор относительно расстояний, умножим пер- вый собственный вектор на 0,056, второй – на 0,26 и третий – на 0,68. В результате имеем:

Каир Токио Чикаго Сан-

Франциско Лондон Монреаль

0,27 0,41 0,037 0,11 0,15 0,019 0,278 0,381 0,032 0,132 0,177 0,019 Веса во второй строке соответствуют полученным в примере в гл. 3 (см.

табл. 3.5, а)

Пример национальных богатств как кластера

Сравнение богатств шести стран было проведено посредством сведения их в три группы:

A

=США,

B

= СССР и

C

= (Великобритания, Франция, Япония, ФРГ). Вна- чале сравнивались кластеры, и была получена матрица

A B C

Собственный

вектор

A

^{1 2 1 0,4}

B

1/2 1 1/2 0,2

C

1 2 1 0,4

max

3

λ =

; ИС = 0,0; ОС = 0,0

Элементы С сравнивались между собой в следующей матрице

Великобри-

тания Франция Япония ФРГ Собственный вектор

Великобритания 1 1 1/3 1/2 0,14

Франция 1 1 1/3 1/2 0,14

Япония 3 3 1 2 0,45

ФРГ 2 2 1/2 1 0,26

max

4,01

λ =

; ИС = 0,003; ОС = 0,01

Оценка относительных национальных богатств, полученная таким образом, бы- ла:

США СССР Великобри-

тания Франция Япония ФРГ

0,4 0,2 0,056 0,056 0,18 0,10

Предположим, что имеется множество из

n

элементов. Если мы хотим попарно сравнить элементы для получения оценок в шкале отношений, то необходимо про- вести

( ⁿ

²

^{− n} ) ^{/ 2}

суждений, чтобы решить задачу о собственном значении. Допустим теперь, что 7 – максимальное число элементов, которые могут быть сравнены с ка- кой-либо достаточно разумной (психологически) уверенностью в согласованности.

Тогда

n

должно быть, во-первых, разделено на эквивалентные классы, каждый из которых содержит не более чем семь кластеров или подмножеств. В свою очередь, каждый из них должен быть разделен на семь новых кластеров и т. д., образовывая уровни иерархии до тех пор, пока не получится окончательная декомпозиция, при которой каждое из множеств будет иметь не более, чем семь образующих элементов.

Пусть

{ } ^x

обозначает наименьшее целое число, большее или равное

x

.

Теорема 4.3. Максимальное число сравнений после декомпозиции множества

1

n >

элементов в иерархию кластеров (при условии, что одновременно сравнивает- ся не более семи элементов) ограничено величиной

( 7 / 2 7 ) (

^{log / log 7^{n }}

− 1 )

, и это точная граница.

Доказательство. Для максимального числа сравнений на каждом уровне мы должны иметь на

h

-м или последнем уровне по крайней мере семь элементов в ка- ждом кластере

1 0

,

(

²

)

2 7 − 7 / 2

,

(

²

)

3 7 × 7 − 7 / 2

( )

2 2

7

^h

7 7 / 2

n

⁻

× −

где

7

^h−2

× = 7 n

,

h = { log / log 7 n } + 1

,

h > 2

. Сумма этих отношений

(

1

) ^{( )} (

^{log / log 7^}

)

21 × 7

^h−

− 1 / 7 1 − = 7 / 2 × 7

ⁿ

− 1

.

Чтобы показать, что это – точная граница, достаточно положить

n = 7

^m.

Эффективность иерархии может быть определена как отношение числа прямых парных сравнений, требуемых для всего множества

n

элементов, входящих в ие-

рархию, к числу парных сравнений, которые необходимо провести после группиро- вания в кластеры.

Теорема 4.4. Эффективность иерархии имеет порядок

n / 7

.

Доказательство. Для доказательства теоремы нужно сравнить

( ⁿ

²

^{− n} ) ^{/ 2}

^с

{ }

(

log / log 7

)

7 / 2 × 7

ⁿ

− 1

.

Пусть

n = 7

^m+ε,

0 ≤ < ε 1

. Тогда ясно, что имеем

( )

2 2

7

^{m+ ε}

− 7

^m+ε

/ 7 × 7

^m

− ≥ 1 7

^m+ε

/ 7 = n / 7

Следовательно,

n / 7

равно эффективности.

Естественно, может возникнуть вопрос, почему не использовать 2 вместо 7 для большей эффективности. Заметим, что, применяя иерархию, ,мы стремимся как к со- гласованности, так и к большему соответствию реальности. Чем меньше размеры каждой матрицы, тем больше согласованности, в то же время соответствие реально- сти тем больше, чем больше размеры матрицы, так как используется дополнитель- ная информация. Поэтому здесь нужен компромисс. Действительно, используя ин- декс согласованности, мы показали, что число 7 является хорошей практической границей для

n

, поскольку позволяет учесть согласованность.

Допустим, имеется множество из 98 элементов, которым мы хотим приписать приоритеты. Проведем декомпозицию задачи на семь множеств, каждое из которых состоит в среднем из 14 элементов. Мы не можем сравнить 14 элементов, поэтому каждое из этих множеств разделим на два, в каждом из которых не более семи эле- ментов. Затем мы сравниваем элементы друг с другом.

При более внимательном рассмотрении эффективности этого процесса можно за- метить, что для сравнения 98 элементов друг с другом потребовалось бы

( ) ⁹⁸

²

98 / 2 4753

 −  =

 

сравнения. С другой стороны, если разделить их на семь кла- стеров с 14 элементами для каждого, а затем провести парные сравнения семи кла- стеров, то понадобится

( ⁷

²

^{− 7 / 2 21} ) ⁼

сравнение. Каждый кластер теперь может быть разделен на два кластера, в каждом из которых будет семь элементов. Сужде- ние о двух кластерах, каждый из которых попадает в 14-элементный кластер, тре- бует одного сравнения, но таких пар семь, и поэтому на этом уровне требуются семь сравнений; затем нужно

14 21 294 × =

сравнения на самом нижнем уровне. Общее число сравнений этой иерархической декомпозиции будет

21 7 294 322 + + =

против 4753 сравнений в случае, когда группирования в кластеры нет. Действительно, тео- рема удовлетворяется, так как

322 4753/ 7

.

Придание иерархической формы сложной задаче посредством группировки в кластеры имеет два преимущества:

1. Большая эффективность при проведении парных сравнений.

2. Большая согласованность при условии ограниченной способности мозга срав- нивать больше, чем

7 2 ±

элементов одновременно.

Эффективность иерархии проиллюстрировал Г. Саймон [149] на примере двух людей, собирающих часы. Один из них создает модули или составные части из эле- ментарных частей, использует их для создания более сложных частей и т. д.; второй собирает часы от начала до конца подетально. Если первый человек прервет рабо- ту, то он возобновит сборку, только начиная с некоторого модуля, в то время как второму придется все начинать заново. Если часы состоят из 1000 компонентов, а компоненты на каждом уровне составляют 10 частей, то первый человек, конечно, должен будет сделать компоненты и затем из них собрать узлы всего за 111 опера- ций. Если

p

– вероятность прерывания работы в момент, когда часть добавляется к неполному узлу, то вероятность того, что первый человек завершит изделие без

прерывания, равна

( ^{1 − p} )

^10, для второго же вероятность равна

( ^{1 − p} )

^{1000. Для пер-}

вого человека прерывание отнимет время, необходимое для сборки пяти частей. Для второго человека, в среднем, это будет время, необходимое для сборки

1/ p

частей, что примерно равно ожидаемому числу частей при работе без прерывания. Если

0,01

p =

(один шанс из ста, что человек прервет работу при добавлении какой-либо части), потеря времени для первого человека будет равна 5, а для второго – 100.

Первый человек соберет 111 компонентов, в то время как второй изготовит только один. Тем не менее первый человек завершит сборку за

( ^{1 0,01 −} )

⁻¹⁰

^{= 10 / 9}

^{попыток,}

в то время как второй человек завершит сборку за

^{exp10 = −} ( ^{1 0,01} )

⁻¹⁰⁰⁰

^{+ 1/ 44 10 ×}

⁶

попыток. Поэтому эффективность работы первого человека по отношению ко второ- му получается равной

( )

{ }

1000 10

100 / 0,99

111 1/ 0,99 1 5 10 = 2000

 −  +

 

.

В системах, создаваемых человеком, задача управления сложным предприятием в общем случае значительно упрощается, если она разбита на подсистемы или уровни, которые в отдельности легче поддаются обработке, т. е. у менеджера огра- ничена сфера управления. Этапы решения задачи большой размерности упрощают- ся и эффективно выполняются, когда они модулированы, например, предпочтитель- нее оперировать

n

множествами

m

переменных, чем одновременно

mn

перемен- ными.

4.4. СТАНДАРТИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 74-79)