Пусть

max

, _ij

δ =

i j

δ

, тогда

2 2

max

1

1 1

ij

2

i j n

n n

λ n δ δ

≤ < ≤

− < ∑ ≤ −

^.

Доказательство очевидно.

Таким образом, если возмущение (или ошибка в суждении) мало, и число срав- ниваемых элементов также мало (например, менее десяти), то отклонение

λ

_max от

n

также мало. Отметим вновь, что для того, чтобы остаться вблизи согласованности, нужно, чтобы

n

было мало. Например,

δ = 0,1

,

n = 7

дает

λ

_max

− < n 0,04

, а

δ = 0,9

,

7

n =

дает

λ

_max

− < n 2, 43

.

3амечание. Неотрицательная матрица

A = ( ) a

ij с

a

_{i i, 1+}

= 1

и

a

_ij

= 0

– для осталь- ных

i

,

j

имеет все собственные значения равными нулю, но та же самая матрица с

1

a

n , замененным на

ε

, где

ε > 0

мало, имеет максимальное собственное значение

1 max

λ = ε

n, которое стремится к единице при увеличении

n

. Поэтому, хотя

λ

_max из- меняется непрерывно с коэффициентом

ε

, ее величина становится большой даже для малых

ε

(этот факт сообщил мне А. Лауб из Массачусетского технологического института).

В [168] отмечено, что, используя свойство обратной симметричности

a

_ij

= 1 a

_ji из равенства

a a

_{ij jk}

= a

_ik, имеем

a a a

_{ij jk ki}

= 1

. Следовательно, согласованность для обрат- носимметричной матрицы значит, что все контуры длины три имеют единичную ин- тенсивность.

Предполагая

δ

_ij

< 1

и рассматривая треугольные контуры, находим

( ¹ )( ¹ ) ^{( 1 ) 1}

ij jk ki ij jk ik ij jk ik

a a a = + δ + δ − δ ≈ + δ + δ − δ

, и, поскольку _max

1 n

ij j

λ ε

=

= ∑

^{, имеем 2 max}

, ,

ij jk ki i j k

a a a = n λ

∑

^.

Для

i ≠ j

,

j k ≠

,

i k ≠

эта сумма становится равной

n

²

( λ

max

− + n ) ( n n − 1 )( n − 2 )

, так как, подставляя

a

_pp

= 1

,

a

_pq

= a

_qp⁻¹, имеем

ⁿ

²

^{+ 2 n n} ( ^{− 1} )

^{членов, величина кото-}

рых равна единице. Усредняя по количеству членов, т. е.

^{n n} ( ^{− 1} )( ^{n − 2} )

в результа- те получаем

  n n ( − 2 ) (   λ

max

− n ) ( n − + 1 1 )

, что справедливо при

n ≥ 3

. В любом слу- чае предметом нашего внимания является разность

λ

_max

− n

.

Теперь проверим гипотезу о согласованности. Полная согласованность может быть сформулирована в виде нулевой гипотезы:

0

: 0

H µ =

,

и мы проверяем ее по отношению к односторонней альтернативе

1

: 0

H µ >

. Соответствующая тестовая статистика будет

max

1 m n

n λ −

= −

^,

где

λ

_max – максимальное наблюдаемое собственное значение матрицы, элементы которой

a

_ij содержат случайную ошибку. Установление статистической меры для со- гласованности требует нахождения распределения статистики

m

. Несмотря на то, что её специфическая форма выходит за рамки материала этой главы, заметим, что

m

соответствует неотрицательному вероятностному распределению, дисперсия ко- торого есть удвоенное среднее

x

, и представляется совершенно аналогичным рас- пределению

x

², если предположить, что все

δ

_ij, есть

^N ( ^{0, σ} )

² на интервале

( ^{− 1,1} )

^.

Для нашей цели при неизвестном распределении используем общепринятое отноше- ние

( x − µ

0

) 2 x

при

µ

₀

= 0

, т. е. используем

x 2

в качественном тесте для под- тверждения нулевой гипотезы, когда тестовая статистика, допустим,

≤ 1

. Поэтому при

x > 2

. можно измерять несогласованность.

Более подходящий метод проверки статистики

m

заключается в используемом нами сравнении ИС с СИ.

Замечание. Заметим, что для матриц

A = ( ) a

ij ,

W = ( ω ω

i j

)

имеем

( A W − ) ω = ( λ

max

− n ) ω

,

откуда видно, что аппроксимация

( ) a

ij посредством

( ω ω

i j

)

тем лучше, чем ближе

λ

max к

n

.

Возвращаясь к представлению

( )

ij i j i j ij

a = ω ω + ω ω δ

, находим, что

( )

²

2

1

ij

a

ij i j

δ = ^  ω ω − ^ 

^.

Таким образом, заменив

a

_ij на

ω ω

_{i j} , получим

δ

_ij², сведя тем самым к нулю величи- ну

2 ( λ

max

− n ) ( n − 1 )

.

Следовательно, всякий раз, когда

δ

_ij

< 1

, аппроксимация любого

a

_ij величиной

i j

ω ω

приближает нас к согласованности (см. также обсуждение метода наимень- ших квадратов, которое будет проведено позже).

Теорема 7.17. Если положительная матрица

A

согласованна, то каждая строка является положительным кратным любой заданной строки.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что каждая строка является положительным множителем

i

-й строки. Из отношения

a

_jk

= a a

_{ik ij} следу- ет, что, зафиксировав

j

и положив

k = 1, 2, … , n

,

j

-я строка будет равна

i

-й стро- ке, умноженной на положительную постоянную

( ) ¹ a

ij .

Замечание. Очевидно, что обратное утверждение этой теоремы неверно. Матри- ца единичного ранга может и не быть согласованной. Например, в матрице

1 2 2 4

 

 

 

элемент

a

₂₁ не равен

a a

_{11 12}.

Таким образом, согласованная матрица при

a

_ii

= 1

имеет следующий общий вид:

1 1 2 1 1

1 2 2 2 2

1 2

i i i i in i

i i i i in i

i in i in in in

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

 

 

 

 

 

 

…

…

… … … …

…

.

Так как матрица

A = ( ω ω

i j

)

имеет вид транспонированной по отношению к при- веденной матрице, она согласованна.

Теорема 7.18. Если

A

– положительная и согласованная матрица, то

a

_ii

= 1

и

ij

1

ji

a = a

.

Доказательство. Из определения следует, что

a

_ii

= a a

_{ij ji} и, следовательно,

a

_ii

= 1

для всех

i

. Также из

a

_ii

= a a

_{ij ji} следует,, что

a

_ij

= a a

_{ii ji}

= 1 a

_ji .

Теорема 7.19. Положительная матрица

A

согласованна в том и только в том случае, если она единичного ранга и элементы её главной диагонали равны едини- це.

Доказательство. Если

A

согласованна, то

a

_ii

= 1

. Также

( )

1 1

1

1 1

ij j i i j

a = a a = a a

и

i

-я строка есть первая строка, умноженная на

( 1 a

1_i

)

, и, следовательно, ранг

A

равен единице. Наоборот, если ранг

A

равен единице и

a

_ii

= 1

для всех

i

, то каж- дая строка является кратной первой строке, т. е.

1

ij i j

a = c a

,

a

_jk

= c a

_{j 1k},

a

_ik

= c a

_{1 1k},

a

_jj

= c a

_{j 1j},

( )

1 1 1 1

ij jk i j j k i j j ik i j j ik jj ik ik

a a = c c a a = c c a a c = c a a = a a = a

,

и матрица

A

согласованна.

Перейдем к иллюстрации понятия согласованности на языке теории графов.

Определение 7.3. Интенсивность суждений, относящихся к пуль из

i

в

j

(на- зываемая интенсивностью пути), равна произведению интенсивностей, соответст- вующих дугам этого пути.

Следующая теорема вносит ясность относительно связи, существующей между интенсивностями путей и согласованностью. Напомним, что перекрывающее дерево с

n

вершинами имеет

n − 1

ребер. Оно является связным графом, включающим все вершины и не имеющим контуров. Поэтому имеется единственный путь между любой парой вершин.

Теорема 7.20. Необходимым и достаточным условием существования единст- венной положительной согласованной матрицы является то, что объекты (как вер- шины) и соединяющие их суждения (как дуги) формируют перекрывающее дерево.

Доказательство. Необходимость. Если объекты формируют контур, то имеется не единственный путь между двумя вершинами в контуре, что дает два различных зна- чения для одного и того же элемента. Все объекты должны образовывать дерево, иначе суждения для связывания изолированных объектов были бы произвольными, что нарушило бы единственность матрицы.

Достаточность. Для каждой дуги перекрывающего дерева мы используем интен- сивность вдоль единственного пути для получения интенсивностей между объектами

i

и

j

. Это определяет матрицу

A = ( ) a

ij .

Для доказательства согласованности матрицы

A

рассмотрим любую строку, на- пример

i

-ю. Для любой пары вершин

j

и

k

нужно показать, что

a

_jk, определенная произведением дуг на пути

jk

, дана величиной

a a

_{ik ij} , где

a

_ik и

a

_ij – соответст- вующие произведений интенсивностей дуг на путях, соединяющих

i

с

k

и

i

с

j

. Рассмотрим два случая:

1.

i

лежит на пути между

j

и

k

. В этом случае

a

_jk

= a a

_{ji ik}

= a a

_{ik ij} . 2.

i

не лежит между

j

и

k

, тогда:

а)

i

,

j

и

k

образуют путь; в этом случае путь, определяющий

a

_jk , дается вели- чиной

a a

_{ik ij} , если

j

находится между

i

и

k

и обратной величиной

a a

_{ij ik} , т. е.

ik ij

a a

, если

k

находится между

i

и

j

, так как путь должен проходить от

j

к

k

, а не от

k

к

j

;

б)

i

,

j

и

k

образуют вилку в

m

(см. рис. 7.1). Тогда

jk im mk jm mi im mk ji ik ik ij

a = a a = a a a a = a a = a a

.

Рис. 7.1

Теорема 7.21. Если

A

– согласованная матрица, то

A

^k

= n A

^k−1 . Доказательство. Из теоремы Сильвестра имеем

( ) ( ) ( )

( )

1 n i

j i i

i i j

j i

A I

f A f

λ

λ λ λ

≠

=

≠

−

= −

∑ ∏ ∏

^.

Эта формула справедлива и для случая

^{f A} ( ) ^{= A}

^{k (для кратных} собственных значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала

( )

f A = A

, а затем

^{f A} ( ) ^{= A}

^k, в обоих случаях при

λ

₁

= n

,

λ

_j

= 0

,

j ≠ 1

, получаем

1 2

n n

A

⁻

= n

⁻

A

,

A

^k

= n

^{k n− −1}

A

ⁿ⁻¹

соответственно. Подстановка

A

ⁿ⁻¹ из первого результата во второй дает

A

^k

= n A

^k−1 . Теорема 7.22. Любой столбец матрицы

A = ( ω ω

i j

)

является решением задачи о собственном значении

A ω = n ω

,

ω = ( ω

1

, … , ω

_n

)

.

Доказательство. Так как любой столбец матрицы имеет вид

1 _j

,

2 _j

, ,

_{n j} ^T

ω ω ω ω ω ω

 

 … 

, то он является просто кратным

ω

и, следовательно, решением задачи.

Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить столбцы

A

через

( a a

1

, ,

2

… , a

_n

)

, то

A A ⋅ = ( a a

1

, ,

2

… , a

_n

) ( = na na

1

,

2

, … , na

_n

) = nA

.

Теорема 7.23. Любая строка матрицы

A = ( ω ω

i j

)

есть решение задачи

υ A n = υ

.

Доказательство очевидно.

Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов,

ω

и

υ

, явля- ются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем назы- вать их двойственными векторами.)

Определим норму матрицы

A

как

A = e Ae

^T (т. е. она является суммой всех элементов

A

).

Как известно, для примитивной матрицы

A lim

max

k k k

A e c

A ω

→∞

=

,

где

c

– постоянная,

ω

_max – нормализованный главный собственный вектор

A

. Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных матриц.

Теорема 7.24. Если

A

положительная согласованная

( ^{n n ×} )

^{-матрица, то}

Ae C = ω

, где

C > 0

постоянная и

ω

удовлетворяет равенству

A ω = n ω

.

Доказательство. Вектор

Ae

является суммой строк

A

и, очевидно, постоянным множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении.

Другой вариант доказательства. Легко показать, что

A

имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы

x

и

y

, такие, что

A xy =

^T. Отсюда

( ^, )

A ω = y ω x n = ω

,

( y , ω ) = y

1 1

ω + + … y

_n

ω

_n, и, следовательно,

( ) ^, ( ) ( ) ^{, , n}

A y e x y e C

ω y ω

= = ω ≡

.

Следствие 1. Если

A = ( ω ω

i j

)

, то

1 n

i i i

i

C ω ω ω

=

= ∑

^.

Следствие 2.

( )

1

1 1

, ,

k k

T k k T T n

A e n Ae Ae

e A e = n e Ae

₋⁻

= e Ae = C ω … ω

_,

C > 0

.

Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов.

Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть

A = ( ) a

ij – положительная согласованная матрица с главным собственным вектором

ω = ( ω

1

, … , ω

_n

)

. Заменим один элемент

a

_xy на

a

_xy

+ > ε 0

и, используя строку

x

, построим новую согласован- ную матрицу

^A

^*

⁼ ( ) ^a

^{ij* . Пусть}

^ω

^*

⁼ ( ^ω

^1*

^{, … , ω}

^n*

)

– главный собственный вектор мат- рицы

A

^*. Тогда

ω

^*_x

> ω

_x.

Доказательство. Так как и

A

и

A

^* согласованны, любой нормализованный стол- бец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий

1 a

_xy в матрице

A

, и соответствующий столбец, содержащий

¹ ( a

xy

+ ε )

в матрице

A

^*. Два столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов столбца в

A

^* меньше, чем сумма элементов столбца в

A

. Поэтому, нормализуя дан- ный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не ме- няются в обеих матрицах. В частности, это верно для

ω

^*_x, поэтому

ω

^*_x

> ω

_x.

В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка 2, 3 и 4.

Теорема 7.26. Если

A

– положительная согласованная матрица и

A′

получена из

A

вычеркиванием

i

-й строки и

i

-го столбца, то

A′

– согласованна и ее соответ- ствующий собственный вектор получается из

A

, если положить

ω

_i

= 0

и нормализо- вать компоненты.

Доказательство. Для любой заданной строки

A

, например для первой, имеем

1 1

ij i j

a = a a

и

i

-я строка

A

зависит от элемента

i

-го столбца в его первой строке.

Аналогичное следует из

a

_ik

= a

_1k

a

_1j. Поэтому ни один элемент в

A′

не зависит от

i

-й строки или

i

-го столбца

A

и, следовательно,

A′

также согласованна. Так как их элементы совпадают за исключением

i

-й строки и

i

-го столбца

A

и решение за- дачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы.

Замечание. В общем случае, если

A = ( ) a

ij – матрица парных сравнений, а

( )

ij

A ′ = a ′

при

a

_ij

′ = a

_ij,

i j , = 1, … , n

,

i k ≠

,

j k ≠

и

a′ =

_ij

0

,

i k =

или

j k =

, и если нормализованные собственные векторы уравнений

A ω λ ω =

_max и

A ′ ′ ω λ ω =

_max

′

– со- ответственно

ω

и

ω ′

, то

ω

_k

′ = 0

, однако

ω ω

_α

′

_β

′ ≠ ω ω

_{α β} для всех

α

и

β

. Другими словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает про- порционального перераспределения весов среди других строк.

Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными

a

_ij и

i j

ω ω

довольно сложным образом зависят от всей матрицы

A

и ее степеней.

Теорема 7.27. Для примитивной матрицы

A

имеем, что

a

_ij

≥ a

_kl, тогда и только тогда, когда

ω ω

_{i j}

≥ ω ω

_{k l} , при условии, что

( ) ( )

( )

lim lim ( )

m m

ip p kq q

p j q j

m m

m m

j l

a A e a A e

A e A e

≠ ≠

→∞

∑ ≥

→∞

∑

(

( ) ^⋅

_p – означает

p

-ю компоненту вектора).

Доказательство. Из равенства

1 n

ij j i

j

a ω λω

=

∑ =

имеем

( ) ¹

ij i j j ip p

p j

a λω ω ω a ω

≠

= − ∑

и kl k l

( ¹

l

)

kq q

q l

a λω ω ω a ω

≠

= − ∑

^.

Поэтому

a

_ij

≥ a

_kl только при

( ) ^{1 ( 1 )}

i k

j ip p l kq q

p j q l

j l

a a

λω λω ω ω ω ω

ω ω

≠ ≠

≥ + ∑ − ∑

^.

Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство:

( ) ¹

j ip p

( ¹

l

)

kq q

p j q l

a a

ω ω ω ω

≠ ≠

∑ ≥ ∑

Используя теорему о пределе для примитивной матрицы, заменим каждый

ω

_s на

lim ( )

m s

T m

m

A e e A e

→∞ ,

что завершает доказательство.

Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем счи- тать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако

a

_ij яв- ляются не оценками

ω ω

_{i j} , а некоторой функцией –

a

ij

( ω ω

i j

)

. Например, по на- блюдениям Стивенса (см. [22])

a

_ij, осознаваемый для протетических явлений (про- цессов добавления возбуждения к возбуждению), принимает вид

( ω ω

i j

)

^a, где

a

лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электри- ческого удара). Другими случаями являются: яркость – от 0,33 до 0,50, длина – 1,1, продолжительность во времени – 1,15, численность – 1,34, тяжесть – 1,45 и ско- рость – 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения воз- буждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов мышления

a = 1

.

Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения

g

i

( ) ω

i ,

1, ,

i = … n

; задачи о собственном значении, где предполагается условие согласован- ности вида

( ) ( )

ij jk

^{( )}

ik

f a f a = f a

,

для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат – сле- дующий.

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 167-174)