Мера несогласованности µ *

Среднее значение и дисперсии для шкал Порядок

матрицы 1–5 1–7 1–9 1–15 1–20 1–90

3

×

3 0.190

0.024 545 0.254

0.193 822 0.382

0.266 743 0.194

0.026 226 0.120

0.006 869 0.720 0.213 737 4

×

4 0.520

0.086 061 0.592

0.109 430 0.946

0.433 014 0.920

0.726 465 0.934

0.385 499 1.490 0.858 485 5

×

5 0.454

0.026 549 0.814

0.087 479 1.220

0.278 788 2.018

1.024 723 2.352

2.157 268 11.690 84.438 283 6

×

^{6 0.612} _{0.016 420} ^0.892 _{0.075 895} ^1.032 _{0.180 380} ^2.594 _{0.530 469} ^3.484 _{0.837 721} ^16.670 29.536 466

*Эта таблица любезно предоставлена доктором Р. Уппулури из Национальной лаборатории г. Ок-Риджа.

7

×

7 0.582

0.036 440 1.004

0.077 964 1.468

0.120 986 2.428

0.473 147 3.566

0.867 923 18.230 19.694 040 8

×

8 0.620

0.016 970 1.030

0.036 667 1.402

0.073 935 2.578

0.227 794 3.654

0.448 368 17.280 8.435 959 9

×

9 0.640

0.014 949 1.002

0.031 915 1.350

0.047 980 2.714

0.180 408 3.816

0.338 731 18.060 8.551 918 10

×

10 0.668

0.010 279 1.090

0.019 697 1.464

0.028 590 2.822

0.138 905 3.970

0.254 848 19.670 5.172 827 11

×

11 0.688

0.010 360 1.082

0.022 703 1.576

0.046 691 2.830

0.100 505 3.822

0.209 208 19.670 4.425 352 12

×

12 0.704

0.007 257 1.096

0.029 075 1.476

0.317 410 2.785

0.097 923 3.948

0.187 572 19.730 2.724 343 13

×

^{13 0.712} _{0.009 552} ^1.136 _{0.022 933} ^1.564 _{0.030 610} ^2.852 _{0.070 400} ^4.038 _{0.104 904} ^19.790 _{2.955 453}

14

×

^{14 0.710} _{0.003 535} ^1.150 _{0.017 273} ^1.568 _{0.021 996} ^2.896 _{0.054 125} ^4.034 _{0.102 671} ^19.990 _{2.818 083}

15

×

^{15 0.720} _{0.004 444} ^1.150 _{0.010 808} ^1.586 _{0.021 216} ^2.942 _{0.050 339} ^4.096 _{0.113 923} ^19.980 _{2.534 949}

Примечание. Верхняя цифра соответствует среднему значению, нижняя - дисперсии.

Исходя из этого результата, можно сделать другое интересное замечание. Из- вестно, что если

λ

является любым собственным значением матрицы, то

≠

−

ⁱⁱ

≤ ∑

^ij

j i

a a

λ

для некоторого

i

,

i = 1, … , n

.

Так как для положительной обратносимметричной матрицы

λ

_max

≥ n

и

a

_ii

= 1

, можно просто записать

max

1

max

=

≤

_i

∑

^{n ij}

j

λ a

При использовании шкалы 1–9 максимальное значение любого

a

_ij будет 9, по- этому

λ

_max самое большее равно

⁹ ( ^{n − 1} )

^{. Отметим также, что}

( λ

max

− n n ) ( − ≤ 1 ) 8

и поэтому ограничено сверху. Действительно, можно показать, что

µ = ( λ

max

− n n ) ( − 1 )

удовлетворяет неравенству

0 1 ≤ − µ / 3 1 ≤

, которое близко к единице, когда имеется высокая согласованность — результат, подтверждённый нашим статистическим под- ходом. Для каждой шкалы (вместо, использования разностных методов) мы усред- нили последние три значения, т. е. для

n

=13, 14, 15 в табл. 3.6, и использовали их в качестве аппроксимации предельного значения. Обозначив эту величину через

L

_s

для шкалы

s

, вычислим новую таблицу, используя

C ≡ ( L

s

− µ ) ^/ L

s для каждого

n

, и измерим согласованность, выраженную как индекс, заключенный между нулем и единицей. Это проиллюстрировано в табл. 3.7 и на соответствующем графике (рис.

3.1).

Таблица 3.7.

(

Ls⁻µ

)

^/Ls

Шкала 1–5 1–7 1–9 1–15 1–20 1–90

Порядок

3 0.733 9 0.778 2 0.757 1 0.933 0 0.970 4 0.963 9

4 0.271 7 0.483 1 0.398 5 0.716 9 0.769 7 0.925 2

5 0.364 1 0.289 3 0.224 2 0.303 3 0.402 1 0.413 2

6 0.142 9 0.221 2 0.343 8 0.104 5 0.141 0 0.163 2

7 0.184 9 0.123 4 0.066 6 0.161 8 0.120 8 0.084 8

8 0.131 7 0.100 7 0.108 5 0.110 0 0.099 1 0.132 5

9 0.103 6 0.125 1 0.141 6 0.063 1 0.059 2 0.093 4

10 0.064 4 0.048 3 0.069 1 0.025 8 0.021 2 0.012 6

11 0.036 4 0.055 3 –0.002 1 0.023 0 0.057 7 0.012 6

12 0.014 0 0.043 1 0.061 5 0.038 9 0.026 6 0.009 5

13 0.002 8 0.008 1 0.005 5 0.015 4 0.004 4 0.006 5

14 0.005 6 –0.004 1 0.003 0 0.000 2 0.005 4 –0.003 5

15 –0.008 4 –0.004 1 –0.008 5 –0.015 7 –0.009 9 –0.003 0

Рис. 3.1. Нормированная согласованность с использованием асимптотических значений

Теперь это согласованность, измеренная для случайным образом заполненных матриц. В общем случае суждение знающего человека ведет к лучшей согласован-

ности. Тем не менее все диаграммы показывают, что если число сравниваемых объ- ектов превышает 5, то величина

C

меньше 10% и примерно одинакова для всех

n

. Это, по-видимому, говорит о том, что среди большого количества случайных не- согласованностей, которые встречаются при установлении связи между

n

объекта- ми, мы должны обнаружить искомую согласованную структуру. Шансы на ее обна- ружение тем меньше, чем больше число объектов, которые нужно связать логиче- ской структурой. Наши шансы будут тем больше, чем меньше

n

, однако

n

должно быть достаточно большим, чтобы не иметь автоматической согласованности, напри- мер для

n = 2

. Для больших значений

n

нужно использовать некоторую избыточ- ность информации для улучшения обоснованности, т. е. проверить, насколько хо- рошо наши результаты будут отражать действительность.

Закончим этот раздел двумя замечаниями. Во-первых, если необходимо провести очень тонкие различия при парных сравнениях, то можно подразделить шкалу 1-9, рассматривая каждую пару значений, скажем 3 и 4, при добавлении к нижнему зна- чению 0,25 для слабой, 0,5 для умеренной и 0,75 для сильной степени. Однако наш опыт не показал, что это дает большую эффективность, кроме случая, когда сравни- ваются только два объекта. В последнем случае для получения более тонких оттен- ков различия используется шкала от 1 до 1,5.

Во-вторых, если суждения производят несколько человек, то предпочтительнее, как указано в гл. 1, использовать геометрическое, а не арифметическое среднее.

Это особенно понятно, когда один человек присваивает величину

a

, а другой – ве- личину

1/ a

. Среднее должно быть 1, а не

( ^{a + 1/ a} ) ^{/ 2}

. Поэтому в общем случае для

n

суждений нужно перемножить численные значения и извлечь

n

-й корень

3.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ

Для сравнения точности метода собственного вектора с другими методами при оценке реальной ситуации было проведено несколько экспериментов. В двух экспе- риментах, проведенных в Корнелльском университете летом 1976 г., группе людей предложили оценить величины непосредственно, найти наименьший элемент и при- дать ему значение, равное единице, а остальным элементам – кратные значения.

Другой группе предложим использовать метод собственного значения со шкалой 1-9, а еще одна группа могла использовать любые желаемые значения, и задача о собственном значении решалась для этих чисел.

В отдельном эксперименте люди решали задачу о собственном значении со шка- лой 1–9, и затем те же люди, что участвовали в получении опытных парных сравне- ний, провели прямые эксперименты. Вероятно, эксперт может оценить ситуацию не- посредственно и не может получить лучший результат, используя подход, основан- ный на методе собственного значения со шкалой 1–9. В социальной области, где обычно не имеется ответов в виде отношений, подход, основанный на собственном значении, представляет собой суждения эксперта при парных сравнениях, которые полезно иметь. Кроме того, данный подход обеспечивает измерение согласованно- сти, которого нет в прямых методах. Результаты сравнивались с действительным значением и вычислялись как СКО, так и МАО. Затем было вычислено среднее зна- чение для обоих методов.

Из этих экспериментов следовало, что если люди не знают, о чем с ними говорят, то не существует шкалы, которая заставит их разобраться в проблеме лучше. Одна- ко если люди понимают кое-что и им требуется некоторая мера, то не существует лучшего способа оценки ситуации по этим суждениям, чем систематическая проце- дура, которая облегчает сравнения, гармонирует с интуицией и человеческими чув-

ствами, а также свободна от искусственности. Если человек уже знает ответ, то то- гда у него нет нужды в какой-либо шкале, и как раз из-за того, что он знает ответ, он не может исходя из своих знаний выявить преимущества метода, примененного, чтобы помочь несведущим людям, которые нуждаются в стимулировании посредст- вом определенного подхода для приведения их представлений в надлежащую фор- му. Тем не менее его экспертизу можно использовать для того, чтобы убедиться в том, действительно ли метод шкалирования воспроизводит известные результаты.

Наши эксперименты не только сравнивали экспертов с несведущими, но также лю- дей, которые были отчасти информированы и тщательны в применении метода, с людьми, которые были отчасти информированы, но менее пунктуальны при выдаче информации. Мы можем сказать, что для хорошо осведомленных людей и для всех людей, использующих здравый смысл для физических сравнений, подход, основан- ный на собственном значении для шкалирования отношений, выигрывает при срав- нении с другими методами, которые рассматривались. Он также дает лучшие ре- зультаты для людей, которые частично информированы и пытаются взвесить свое суждение, полученное логически и просто из отношений между парами. Например, они могут начать с классификации предметов в порядковой шкале, а затем выбрать для сравнения отдельные предметы, в оценке которых они уверены. Среди этих предметов они могут начать с доминирующего предмета, а затем перейти к наиме- нее важному, чтобы получить пределы диапазона своих мнений. Так, по крайней мере, тысяча людей участвовала в решении задач, включая приложения для властей и для промышленности. Некоторые использовали метод для своих личных проблем.

Несколько приложений было из класса упражнений.

3.5. ПЕРЕСМОТР СУЖДЕНИЙ

Допустим, что индекс согласованности достаточно велик, чтобы служить оправ- данием пересмотра суждении. На каком этапе это следует сделать? Непосредственно можно представить два способа. Первый заключается в формировании матрицы от- ношений приоритетов

ω ω

_i

/

_j, рассмотрении матрицы абсолютных разностей

( ^/ )

ij i j

a ω ω

 − 

 

и попытке пересмотра суждения об элементе (элементах) или суммы строк с наибольшими разностями.

В противоположность этому более привлекательна мысль сформировать средне- квадратичное отношение с использованием строк

a

_ij и

( ω ω

i

^/

j

)

и пересмотреть суж- дения для строки с наибольшим значением. Оправданием этого служит то, что в об- щем случае человек имеет склонность к неопределенности при оценке отношения одного действия ко всем другим действиям, а не просто к одному конкретному. Про- цедура может затем повторяться, чтобы было заметно улучшение. Было бы жела- тельно иметь сходящуюся итеративную процедуру, при которой

a

_ij приближалось бы к

ω ω

_i

/

_j. Процедура состоит из замены всех

a

_ij в строке, о которой идет речь, соответствующими

ω ω

_i

/

_j и пересчета вектора приоритета. Повторение этого про- цесса приводит к сходимости к согласованному случаю. Мы решали несколько при- меров, используя строку с

( )

1

max /

n

ij i j

i j

a ω ω

=

∑ −

^{(не нужно} беспокоиться о том, что

i

/

j

ω ω

может быть больше 9).

Матрица профессиональной подготовки в примере выбора школы имеет вид:

1 9 7 1/ 9 1 1/ 5 1/ 7 5 1

A =

_,

и ее вектор приоритетов есть

( ω ω ω

1

,

2

,

3

) = ( 0,77; 0,06; 0,17 )

;

λ

_max

= 3,21

с индек- сом согласованности, равным 0,1. Образуем матрицу отношений приоритетов, соот- ветствующих

ω ω

_i

/

_j. Наибольшая абсолютная разность – между

a

₁₂ и

ω ω

₁

/

₂. Поэто- му, заменив

a

₁₂ на

ω ω

₁

/

₂

= 14,15

и пересчитав приоритеты, получим вектор

( 0,81; 0,94; 0,15 )

с

λ

_max

= 3,09

и согласованностью 0,02. Отметим продолжающееся улучшение согласованности. Если снова заменим первую строку, которая дает наи- большие разности с

ω ω

_i

/

_j, то получим вектор

( 0,76; 0,04; 0,20 )

и

λ

_max

= 3,023

с со- гласованностью 0,01. Заменив первую строку соответствующими отношениями, име- ем вектор

( 0,75; 0,04; 0,21 )

с

λ

_max

= 3,003

и индексом согласованности 0.00, указы- вающим на последовательное улучшение, согласованности. Как видно, можно при- нять и более длительную процедуру, в которой используется аппроксимация мето- дом наименьших квадратов с помощью матрицы единичного ранга и затем вычисля- ется ее собственный вектор.

Другой и возможно более уместный способ пересмотра суждений относится к вы- бору наибольшего из отношений

a

_ij к

ω ω

_i

/

_j и проработке этой идеи (см. гл. 7 для доводов).

Следует избегать чрезмерного увлечения этим процессом навязывания величин суждений для улучшения согласованности. Он искажает ответ. Улучшить суждения скорее следует естественным образом, исходя из опыта.

3.6. ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ:

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 60-65)